X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 94
Текст из файла (страница 94)
С учетом (95.8) найдем, что левая часть где Р = (и,р), Х = (»,г), Б = (~9,~), причем 3 = (31+ 32)/2, 19 = 11 — 12. Тогда 492 гл. х дилгелммнАИ тнхнинл уравнения (95.9) примет в результате вид дп рдп — + —— д2 тп дх как раз требуемый вид левой части кинетического уравнения для функции распределения н(г, г, р). Правая же часть уравнения (95.9) после фурье-преобразования должна поэтому дать интеграл столкновений, о1п. Переход к фурье-компонентам в этой части должен быть произведен с учетом условий квазиклассичности.
Интеграл в (95.9) представляет собой сумму членов вида 3 2 (Хм Хз) С(Хз. Х2) и'Хз. Выразим множители л' и С в виде функций от 1нкзностей и полусумм «4-координат»: 1' «(х, — х, «'+ «') а (х,, — х„»' " ««) «'х, При переходе к фурье-компонентам по первым аргументам существенна область значений разностей координат ~г1 — гз~, ~гав — г2( 1/р и разностей времен )1~ — 1з), )8з — 12! 1/ж Согласно условиям (95.1) на этих интервалах Е и С как функции своих вторых аргументов меняются мало.
Поэтому можно приближен- нО ЗамЕнить Эти аргумЕнты ЗначЕниями Х = (Х1 + Х2)/2: ) Е(Х1 — Хз, Х)С(Хз — Х2, Х) П Хз, после чего можно переходить к фурье-представлению при заданном значении Х. В резулыате правая часть уравнения (95.9) примет вид В1н= — ~е Р(С +СжР)+(В +е' ')С +) — = 2« ( — Е С + Е+ С +)'— ,'", (95.10) 2Я где все функции в подынтегральном выражении имеют одинаковые аргументы (Х, Р) = (1, г;ы, р); во втором равенстве использованы соотношения (92.7) и (94.15).
Применим формулу (95.10) к модели почти идеального ферми-газа, рассматривавшейся уже в 1Х, 2 6, 21. Как и там, будем условно считать, что потенциал Г(г~ — гя) взаимодействия между частицами удовлетворяет условию применимости теории возмущений; для перехода к истинному взаимодействию (не удовлетворяющему этому условию) достаточно выразить ответ через амплитуду рассеяния. 493 кынвтичксков уехвнейив Имея в виду найти интеграл столкновений в первом неисчезающем приближении теории возмущений по взаимодействию частиц, можно считать, что точные С-функции в (95.10) связаны с функцией распределения и теми же формулами (92.20), (92.21), что и в идеальном газе; это означает пренебрежение малыми поправками за счет взаимодействия к энергии е = рз(2«п частицы газа.
Выражения (92.20), (92.21) относятся, строго говоря, к однородному и стационарному состоянию газа, по в квазиклассическом случае., ввиду медленности изменения и с координатами и временем, можно пользоваться теми же выражениями, понимая в них в качестве пр функцию п(», г, р), в которой 1 и г играют роль параметров. Йнтегрирование по ы устраняет д-функции и полу. чается Я~ п = гЕ "(е — и, р; 1, г)(1 — п(«, г, р)] + + «Х» (е — д, р;1, г)п(1, г, р).
(95.11) Уже из самого вида этого выражения ясно, что первый член в нем описывает «приход» частиц, возможный лишь при 1 — п ф 0; второй же член описывает «уход», пропорциональный и. Остается вычислить собственно-энергетические функции Е + и Е~ Первый неисчезающий вклад в них дают диаграммы второго порядка (ср. (94.9)), так, (95.12) Р, — 'ч — — ' + Р; Р, + «В ~(Р) = С ~(Р')С~ (Р )С ~(Р])~1 (р — р') В вырожденном газе длина волны частиц ( 1/р) автоматически велика по сравнению с радиусом сил взаимодействия в силу где Р1 = Р + Р1 — Р~. После замены бг на бго (см.
ниже) вклады в Е от этих двух диаграмм связаны друг с другом равенством Е» = — 2Ев (минус из-за замкнутой петли в диаграмме сь а коэффициент 2 — из-за спинового суммирования в этой петле; ср. аналогичные вычисления в 1Х, ~ 2Ц. Раскрыв диаграмму б в аналитическом виде, получим 494 дилГРАммиля техникл 1Л Х условия разреженности газа (см. 1Х, ~ 6); зто позволяет заменить У(р~ — р ) па значение при р1 — р = 0: о'о ив н 17Я "' и.
Подставив для функций С + и С Р выражения (92.20), (92.21) и устранив две б-функции интегрированием по «временным» компонентам 4-векторов Р~ и Р', убедимся в том, что первый член в (95.11) действительно совпадает с членом «прихода» в интеграле столкновений (74.5) (причем п1 = 2я1ф. Аналогичныл1 образом вычисляется Е+, и второй член в (95.11) оказывается совпадающим с членом «уходаа в том же интеграле столкновений.
ГЛАВА Х1 СВЕРХПРОВОДНИКИ 8 96. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Общая формула В 1Х, 8 51, были получены формулы., связывающие ток в сверхпроводнике с векторным потенциалом электромагнитного поля в нем. Здесь эти формулы будут обобщены на случай переменного во времени поля.
Как и в 1Х, мы будем исследовать этот вопрос в рамках модели БКШ, рассматривая электроны в металле как изотропный газ со слабым притяжением между частицами ). Как всегда в металлах (и тем более -- в сверхпроводниках), в уравнениях Максвелла можно пренебречь током смебщения, т. е. писать го1Н = — ь (96.1) с Отсюда следует, что в этом приближении (96.2) с))у3 = О. Для описания поля выберем калибровку, в которой скалярный потенциал уо = О. Линейную связь между компонентами фурье- разложений (по времени и по координатам) плотности тока и векторного потенциала ноля напишем в виде д (оэ, .1с) = — св'(оэ, 1с) ( боб —,' ) АБ(ы, 1с), (96.3) тождествешю удовлетворяющем уравнению (96.2), т. е. условию 1т3(и, 1с) = О.
Продольная (вдоль 1т) часть вектора А выпадает из соотношения (96.3), а потому и вообще из уравнений, так что ее можно положить равной нулю, т. е. считать, что 1сА(св, 1с) = О. При таком выборе А связь между током и полем сводится к 3(св, 1с) = — еб(ы, 1с)А(ы, 1с). (96.4) ') Результаты этого и следующего параграфов принадлежат Баранину и Могоглису (в'. Багбеен, Б.С. Мапгь 1958) и А.А. Абрикосову, Л.П.
Рорькову и И.М. Халатникову (1958). гл х1 оввгхпговодникн Наша цель состоит в вычислении функции Я(о!!1с). Эта величина относится к категории обобщенных восприимчивостей, и для решения задачи воспользуемся изложенным в 5 91 методом. Следуя этому методу, формальным образом вводим в гамильтониан сверхпроводника «векторный потенциал», зависящий от мацубаровской переменной т (и от координат) '): А(т,г) = А((»,1с)ейй" С'~1, (, = 2явТ.
(96.5) С помощью уравнений Горькова вычисляем линейную по А по- правку к мацубаровской гриновской функции: 6(тг, гг, тяп ге) = й(О)(т! — тй, г! — гя) + Д!П(т!, г!, 72, гя); (96.6) в силу «однородности по т» и пространственной однородности невозмущенного сверхпроводника, й! ! зависит только от разностей своих аргументов. Плотность тока )(т,г) выражается через гриновскую функцию согласно 1(т, г) = — — ((гу' — "7)йП!(т, г: т', г')1 „, „— ' А(т, г)., (96.7) гп пьс т!=т»0 где Аг плотность числа частиц ).
С полем (96.5) это соотношение фактически будет иметь вид (96.8) 1(т, г) = — (~м((э, 1с)А(т, г). Коэффициент (»1м в нем есть мацубаровская восприимчивость, и согласно (91.18) Для определения искомой функции Я(сс, 1с) надо будет произвести аналитическое продолжение с точек оз = г~(,,~ на всю верхнюю полуплоскость. Ход вычисления Ям вполне аналогичен вычислениям в 1Х, 5 51. Напомним, что в калибровке потенциалов с с11уА = О поправка к щели ст в энергетическом спектре отсутствует, а линеаризованные уравнения Горькова для гриновских функций й и У ') В этом параграфе полагаем й = 1. ) Ср.
1Х, (51.17). При сравнении с формулами в 1Х, 1 51, недо помнить, что теперь е обозначает положительную величину -- элементарный заряд. 497 1 96 ВЫООКОНАОТОТВЫЕ ОВОЙСТВА ОБЩАЯ ФОРМУЛА имеют вид ы ~з з а ~ „„) 00(,,) + АУО)(....,) От 2т = — — 'А(т, г)~УДФ) (т — т', г — г'), тс Р— ' ~з дт 2пз е А(т,г)ЧУ (т — т',г — г'). тс (96.10) При поле вида (96.5) можно сразу отделить зависимость йП) — Ю и г от с.умм т+ т и г+ г', положив йП) = я(т — т',г — г') ехр ~ — '1с(г+ г') — — '(з(т+ т')] (96.11) !2 2 (- (,— '- -,'о) ~ —,' (Р ~- -,'з) ~ е) з ~ ы = = — — А(~з, 1с) ехр ~ — '1с(г — г') — — ~з(т — тт)~ у ДФ). тс. ~2 2 Разложим теперь все величины в ряды Фурье по т — т' и интегралы по г — г; / г ,~з н(т, г) = Т ~ / 6(~з,р) ехр (зрг — з~,',т1 Р (96.12) (2„)з и т.
д. В результате получим для фурье-компонент систему двух алгебраических уравнений: ! 2 '((," — 1 ) — (Р~ -,) ~ е~зк" Р)'АЛО Р) = = —" АКз,~)Ф")(~,',--';, --",), ! — (с -';в) — — ' Ь~-") Ае~ Лсче) — Алсче) = 2зп А = — — рА(~„)с)г ( ~з — — ', р — — ) . тс 2 2 (96.13) ) Оператор Лапласа пизпем как А в отличие от щели Л! — 60 и аналогично для г с функцией 1 вместо 6. Так, после этой замены первое из уравнений (96.10) принимает вид 498 1'Л Х1 ОВВРХПРОВОДИИКИ (96.14) где 11= — — у=он(р — рн), е =Ь +9 (96.15) 2ш (постоянную Ь считаем вещественной).
Используя эти формулы, легко привести решение системы (96.13) к виду )(чбй(Р )мщ~(Р ) +У69(Р )Убй(Р )) (96.16) где '1 и*2 2) (96.17) Используя (96.7), (96.11), (96.12), получим для плотности тока: с функцией 8 из (96.16). Учитывая поперечность векторов 3 и А по отношению к 1с, производим под знаком интеграла усреднение по направлениям вектора рт в плоскости, перпендикулярной 1с. Функции 6~ ) и У в (96.16) от направления рт не 0 (О1 зависят: усреднение жо множителя рт(ртА) превращает его в А712 ейпв 0~2, где 0 -- угол между р и 1с.
В результате находим следующее окончательное выражение для мацубаровской восприимчивости; н = — со х (м(~1(РР)Д(~1(Р ) + У (Р,)У (Р )) ~ . (96.18) Займемся теперь аналитическим продолжением этой функции с дискретного ряда точек 1„= 2вяТ на всю правую полу- »Невозмущенныс» гриновские функции ферми-системы мщ1 и — (о1 У разлагаются в ряды Фурье с «нечетными частотами»: (2В'+ +1)яТ. Поэтому из (96.13) следует, что Вчастоты» 1'„', пробегают значения ~', = (2а'+ 1 — в)хТ. — (о) Функции 01а1 и У' даются выражениями (см.
1Х, (42.7), (42.8)) й1о~(~ ) г6+ и + выоОкочвстот1гые авойствл овщлв иовмилв 499 плоскость комплексной переменной ~ (т. е. на верхнюю полуплоскость переменной св = г~). Задача сводится к аналитическому продолжению подынтегрального выражения интеграла по сГ'р; рассмотрим, например, первый член в нем: = Т ~~~ Д ((2в'+ 1)ггТ)й ((2в'+ 1)~гТ вЂ” ~,) (96.19) Н=.— са (для краткости обозначений опускаем индекс (0), а аргументы рс = р ~ 1с/2 заменяем индексами ~). Это выражение может быть представлено в виде интеграла Зм(~з) = —. ~6 г(в)6-(в — ~8) 1н — сЬ, (96 20) 4иг' .г 2Т взятого по трем замкнутым контурам Сы С2, Сз (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
