X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Лифшиц, том Х а Се(1) оператор Ч в представлении взаимодействия. Усреднение в (93.1) производится по некоторому состоянию системы невзаимодействующих частиц. Для дальнейшего будет удобнее предположить, что это состояние является стационарным и однородным, но не основным (мы увидим далее, что это начальное состояние можно исключить и сформулировать теорию так, что уравнения вообще не будут от него зависеть).
В этом разница со случаем Т = О, когда усреднение производится по основному состоянию. Это отличие очень существенно: усреднение оператора о' уже нельзя отделить от усреднения остальных множителей (как это было сделано в 1Х, 3 12, при переходе от (12.12) к (12.14)); дело в том, что неосновное состояние под влиянием оператора о 1 переходит не само в себя, а в некоторую супсрпозицию других возбужденных состояний (которые могут наглядно рассматриваться как результат всевозможных процессов взаимного рассеяния квазичастиц ). Выражение (93.1) должно быть разложено по степеням Р.
При этом удобно сначала преобразовать о 1, используя унитарность оператора о'; гл х дилгглммнли твхникл Заметим прежде всего, что 1как и в диаграммной технике при Т = О, которую будем называть обычной) следует учитывать только связные диаграммы, не содержащие отсоединенных вакуумных петель. Вакуумные же петли взаимно сокращаются. В этом легко убедиться, рассмотрев несколько первых диаграмм, по которым можно усмотреть общий принцип такого сокращения.
Если все свертки, приводящие к связной диаграмме, нроизводятся внутри множителя ТФ1Ф Я в (93.1), то мы получим члены, изображающиеся описанными в 1Х, з 13., обычными диаграммами 1разумеется, с другим конкретным видом функций., отвечающих сплошным линиям). Напомним, что речь идет здесь о диаграммах в координатном представлении, для неравновесных состояний (когда С-функции зависят от переменных Х1 и Хз по отдельности) переход к импульсному представлению неудобен. Другие члены возниквзот от свертываний, в которых участвуют также и Ф-операторы из У = У~. В каждом порядке теории возмущений они получаются из обычных членов:заменой любого множителя Р, взятого из Я, на множитель Р из Ят.
Эти члены изображаются диаграммами того же графического вида, но с несколько измененным правилом их прочтения. Эти изменения являются следствием трех обстоятельств: Ц в У~ онераторы взаимодействия входят в виде +гР (вместо — Ю в У); 2) все Ф- операторы в У~ стоят всегда левее операторов в произведении ТФ1ФззУ; 3) внутри множителя У+ онераторы унорядочены знаком Т-нроизведения 1вместо Т). Проследим, как эти изменения проявляются при построении диаграммной техники в простейшем случае для системы частиц 1скажем, фермионов), находящихся во внешнем поле Г1г, г) =— Г(Х). Члены первого порядка в разложении выражения (93.1): (ТФ1Ф~ ( — 1,) Фз ГзФзд Хз)) + (Тг,) Фз УзФзд Хз.
ТФ1Фз ) . Для рассматриваемой здесь ситуации характерен второй член в этой сумме; при усреднении по основному систоянию должен бы.л бы рассматриваться только первый член. В первом члене все четыре Ф-онератора находятся под знаком Т-произведения; их попарные свертки, 193.4) ТФ~ Фз ( — 1Фз Гз Фз) 483 газ нееавноввс'ныв системы или Т. Т(гФз СзФз)Т(Ф| Фз ); (93.5) (о>-е — (о>-- их свертки дают множители Сзз и С|з, крок|с того, здесь стоит +г(7з вместо — гсгз. Введем графические элементы, отличающиеся от фигурировавших в обычной диаграммной технике дополнительными индексами + или — на концах линий.
Штриховые лияии с индексами + или — на одном из копцов (вершине ди|праммы) означают множитель +гсг (Х) или — г(7(Х): — — — ~ = -Ж(Х) (93.6) (ср. 1Х, 8 19). Сплошным линиям с индексами х яа обоих концах сопоставляются различные С-функции: 1+ 2- |а|+- — — = гС„ 1- 2- ~ — — = гС„ |о|— (93.7) 1- 2+ — — - гС|г |е|-+ 1+ 2+ С|о|++ |г Цифры на концах линий нумеруют аргументы функций переменные Х|, Хз. Тогда два члена (93.4), (93.5) изобразятся диаграммами (93.8) Двум впсшпилг концам сплошных линий приписываются индексы соответственно тому, что речь идет о поправках в функции С .
По переменным, отвечающим вершине диаграммы, подра; зумевается интегрирование ). В аналитическокл виде: гС|г = 1( ОС|з 'Сзз ( — г(7з) + гС|з 'Сзз газ) |1' Хз. (П вЂ” / . (о) —. (о) —— (о) — е . (о)+ — . (93. 9) || ) Точнее — интегрирование по с(г сг х и суммиров|п|ие по паре одинаковых г спиновых индексов. Последнее будем подразуггеватв ниже включенным в интегрирование по |(~Х. (ог-- (о)-- дают множители Сзз и С|з . Во втором же члене сворачиваемыс Ф-операторы не упорядочены друг с другом знаком Т 484 гл х Лилгглммнля твхникл В счедующсм, втором, порядке теории возмущений поправка в функции С дается четырьмя диаграммами; ! 1 ! ! ! ! ! ! ! ! + + + — — + (93.
10) (93.11) Таким образом, диаграммы в технике Келдыша получаются из диаграмм обычной техники приписыванием в их вершинах и свободных концах всеми возможными способами дополнительных индексов + или —. Это правило остается в силе и в диаграммной технике при друтих типах взаимодействия. Для системы с парным взаимодействием между частицами в обычной диаграммной технике внутренней штриховой линии сопоставляется !ютенциал взаимодействия двух частиц.
Теперь концам такой линии приписывается еще пара одинаковых индексов + или —: 1+ 2+ - Ю(Х!-Хз) = ~81г!-Ч11(г!-г!) (93.12) 1— 2- — — — — — — — = -4У(Х!-Х!) Так, поправка первого порядка в функции С для системы с парным взаимодействием изобразится суммой четырех диа- грамм: О +О (93.13) вместо двух диаграмм (13.13) (см. 1Х) обычной техники). плон|ной линии, замкнутой самой на себя, по-прежнему сопо- (цифровые индексы опущены). Индекс ~ в каждой вершине диаграммы относится к концам всех трех сходящихся в ней линий. Аналогичным образом, поправочные члены в других С- функциях изобразятся диаграммами с другими индексами у двух внешних концов сплошных линий.
Так, для функции С в первом порядке имеем две диаграммы: 485 1 94 гоес"Гненно энеРГетическин Фуикции ставляется множитель 1»1о(д1 Т) (плотность идеального газа) при любом знаке вершины. Уже упоминалось, что диаграммная техника Келдыша применима также и к равновесным систеь1ам при Т ф О. Предполо»ким, что внешнее поле отсутствует и перейдем от координатного к импульсному представ.пению, разложив все С-функции в интегралы Фурье.
Тогда, обычным образом, каждой:1инии на диаграммах щ»иписывается определенный «4-импульс» и этим линиям сопоставляются, по тем же правилам, функции бГЯ), С( )(Р) в импульсном представлении. При Т = 0 функция распределения Ферми Поэтому, согласно (92.20), (92.21), для ферми-системы при Т = 0 СФ1 т(Р) = 0 при р > рн, СФ1' (Р) = 0 при р < рр и все диаграммы для С, содержащие «плюсовые» вершины, обращаются тождественно в нуль. Таким образом, диаграммная техника Келдыша в применении к равновесным системам (в отличие от мацубаровской техники) непосредственно переходит при Т = 0 в обычную диаграммную технику. 8 94. Собственно-энергетические функции Как и всякая «разумная» диаграммная техника, техника Келдыша 1юзволяет проводить суммирования диаграмм 1блоками»н Важнейшими такими блоками являются так называемые собственно-энергетические функции.
Напомним (см. 1Х, 8 14), что это понятие возникает при рассмотрении диаграмм для гриновской функции, которые нельзя разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной линией. Выделив множители 1С(е), отвечающие двум концевым линиям такой диаграммы1 представим се (в координатном представлении, как функцию двух аргументов Хм Хя) в виде гСш ( — «Ввя)1С«э Ы Ха Ы Х«.
| 00 .. (о) Функцию — 1Вз4, представляющую всю внутреннюю часть диаграммы, называют собственно-энергетической. Точная же собственно-энергетическая функция (которую и обозначают символом — 1В) определяется суммой всех возможных диаграмм указанного типа. В соответствии с тем, что в излагаемой технике каждой вершине диаграммы должен еще быть приписан знак + гл х дилгглммпля твхникл или —, существуют четыре точные собственно-энергетические функции, в соответствии со знаками их «выходной» и «входной» вершин; обозначим их как Е, Етт, В т, Е Точные С-функции выражаются через точные Е-функции то>кдесгвами, которые можно записать в графическом виде; для функции С вЂ” = — ° -еэ- ° —:з ° еэ ° -3:— (94.1) и аналогично для остальных функций (жирные линии - точные С-функции, кружки -- Е-функции; ср.
1Х, (14.4)). В аналитическом виде: 1о)-- ) (о)-- . 1о)-е С12 С12 + / (С14 ~43 С32 + С14 В«3 С32 + + С1«л«3 С32 + С1«л'«3 Сзз ) о Хз 0 Х«(94.2) и еще три уравнения для остальных С-функций. Для компактной:записи таких уравнений цолесообразно ввести матрицы (94.3) Тогда четыре уравнения вида (94.2) запишутся совместно как одно матричное уравнение Сгз = С12 + С1«Е43С32 11 Хз д Х«; (94.4) множители под знаком интеграла перемножаются по правилу матричного умножения.
Аналоги 1ным образом записываются совместно уравнения (92.14) (92.18), которым удовлетворяют С-функции идеального газа: Сш С12 = ст«д(Х1 Х2); (94.5) где ) ( Π— 1 )' Вернемся к уравнению (94.4) и подействуем на обе его части операторокл Со '. Учитывая (94.5), получим в результате систему четырех интегродифференциальных уравнений, записанных ') Обозначение п„заимствованное из стандартных обозначений матриц Паули, не имеет здесь, конечно, никакого отношения к спину. 487 З 94 ООБС"ГВВННО ЭНЬРГН'ГИЧЯС'КИЕ ФУНКЦИИ В виде одного матричного уравнения: Со~'С19 = сг,б(Х1 — Хз) + сггХ14Сзз94 Хз (94.6) Отметим, что это уравнение можно представить и в другом, эквивалентном виде, если заметить, что в диаграммной записи (94.1) можно с тем же успехом изображать жирные линии слева (а не справа, как в (94.1)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
