X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 95
Текст из файла (страница 95)
32), которые в общей гложности охватывают всю бесконечную совокупность полюсов множителя $6 (в/2Т), которые он имеет в точках в = (2в'+ 1)ггТ (точки на рисунке); вычеты подынтегрального выражения в каждом из этих полюсов дают соответствующие С,С, С2 Сз Рис. ЗЗ Рис. 32 члены в сумме (96.19) (на бесконе пгости Яв) со1/в, так что интеграл сходится). В выборе контуров учтено, что функция й(в) аналитична в каждой из двух полуплоскостей: ( Си(ьв), Вез ) О, С'4(1в), Ке в ( О., где С и С аналитические функции (запаздывающая и опережающая функции Грина см. 1Х, 3 37); мнимая же ось в является, вообще говоря, разрезом для функции Д(в).
500 ГЛ Х2 СВЕРХПРОВОДННКН Развернем теперь контуры так, чтобы они проходили вертикально по обоим берегам линий разрезов Нег = 0 и Вел = ~, (рис. 33; бесконечно удаленные замыкающие участки контуров не показаны). На паре линий С1, С2 заменяем переменную интегрирования, положив е = гы', а на паре С2, Сз полагаем е — ~, = = зо2~.
Тогда при ~, > 0 имеем -« =-И( —::- —:- '- - - ° +1и ' ~'(С~(о2') — С (о2')1С~(о2'+ 2~,)) до2'. (96.21) При выводе этого выражения значение ~, было еще фиксировано: ~, = 22глТ. Но для таких значений = 1и — = 21Ь вЂ”. + ч6 2Т 2Т 2Т После такой замены аналитичность выражения (96.21) при всех ~, > 0 очевидна ввиду аналитичности функций СА и С~ в соответствующих полуплоскостях. Полагая теперь Щ = оз, имеем для уже аналитически продолженного выражения ): ,У(о2) = ум( — зо2) = — — 1Ь вЂ” ((С.
(П2 ) — С (о2 )) х х С~(о2' — о2) + (С~(о2') — С~(о2'))С~~~(озю + о2)) й )'. (96.22) Таким же способом производится продолжение второго члена в подынтегральном выражении в (96.18) и приводит к результату, отличающемуся от (96.22) лишь заменой функций Сн, С'1 на ГР~, г'+~ ).
Все эти функции даются следующими выражениями (см. 1Х, 3 41): 2 2 С~(о22р) = " + 22 — е 4- 20 ы -~- е + 20 (96.23) р-гн( 2е 1м -1- е -~- 20 22 — е -1- 201 ') Изложенный способ аналитического продолжсння принадлежит Г.М. Элиашбергу (1962). ) Определение грнновской функции г + (соответствующсй температурной функции У) — см. 1Х, З 41. Определения функций г т~ н г т~ отлнчаются от г' заменой Т-пронзведення коммутатором — аналогично связи между С, С н С.
501 1 96 ВысОкОЯАстотныв сВОйстВА ОБщАя ФОРмулА где Функции же С, ГФ отличаются от С, Г лишь знаком перед 10. Поэтому Сн СА 2 1ш Сн я(п25(го е) + п25(го + е)] Г+~ — Г~~ = — (б(оз — е) — д(оз + е)1 2е и интегрирование в (96.22) сводится к устранению б-функций. После ряда простых, но довольно громоздких алгебраических преобразований получается следующее окончательное выражение ): Я(оз,1с) = — ' — — ' р з1п 01Ь вЂ” 'х тс 4гпзс,/ 2Т еее ~ ~ет — е — ы — 10 ет — е ФыегО~ О,Ч +Л'1 ~ з еее 2 (ее+с — ы — 10 ет+е +и+г02/ (2я)а' (96.24) где (96.
25) з)т = — (Р+ — ) 1А е~ = ~ + г)~. 2т 2 Два члена в фигурных скобках в (96.24) имеют существенно различное происхождение и смысл. Первый из них нечетен по р; поэтому при Т = О (когда множитель 1Ь (аФ(2Т) = 1) интеграл от этого члена обращается в нуль. Эта часть г.г связана с бесстолкновительной динамикой элементарных возбуждений. Ее мнимая часть, существующая при всех ю и 1с, связана с бесстолкновительным затуханием Ландау. Интеграл же от второго члена остается отличным от нуля и при Т = О. Эта часть гь1 связана с рождением или разрывом куперовских пар.
Полюсы подынтегрального выражения в этой части лежат пРи ее + е = щоз. ДлЯ их сУЩествованиЯ (а тем самым и для возникновения диссипации - мнимой части Я) частота должна превышать 2АА энергию связи купсровской пары. ') В 1Х, 1 61, указывалось на необходимость осторожности при вычислении суммы и интегралов вида (96.18) ввиду медленности убывания подынтегральвого выражения. В использованном здесь порядке операций зта трудность обойдена.
Это подтверждается тем, что окончательное выражение (96.24) удовлетворяет необходимому условию: О = 0 при А = 0 и ы = 0 (нормальный металл в постоянном пале) см. примеч. на с. 603. 502 ОВВРХПРОВОДИИКИ гл х1 й 97. Высокочастотные свойства сверхпроводников. Предельные случаи (97.1) Ьйпр «Ло, где Ьо — значение Ь(Т) при Т = О. При этом будем считать, что Ь < Т, чем исключается область очень низких температур. Частоту будем считать малой в том смысле, что ы ~ йий. При к — Р 0 Цел — Р А й2 стев Поэтому второй член в фигурных скобках в (9б.24) мал и им можно пренебречь. В первом же члене первая квадратная скобка заменяется на 2; воспользовавшись нечетностью второй квадратной скобки как функции р, пишем после этого: Заметив, что 1Ь (е(2Т) = 1 — 2поЯ, где по(е) = ~е'~ +1) ' (97.2) — функция распределения элементарных возбуждений в сверхпроводящем ферми-газе (распределение Ферми с равным нулю ) Связь между Яба,'и) и поперечной диэлектрической проницаемостью с~(ы, к) выясняется следующим образом.
Выразив плотность тока через вектор поляризации согласно — иаР = 4 и введя вместо А напряженность электрического поля Е = иквА/с, переписываем соотношение (96.4) в виде Р = — иэ эЯЕ. Отсюда видно, что Яс е,— 1 а,е Перейдем к исследованию общей формулы (96.24).
Число предельных случаев здесь очень велико ввиду наличия четырех независимых параметров йо2, йаок., гд, Т, которые могут находиться в различных соотношениях межд) собой. Мы рассмотрим лишь несколько из них. При )ко» са наличие щели в спектре свсрхпроводника несущественно. Положив в первом приближении Ь = О, мы пришли бы к формуле для поперечной диэлектрической проницаемости нормального электронного ферми-газа; мы не станем останавливаться на соответствугощих вычислениях ). Лондоновский случай. Рассмотрим лондоновский предельный случай, в котором ВысОкОчлстОтныв сВОйствл певдельныь случли 503 химическим потенциалом), пишем 1Ь вЂ” + — 1Ь: = — '2)по(е+) — гго(е )) = — 261сч — ', 2Т 2Т де где де пр ч = — = —.
др гпе Тогда ГЗГ Ь) Л'е е дпа 1счр жп и д р юпс шэс / де Ъкч — ы — ЕО (2яй)е Лэе ые 1 дп Р вш д ЙЕР б)(о7,1с) = — '+ — ' те гп'с / де 1ся — ы — ЕО (2яй)з (97.4) Второй член в этом выражении описывает вклад в диэлектрическую проницаемость от элементарных возбуждений в ферми-газе ). При 1Е « йе можно пренебречь ы в знаменателе подынтегрального выражения в (97.4): 1 ) ) Л',е ые э1п 04совд дпо Р 2 р7 О) шс 4~ЕЕЫЬ „( сова — 03 1 де ш е Интеграл по сов 0 вычисляется по вычету в полюсе сов д = 40 и равен 4п. Интеграл же по р, переписанный в виде дпо р'е э е — пгй де логарифмически расходится при ~г)~ << 2л.
Обрезан его при значениях ~г)~ озгл/(Йпр) (для когорь1х Йн о7), получим, с лога- ) В этом легко убедиться с помощью формул, приведенных в 1Х, з 40, при вычислении ГП = шХ,. Отметим, что ®10, 1г) обращается в нуль (вместе с Лй) при Т э Т„как это уже было упомянуто в примеч. на с. 501. ) В этом можно убедиться, сравнив (97.4) с формулой (2) для поперечной проницаемости бесстолкновительной электронной плазмы в задаче 2 к З 31. При сравнении следует учесть., что лондоновский случай соответствует квазнкласснческому пределу, так что формула для вырожденного газа отличается от формулы для максвелловской плазмы только видом функпии распределения и законом дисперсии Е(р).
При ы = 0 это выражение совпадает, как и следовало, с лондоновским значением Лгве~/(тс), где Л7,(Т) плотность свеРхпроводящих электронов 1). Поэтому можно переписать (97.3) в эквивалентном виде: 504 гл х1 СВВРХНРОВОДИИКИ рифмической точностью, дна 2 з 2 / Иц Рк де е= а и мьДйсг) Таким образом, Ле,ез . е рулем 1в (йсг/ы) вес 2кс1ез2 И(ездит 1 1)(е л~т Р 1) (97.6) Я(сс,й) = — г— 4 евс йсг где Л1 = РГ - плотность электронов.
Это выражение отвезязаз чает просто аномальному скин-эффекту в нормальном металле (с законом дисперсии е = рз/(2тп)) Пнппардовский случай. В статическом магнитном поле пиппардовский предельный случай соответствует неравенству (97.7) 'еоиг» ~0 7с. Рассматривая переменное электромагнитное поле, добавим сюда еще и условие (97.8) Вычипчеиия в этом случае существенно упрощаются, если предварительно вычесть из выражения Я(сс, й) (96.24) его статическое значение фО,й); это сводится к отбрасыванию постоянного члена № /(тпс) и вычитанию из каждого члена (ее ж е ж Урсс) в подьштегральном выражении такого же члена с ы = О.
Разность ьз(оз, К) — Я(0, Е) оказывается пропорциональной 11а. ') См. формулу (86.16). При сравнении следует учесть независимость К от у в данном случае, а также тот факт, что О связывает 6 с А, а не с К, как н из (86.16). Мнимая часть с„1 определяет диссипацию; ее отрицательный знак отвечает положительному знаку мнимой части диэлектрической проницаемости. Выражение (97.6) становится непригодным при Т вЂ” + Тс, когда еуз и Ь стремятся к нулю. Главный вклад в интеграл по р в (97.5) здесь вносит область т1 Т» е.'1; в ней можно положить Ь = О. После этого получим 505 ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ Таким же образом зависит от й пиппардовское 130, 1с): (см.
1Х, (51.21)). Поэтому можно записать Я(1н, 1с) в виде (97.10) 4лй где у(В1) — подлежащая вычислению функция, обращающаяся при ш = 0 в нуль. Отметим, что ввиду той же зависимости от й остается справедливой формула (52.6) (см. 1Х) для глубины проникновения б, в которой надо лишь заменить О на р'+ у(ы). Но ввиду комплексности З(1н) (см.
ниже) при этом естественно пользоваться не самой д, а связанной с ней величиной — поверхностным импедансом ~(В1) = — гид/с. В интеграле, определяющем разность Я(1С,1с) — Е0,1с), существенны (как и при вычислении фО, 14) в!Х, 2 51) малые значения совО, причем интеграл быстро сходится при увеличении совО, это позволяет положить в1пО = 1 и распространить интегрирование по сов О от — ОО до ОО.
Преобразуем интеграл по дзр = 2яр др11соеО 2ярР~-тйцйсовО и = — — д) к интегрированию по новым переменным (= '- р' 2т ЕТ У1 ~ В2 Ь' Имеем О+ + 0 — 211, т1+ — и — йй~в сов О. Поэтому интегрирование по дц дсов О можно заменить ннтегри- ИВА ВП рованием по в пределах от — оо до ОО по каждой из пе- ЬВЕ ременных От и и . При этом выпадают все члены в подынтегральном выражении, содержащие произведение т1т0 и потому нечетные по этим переменным. После этого можно перейти к интегрированию по переменным х1 и х2 в пределах от 1 до ОО по каждой из них, заменив ,1 11 сов Π— 1 4 е+е 11е а1е = 4АА'В~В~ Вх1 Нег МВТП+я БЬВРЦЕ2, — 1ЯВ~ — Ц)02 506 оввгхпговодиики ГЛ Х1 В результате этих преобразований найдем у(ы) = — Зя,7 / ((х( — 1)(х2 1))Н~ 2Т 11 Х (Х!Х2 + 1) + ( 1 1 ~х~ — х2 — ю — 10 х~ — хх -Ь ~~ -Ь10 1 1 + (ео1х2 — 1) + х~ + хз — й — 10 хч + хз + Ы + 10 х„'Л (97.11) УЪ1,1= 1 х(х+ )+' ~11 (*+ )'1 11 *'1,1 ./ (х~ — Ц~~~((х-Ью)2 — ЦН2 ( 2Т 2Т) 1 й — 1 + я ( ) 1Ь вЂ” дх; (97.12) (х' — 1)Н2[(х — ы)~ — ЦП2 2Т 1 второй член существует лишь при й > 2.
Аналогичным образом легко убедиться, что У'( — й) = У'(й). Интеграл (97.12) зависит от двух параметров, Ь7Т и ы/Ь, которые могут еще находиться в различных соотношениях друг с другом и с единицей. Рассмотрим некоторыо из возможных здесь предельных случаев. Пусть Т = О. Тогда первый интеграл в (97.12) обращается в нуль. Второй же интеграл отличен от нуля при ы > 2ЬО, т. е. имеется порог поглощения на «энергии связи» куперовских пар. Наличие этого порога, в чем непосредственно проявляется щель в спектре, есть специфическое свойство сверхпроводника. Вблизи порога, при й — 2 « 1, во всей области интегрирования и близко к 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
