X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Напомним, что его вещественная часть определяет диссипацию энергии поля в металле (см. Ъ'111, 2 67). Д.ля того чтобы имела место связь 3 = пЕ между током и электрическим полем в той же точке пространства и в тот же момент времени, длина, свободного пробега электронов 1 и время свободного пробега т 1лгпв должны удовлетворять условиям 1 « д и тол « 1: 1 должно быть мало по сравнению с характерным расстоянием изменения поля г1, а т мало по сравнению с периодом поля.
При нарушении первого из этих условий связь ) В анизотропной среде ситуация меняется. Для выполнеаия указанного услОвия должнО быть тогда введено наряду С тангснциальпым также и нормальное к поверхности электрическое поле. Величину б назывгиот глубиной проникновения поля; она убывает с увеличением частоты поля. Магнитное поле в металле затухает по тому же закону; из уравнений (86.3) следует, что Е и В связаны везде соотношением Е = г,(Вп)г где п единичньпл вектор нормали к поверхности (направленной внутрь металла, т. е. в положительном направлении оси л), а ЛНОМЛЛ! НЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ между током и полем перестает быть локальной, возникает пространственная дисперсия проводимости.
Нарушение же второго условия приводит к появлению частотной дисперсии проводимости. Для выяснения связи между током и полем надо обратиться тогда к кинетическому уравнению. '1аким образом, характер скин-эффекта зависит от относительной величины трех характерных размеров: б, 1 и ер/о!. Нормальному скин-эффекту, описываемому формулами (86.5) (86.8), отвечает область наиболее низких частот, при которых 1 « д, 1 « — ". (86.9) При увеличении частоты поля или при увеличении длины пробега (при уменьшении температуры металла) глубина проникновения уменьшается.
В металлах обычно первым нарушается условие б )> 1 и связь тока с полем становится нелоканьной; о скин- эффекте в этих условиях говорят как об аномальном. Мы рассмотрим в этом параграфе предельно аномальный спучай! когда (86.1()) б « 1! б « Соотношение же между 1 и нр/го может быть произвольным 1). Решение граничной задачи о скин-эффекте мы начнем со вспомогательной задачи о связи в неограниченном металле между током и переменным во времени и пространстве электрическим полем Е=Е ое Волновой вектор поля предполагается удовлетворяющим нера- венствам — « (! — « —., (86.11) й к ы отвечающим условиям (86.10).
Вместе с полем по тому же закону будет меняться и добавка дп к функции распределения электронов. В силу условия ор)г » нр/( 1/т, н кинетическом уравнении можно пренебречь интегралом столкновеяий 81п бн/т по сравнению с членом с пространственными производными згдп)дг !!РЫп. В силу же условия ке(! )> о! можно пренебречь также и производной по времени дг!/дг о!бн.
') Равенство б ( достигается при ы серп(~), т. е. (если воспользоваться оценкой о (е й!!!рг) при ы с рг,!(е (' Й!). Это значение совместно с неравенством б 1 «ег!!ы, если 1 » с/й, где й (Хе!!!т*)П~ -- плазменная частота металла (и!, рг/ог — эффективная масса электронов проводимости). Для обычных металлов й 10~~ — 10!е с 444 гл ~х металлы В силу последнего пренебрежения, кинетическое уравнение для квазичастиц электронной ферми-жидкости снова сводится к уравнению для газа путем переопределения функции распределения замены 5п на 5й из (74.13). В данном случае, после указанных пренебрежений, кинетическое уравнение имеет простой вид ч "— еЕ "'=О. дг др Положив д дй .
— дпе дпо — = 11сдп, — = ч —, дг ' др де ' находим отсюда 1еЕч дпе оп= — ' 1» дс (86.12) Это выражение имеет полюс при ~ч = О. При вычислении тока 3 = — е( чдй 1 -- 2дзр 12нй)е этот гюлюс должен обходиться путем замены 1сч — + 1с» — 10 ): ° . 2 1»(Е») дпе 24~я 1=ге ! / 1с» — го де (2тй)е (86.13) 2гее и(Еи) до, 3=— (2нй)а К(и) ни — 20 (86.14) Определяя направление и азимутальным и полярным углами у и 0 относительно направления 1с как полярной оси, будем иметь 1си = йсовд, с1о, = в1пдсдрМ. ') Это отвечает обычной замене ы — > ы+ ~О в разности ы — 'нч. Пренебрегая, как обычно, температурным размытием равновесной функции распределения, пишем дпо(да = — ддв — ер) и преобразуем интеграл по едзр в интеграл по ферми-поверхности по формуле (74.20).
Согласно известной формуле дифференциальной геометрии, элемент площади сИ = с1о„/К, где с1о„- элемент телесных углов для направления нормали и к поверхности, а К гауссова кривизна поверхнос:ти, т. е. обратное произведение К = 1/(В1В2) ее главных радиусов кривизны в данной точке. Заметив также, что направление нормали к ферми- поверхности в каждой ее точке совпадает с направлением скорости ч = де/др, получим ЛНОЕЛЛЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ 1 Лнтегрллрованис в (86.14) по переменной )л = сов0 производится по отрезку — 1 < )с < 1 вещественной оси с обходолл полюса р, = О по полуокружности снизу. Легко видеть, что интеграл по прямолинейным отрезкам (т, е, главное значение интеграла) при этом обращается в нуль, так что остается лишь вклад от обхода полюса.
Для этого замечаем, что в силу четности функции с(р) ферми-поверхность с(р) = си инвариантна относительно замены р л — р; поскольку изменение знака р меняет также и знак вектора нормали и, отсюда следует, что Х( — и) = Х(и). Интеграл в (86.14) можно поэтому представить в вллде 1 ) / и(Еи) до, / и(Еи) Но, 2 ) / К(и)(1си — ло) / К(и)(1си -~- ло) где в скобках стоит сумма интегралов, получающихся друг из друга заменой переменной интегрирования и — + — и; из этого выражения сделанное утверждение очевидно.
В полюсе подьштсгрального выражения 1си = й сов 0 = О, т. е. нормаль и перпендикулярна заданному направлению волнового вектора )с. Вычет по переменной сов 0 дается, следовательно, интегралом и(Еи) ЙК(и) взятым по кривой, представляющей собой геометрическое место точек ферми-поверхности, в которых и ) 1с. Таким образом, окончательно находим связь тока с полем в виде /„= п„д()л) Ед, (86.15) где ялг 2нсоА„Л (2 .6)зл, ' (86.16) 0 вещественный тензор в плоскости, перпендикулярной )с; если няправлевне )с вьлбрянп в ка и гтве ос;н я, то индексы ст н )3 пробегают значения у, ю Вектор 1 лежит целиком в этой плоскости, т. е.поперечен по отношению к 1с. Обратим внимание на то, что вклад в ток возник только от электронов с и)с = О, т.
е. движущихся перпендикулярно волновому вектору. Это естественное следствие приближения, в котором длина свободного пробега рассматривается как сколь угодно больп|ая: при движении под углом к направлению )с электрон в своем свободном движении проходит через поле, осциллирующее в пространстве и эти осцилляции погашают суммарное воздействие поля на электрон. В следующем приближении, при учете конечности произведения И, вклад в ток возникал бы уже гл ~х мвталлгя от электронов, движущихся в малом интервале углов 1/(И) относительно плоскости, перпендикулярной направлению 1с. Перейдем теперь непосредственно к задаче о проникновении поля при аномальном скин-эффекте.
Здесь мы имеем дело с задачей о полупространстве, которую надо решать с учетом граничных условий на поверхности металла. Граничные условия для функции распределения зависят от физических свойств поверхности по отношению к падающим на нее электронам. Существенно, однако, что в данном случае в создании тока участвуют в основном лишь электроны, летящие почти паралле;гьпо поверхности металла (о них говорят как о скольэлп4их электронах) . Для таких электронов закон отражения в значительной степени не зависит от степени совершенства поверхности металла и близок к зеркальному, т.
е. электроны отражаются с изменением знака нормальной к поверхности компоненты скорости и при неизменных тангенциальных составляющих (чтобы не прерывать изложение, более подробное обсуждение этого вопроса перенесем в конец этого параграфа). Зеркальному отражению отвечает граничное условие для функции распределения: 5й(пя, пв, пх) = 5п( — и,, пю п,) при х = О. (86.17) При таком условии задача о полупространстве эквивалентна задаче о неограниченной среде, в которой поле распределено симметрично по обе стороны плоскости х = О: Е(с,х) = Е(ь', — х). При этом электронам, отраженным от границ в задаче о полу- пространстве (х ) О), отвечают в задаче о неограниченном пространстве электроны, беспрепятственно прошедшие через плоскость х = О со стороны х ( О.
В задаче о предельно аномальном скин-эффекте люжно считать, что поле Е (зависящее только от одной координаты х) направлено везде параллельно плоскости х = О. Согласно (86.15), в той же плоскости лежит и вектор тока ), и потому автоматически удовлетворяется условие равенства нулю на поверхности металла нормальной к ней компоненты тока ). Без предположения ) = сгЕ для двумерного вектора Е имеем вместо (86.4) уравнение Еп =— (86.18) Будем далее подразумевать временяой множитель ехр ( — гоэ2) во ) В следующих приближениях, при учете конечности отношения б/О наряду с компонентами о д тензора проводимости появляются также и компоненты и,, о„, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
