X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Здесь идет речь о двумерной дивергенции па искривленной поверхности: ее, однако, удооио записать в трехмерных обозначениях: — 1~(~р) — ~ = ) ур — пр(пррр))в. (83.3) Здесь ~7р обычный оператор дифференцирования по декартовым координатам в р-пространстве, а оператор в фигурных скобках его проекция на плоскость, касательную к ферми-поверхности в каждой заданной ее точке (пр -- единичный вектор нормали к поверхности) ). Вектор в(рР) задан на ферми-поверхности, но в (83.3) рассматривается формально как заданный во всем пространстве (но зависящий лишь от направления рр). Кинетическое уравнение (в котором опускаем теперь производную по времени) принимает вид ('7р — пр(пРД7р))в = — сК вЂ” Р. (83.4) ог Задача состоит в нахождении потока в — его выражения через функцию ~р.
Введем декартову систему координат в р-пространстве с осью я по направлению нормали к ферми-поверхности в точке, в которой вычисляется в(рр), и с началом в этой же точке. По определению, компонента в потока есть разность между числом электронов, пересекающих (в 4 с) благодаря столкновениям полосу единичной ширины на плоскости уе слева направо (в положительном направлении оси щ), и числом электронов, пересекающих эту полосу справа налево. ) Этот оператор фигурирует в двумерном аналоге теоремы Гаусса у ев Ж = ) Г зг — и (и у ) ) в дэ'.
Интеграл слева берется по замкнутому контуру, лежащему на заданной поверхности (е — единичный вектор нормали, внешней к контуру в плоскости, касатольной к поверхности в данной сеточке);интеграл справа берется по участку поверхности, ограниченному контуром.
гл ~х мвталлгя Рассмотрим разность между числом актов испускания фононов с квазиимпульсом )с в заданном интервале гг Й электронами с квазиимпульсами в интервале д р и числом обратных актов 3, поглощения таких же фононов. Опа дается (с обратным знаком) первым членом подынтегральпого выражения в (79.9): йзь ду г1зр — — '' ш(по — тго)5(е — е' — оЛ,)(~рр — ~рр + Хй), (83.5) (2я)з ды причем р = р'+ )с 1), гРононная функция Хь здесь должна быть выражена через ~р согласно (82.5): Хй — / го(по ьзо)о1е е озй)(уо ' у ) (83 6) 1 / / 2нзр игь, / 1 1 (2я)з с ирл е из (82.6).
Если й < О, то в результате испускания фонона пройдут через рассматриваемую полосу (причеги в направлении слева направо) те электроны, у которых пмкомпонента первоначального квазиимпульса лежит в интервале (83. 7а) для таких значений р выражение (83.5) дает положительный вклад в поток а... Если же й > О, то в результате испускания фонона через полосу пройдут (причета справа налево) электроны с (83.?б) О < р < йв; соответствующий вклад в в, отрицателен. Из сказанного ясно, что для нахождения я надо: 1) проинтегрировать выражение (83.5) по единичному интервалу ре и по всей области изменения р,; ввиду быстрой сходимости, последнее интегрирование ъюжно распространить от — оо до оо: 2) проинтегрировать по интервалу (83.7) значений р .
Но ввиду медленной зависимости всех величин от р„вдоль ферми-поверхности, это интегрирование сводится просто к умножению па длину интервала; с учетом знака, с которым результат интегрирования должен войти в вво это означает просто умножение на — ггв; 3) наконец, надо проинтегрировать по гс гч ') В проведенных вьппе рассуждениях мы опускали множитель (2я) з в определении поверхностной плотности (83.1). В соответствии с этим опускаем один такой множитель и в (83.8). Напомним также, что мы уш|овились в ш~учае открытых ферми- поверхностей допускать значения квазиимпульса электронов во всей обратной решетке (см.
О 81); повтому закон сохранения квазиимпульса пишется без слагаемого Ь. 427 ДИФФУЗИЯ ЭГГЕКТРОНОВ ПО ФВРМИ-ПОВЕРХНОС'ГИ Компонента ээ потока отличается от э лишь заменой в подынтегральном выражении й, на йю Поэтому поток можно записать в векторном виде: ~Зй в(рк) = — ( ' х / (2гг)В /-(- "-" -"--"-" -)" где ж проекция К на касательную плоскость в точке рг. Прежде всего пишем гг~й = г1й, ггвж и проводим интегрирование по й..
Ввиду малости к можно преобразовать аргумент б-функции в (83.8): д(ер — ер и — иги) = 6(1сул — иг) = — б (й, — †" ) (напРавление Ур совпаДает с ноРмалью к феРми-повеРхности). Интегрирование по й, устраняет б-функцию, одновременно за- МЕПЯЯ ВЕЗДЕ й, На ЬГ,гготг. НО ПОСКОЛЬКУ ИГ,ггав йи(и2г « й, тО можно положить просто й, = О, т. е. заменить к — > ж. (83.9) Можно провести в общем виде также и интегрирование по г1р, = гй,г'п„ггоскольку быстро меняющейся функцией е в подынтегральпом выражении является только разность па(е — иг) — па(е) = — иг дпа де интегрирование по е превращает этот множитель в га. После этих операций выражение (83.8) принимает вид в(РР) = — —, ! жга и (гдр — Ур + з, ) —,. (83.10) дь;( 2ПРР / дм (2гг)'-' Для дальнейшего преобразования интеграла пишем в пем, снова используя малость 1с: гд(р — 1с) — гр(р) — — 1с — — — ж — = — жС— дф дф дЗг др др др где С = ж/ж .- единичный вектор касательной к ферми- поверхности в направлении ж.
Поскольку такая же разность содержится и в интеграле (83.6), то можно представить функцию ~(1с) в виде ~(1с) = жа(С). (83.11) гл ~х 428 мвтлллы Наконец, ввиду (79.4) представим и! в виде и = чМ(рр,1). (83.12) С этими обозначениями имеем где у -- полярный угол направления х в касательной плоскости. Интегрирование по ч в (83.13) сводится к вычиолению инте- грала ,1 = 1 .ч оь,— сЬс; 4 д-Уо д~ ~ ,7= — / ы' — 4ы= — — / ЛЪы 4(~= 1 вдХо д 4 ио дм оо,/ о о — — 120Д5) и' / е' — 1 о' о (значение ~-функции: ~(5) = 1, 037).
Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности потока электронов вдоль ферми-поверхности; ЗО~(О)24 ( Ы(1)1 (ядр 4а (83 14) х'о~~ 11 оо(1) 1 др где увловые скобки означают усреднение по направлениям С в касательной плоскости в данной точке рр ферми-поверхности. Остается получить максимально упрощенное выражение для а.
Согласно определению (83.11) из (83.6) имеем ( м(п' — по)д(4 — е' — ~4(др/др) дйр ( Л4(п', — по)йг — и — ° ) 44р (сокращены общие множители в числителе и знаменателе). Интегрирование по о' р заменяем (ср. начало этого параграфа) интегрированием по г(Ярг)е/ир. От е зависит только множитель по(а — ы) — по(а), одинаковый в обоих интегралах; результаты интегрирования в числителе и знаменателе сокращаются. После о ввиду быстрой сходимости интегрирование можно распространить до ж.
Энергия фонона с малым квазиимпульсом х = хС: с и — — и(С)м. Поэтотлу 429 !"АльВАИОЫАГнитные яВлю!ия этого артумент б-функции пишем в виде 1ст!р — ы — иъ р (пренебрегая величинами относительного порядка и/пр). Окончательно находим )'и .'м!!(и!)(д~р7др) !!лн а= ( ю —,2МйпФ) 4БГ (М . — функция точки рр на ферми-поверхности и направления С; п единичный вектор нормали). В си,пу наличия !!-функций, интегралы фактически берутся лишь вдоль линии на ферми-поверхности, па которой норл!а!!ь перпендикулярна направлению Ф квазиимпульса фонона.
Формулы (83.4) и (83.14), (83.15) решают задачу о приведении кинетического уравнения к диффузионному виду. Это уравнение интегродиффсренциальное. Плотность потока (83.14) можно записать в виде В„= — Р„!! ( — — ад), дря (83.16) где 9 84. Гальваномагнитные явления в сильных полях. Общая теория Характерным безразмерным параметром, определяющим влияние магнитного поля на электропроводность металла, является отношение гв!!1, где гп ларморовский радиус орбиты электрона, а 1 --- длина свободного пробега.
Напомним (см. 1Х, 3 57), что движение электронов проводимости в магнитном поле практически всегда квазиклассично в (а! !3 двумерные векторные индексы). Первый член имеет обычный дифференциальный вид с тензором коэффициентов диффузии РВд, этот член связан с рассеянием электронов равновесными фононами. Второй же член интегральный; он связан с эффектол! увлечения электронов неравновесными фононами. Плотность тока вычисляется по функциям !р как интеграл — ) !рппБр. (2Я)В Из уравнения (83.4) с я из (83.16), (83.17) ясно, что функция !р (а с нею и проводимость металла) зависит от температуры как Т в в согласии с резулыатом предыдущего параграфа. Обратим внимание па то! что увлечение электронов фононами не меняет этого закона, хотя и отражается на виде кинетического урав!и!Иия.
4ЗО металлы гл ~х связи с очень малой величиной отношения йссн/ег (где шв ларморовская частота). Траекторией в импульсном пространстве является при этом контур сечения изоэнергегической поверхности 61р) = соггвС плоскостью р, = сопв$, причем ось я направлена вдоль поля. Поскольку энергии электронов близки к граничной энергии ек, то и изоэнергетические поверхности, о которых может здесь идти речь, близки к ферми-поверхности. Поэтому размеры траектории в импульсном пространстве совпадают с линейными размерами рг соответствующего сечения ферми-поверхности. Размеры же траектории в обычном пространстве срг гв еВ Эта величина обратно пропорциональна магнитному полю. Поэтому в гальвапомагнитпых явлениях надо считать слабыми поля, для которых гв» 1, а сильными для которых тн « 1.
(84.1) В случае слабых магнитных полей кинетическое рассмотрение не приводит (при произвольном законе дисперсии электронов) к чему-либо новому по сравнению с результатами чисто феноменологической теории. Характер зависимости компонент тензора проводимости стоя от магнитного поля в этом случае соответствует просто разложению по степеням В с учетом требований, налагаемых принципом симметрии кинетических коэффициентов (см. ггП1, 6 21). В сильных же магнитных полях выяснение этой зависимости требует кинетического рассмотрения. Условие.
сильного поля (84.1) фактически выполняется лишь при низких температурах, когда пробег 1 достаточно велик. При этом металл обычно находится в области своего остаточного сопротивления, связанного с рассеянием электронов на примесных атомах; этот случай мы и будем иметь в виду. Взаимодействие электронов проводимости с атомом примеси происходит на расстояниях порядка величины постоянной решетки д. Если гп « 1., но в то же время гв» д, то наличие мапгитного поля не сказывается на этом взаимодействии и тем самым - на интеграле столкновений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
