X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Это действительно так для рассеяния на обычных примесях, но не на парамагнитных атомах. 4О1 ЭЛВКТРОН-ФОНОННОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Для грубой количественной оценки остаточного сопротивления можно воспользоваться элементарной формулой (43.7), положив в ней (для электронов в металле) р рн: 2 и е Х вЂ”, Рт (78.16) где гт' плотность электронов. При рассеянии на примесях длина свободного пробега 1 1/(Хори~), где оэ транспортное сечение рассеяния. Поэтому остаточное сопротивление р„, = 1/и, Л РНШР' Рвот С (78.17) Т )) Йвко~Хнр1 (?8.18) зависящим от концентрации примесей.
В действительности, однако, такое ограничение отсутствует (Л.Д. Ландау, 1934). Дело в том, что ввиду закрепленности положений примесных атомов и упругости рассеяния электронов на них, вся задача о вычислеяии электрического тока может быть сформулирована в принципе как квантовомсханнческая задача о движении электрона в некотором заданном сложном, по потенциальном внешнем поле. Для состояний электрона, определенных как стационарные состояния в этом поле, энергия не имеет неопределенности; при Т = 0 элсктропги будут заполнять Область состояний, Ограниченную резкой ферми-поверхностью но не в импульсном пространстве, а в пространстве квантовых чисел движения в этом поле.
В такой постановке задачи условия типа (78.18) вообще не возникают. й 79. Электрон-фононное взаимодействие В достаточно чистых металлах основным механизмом установления равновесия в широком диапазоне температур является взаимодействие электронов проводимости с фононами. К сказанному в этом параграфе надо сделать еще следующее замечание.
Общее условие применимости кинетического уравнения для ферми-жидкости требует, чтобы квантовая неопределенность энергии электрона была мала по сравнению с шириной ( Т) зоны тепловой размытости распределения Ферми. Указанная неопределенность Цт, где т 1/вк время свободного пробега. Для рассеяния на примесях 1 1/(й7прп~), неопределенность Цт не зависит от температуры и тем самым размывает ферми-границу даже при Т = О. На первый взгляд отсюда следует, что все проведенное выше рассмотрение ограничено очень жестким условием 402 металлы ГЛ 1Х Условие возможности испускания (или поглощения) фонона электроном требует, чтобы скорость электрона превосходила скорость фопона -- ср.
аналогичный вывод в 8 68 для испускания фонона фононом. Но скорость электронов у ферми-поверхности обычно велика по сравнению со скоростью фононов, так что это условие выполнено и основной вклад в электрон-фононпый интеграл столкновений вносят именно указанные «однофононныеа процессы. С учетом этих процессов интеграл столкновений имеет следующий вид, аналогичный фонов-фононному интегралу (67.6) '): Юе рь пр — — ш(Р', 11:, Р)(11р~ (1 — пр)>Уй — пр(1 — пр~) (1+ >Уй)) х лвй х д(е — в — ш1,) + (2я)е + п>(Р'; Р, 1с)(пр~(1 — 11р)(1+ >Уй) — пр(1 — 11р~)>Уй) х х д(ер+ о>1, — ср ) . (79.1) ,1з ь (2я)з ' Первый член отвечает процессам испускания фонона с квазиимпульсом 1с электроном с заданным квазиимпульсом р и обратным процессам поглощения фонона 1с электронами р' с восстановлением квазиимпульса р: р=р'+й+Ь; (79.2а) в этих процессах переходы осуществляются между электронным состоянием с заданной энергией ср и нижележащими (по энергии) состояниями.
Второй же член отвечает процессам поглощения фонона электроном р и обратным процессам его испускания электронами р'. р+й= р'+Ь; (79.2б) в этих процессах переходы осуществляются между:заданным и вышележащими электронными состояниями. По тем >ке причинам, что и для испуска,ния фонона фонопом в 8 66, значение Ь В равенствах (79.2) однозначно определяется заданием значений 11, р и требованием, чтобы р' оказалось в той же выбранной ячейке обратной решетки. б-функционные множители в (79.1) выра>кают закон сохранения энергии; ср . энергии электронов, о>ь -. энергии фононов. Как и в гл.
Ъ'П, функция распределения (числа заполнения состояний) фононов обозначена через >Уй, функция ') В 1 79.83 используется система единиц, в которой й = 1. 4ОЗ элвктРОн-ФОЯОннОН Валик>Одвйс>твнв же распределения электронов обозначается через пр. Индексы, указывающие ветвь фононного спектра (и знаки суммирования по ннм), мы для краткости не выписываем. Предполагается, что вероятности переходов не зависят от спина электрона, не меняющегося при переходе. Аналогичным образом записывается фонон-электронный интеграл столкновений, который должен быть добавлен к фононфононному интегралу в правой части кинетического уравнения для функции распределения фононов: Я1р» е Ага = ю(Р;Р> 1с)(пр(1 — »р )(1+Ха) — »р (1 — пр)ХН) х х д(е +н>р — е ) —,, (79.3) 2>>зр р (2л)з причем р = р + )с+ Ь. Этот интеграл — разность между числом фононов 1с, испускаемых электронами со всеми возможными квазиимпульсами р, и числом фонопов, поглощаемых электронами со всеми возможными р'.
Множитель 2 учитывает два возможных направления спина излучающего (или поглощающего) электрона. В первом порядке теории возмущений фигурирующие в этих интегралах вероятности испускания и поглощения фонона электроном определяются оператором электрон-фонопного взаимодействия, линейным по фононным операторам Оз(п) (66.2); линейность отвечает тому, что эти операторы ответственны за переходы с изменением на 1 всего одного из чисел заполнения фононных состояний. Не повторяя вновь изложенных в З 66 рассуждений, укажем, что в пределе стремящегося к нулю квази- импульса фонона 1с вероятность испускания (или поглощения) фонона пропорциональна первой степени Й: (79.4) и> с>з й. Согласно общему свойству вероятностей перехода в борновском приближении, вероятности прямого и обратного переходов одинаковы; поэтому ) и>(р',1с;р) = ю(р;р',1с).
(79.5) Это свойство уже учтено в интегралах (79.1) и (79.3). Дальнейшее упрощение достигается при учете симметрии (выраженной вещественностью операторов Юе), с которой операторы рождения и уничтожения фононов входят в оператор ') Напомним, что квантовые числа начального (>) и коночного (т") состояний в обозначениях вероятностей перечисляются везде в порядке ~г. 404 мвтлллы гл ~х со(р~р, 1с р и ) = со(р~р, р и, — 1с), (79.6) причем ю являются функциями только от направлений рв и р',. Если теперь переобозиачить во втором члене в (79.1) переменную интегрирования 1с — + — 1с, то коэффициенты со в обоих интегралах станут одинаковыми; поскольку щ ь = соа, то переобозпачение приводит лишь к замене Мк на Х й, Интегралы (79.1) и (79.3) обращаются, конечно, в нуль равновесными функциями распределения электронов и фононов.
а1инеаризация этих интеграаов при малых отклонениях от равновесия производится одновременно по обеим функциям распределения, которые представляем в виде и = по(е) + бй, Х = Хо(ао) + БХ, диа иа(1 — иа) оп = — ~р = ~р, да Т а77 да а ха(1 + Х~) дм (79.
7) Преобразование производится вполне аналогично тому, как это делалось в з 67 и 74. Так, выражение в фигурных скобках в первом члене в (79.1), переписанное как пг)( ) [ и' га и приводится к виду по(1 — по)(1+ Хо) — ( ' — р+ ж). Т Это выражение цела.сообразно преобразовать далыпе, воспользовавшись равенством по(е)(1 — по(е )) = [по(е) — по(е МЫе — е ), (79 8) электрон-фононного взаимодействия. В силу этой симметрии, непускание фонона с квазиимпульсом 1с эквивалентно поглощению фонопа с квазиимпульсом — 1с.
Учтем также близость энергий электрона ер и ер~ к фермиевской энергии ер. Пусть рр и р~, векторы, проведенные в направлениях р и р' и оканчивающиеся на ферми-поверхности. Пусть функции ш выражены в зависимости от направлений рк, р', и разностей йр — — ер — ер, а)р — — ер— — ек, характеризующих степень близости энергии электрона к ен.
Относительно последних переменных ю является медленной функцией, заметно меняющейся лишь на интервалах ер» Т. Пренебрегая ве.личинами 9 Т., можно положить в этих функциях г)р — — г)р —— О. Тогда, указанная выше эквивалентность выразится равенством 405 ЭЛИКТРОН-ФОНОННОИ ВЗЛИМОДИЙОТВИЬ которое легко проверить прямым вычислением. Тогда получим (по — о)~В(~+~') (4 — Ч'+ Х) = — — '( а — по)( р' — т2+ Х).
т дм Таким же образом преобразуются остальные члены, и в результате получим следующие линсаризованные интегралы столкновений: З«,,а П = Те РЬ 9, Х) = ( НФо ив)(Ь~р' Кр + ХЙ)йер ер' ~он) 1 дЛ' еее — (Р— У вЂ” Х и)Б(е — с + юи)) —, (79.9) И и — и и (2,„)з ' З1реве'Х = ТРИ,е(Х~ Ф) = дЛ~. 1 2ле~, / Р'( О На)((~РР' ~РР + ХК)Р(еР ЕР' ЕИИ) дм ! (2„)е ~ (79.10) где К(ц, ц') = [по(0') — по(ц)) (б(0 — 0' — еи) — 5(0' — е1 — еи)]. Заметив, что (79.12) о(0) [1 а ] и поэтому по(0 ) — па(Ч) = — ~СЬ вЂ” — Сп — ~, / 1 2 2Т 2Т мы видим., что К(ч, Ч~) = К( — Ц, — ч~), причем в обоих р = р'+ 1с+ Ь. Эти интегралы естественным образом разбиваются на две части - - линейные интегральные операторы, действующие соответственно на функции ~р и Х. Так, ~е РИМА Х) = Тель(Й + Тегл(Х) (79 11) Ю. Отметим важное свойство оператора 7: он пе меняет четности е,рй' фУнкции ~Р(е1, Рк) по пеРемепной и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
