X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Продифференцировав это выражение по времени, находим =Ю~™,';,",! (72.8) к Заменив здесь !!! интегралом 81 !!! (ср. ~ 4) и произведя определенные переобозпачения переменных 1с, кы 1сг в двух членах выражения (67.6), приведем Я к виду 371 1 72 ПО!'ЛОЩВНИЕ ЗВУКА ДЛИННЫВ ВОЛНЫ для основной массы фононов частота О7 О нс зависит от температуры. Таким образом, найдем, что для этих частот 1 ' Х '!И!3!!ОД. Из выражения (72.9), в котором надо положить Хо = Т(ОЗ » 1, найдем теперь, что диссипативная функция не зависит от температуры. То же самое относится и к коэффициенту поглощения, получающемуся делением диссипативной функции на независящую от температуры величину плотность потока энергии в звуковой волне. Таким образом, при Т » О вязкостная, как и тсплопроводная части коэффициента поглощения звука нс зависят от температуры. Для низких температур необходимо прежде всего подчеркнуть принципиальное отличие от задачи о теплопроводности: конечное значение коэффициента поглощения звука получается уже в пренебрежении процессами переброса (частота которых при низких текп1ературах мала).
Напомним, что в случае теплопроводности отсутствие решения у кинетического уравнения без учета процессов переброса проявлялось в противоречии, возникающем при умножении этого уравнения на 1с и интегрировании по всему фонопному спектру: правая часть уравнения обрашается в нуль, между тем как левая часть заведомо отлична от нуля (ср. (69.6)). Для уравнения же (72.6) такого противоречия не возникает: поскольку его левая часть -- четная функция 1с, то после умножения на 1с она становится нечетной функцией и интегрирование по !1за обращает ее в нуль. При этом подразумевается, что обращается в нуль также и интеграл от члена с оператором процессов переброса —.
интеграл от 1сТп(у). Поскольку это не происходит автоматически в силу какого-либо закона сохранения, то тел! самым налагается определенное условие на решение кинетического уравнения — функция ~(1с) должна быть четной по 1с (тогда 1с1!7(у) - - нечетная функция; легко видеть, .что оператор 1 не меняет четности функции Зг). Этим требованием устраняется произвол, связанный с существованием (в отсутствие процессов переброса) нечетного по 1с В!паразитногоя решения вида уг = 1сОЪ ! и обеспечивается правильный предельный переход к отсутствию этих процессов. При Т (< О основную роль в ипт!Нграле столкновений (и в диссипативной функции) играют фононы с энергией ВЗ Т. Это длинноволновыс фононы акустических ветвей спектра: их частоты линейно зависят от 1с, а потому их й Т(и.
Согласно (66.14), для столкновений таких фононов в интеграле (67.17) функция и с12 Йк!г;2. Функция распределения Хо,зависит только от отношения ОУ)Т, так что при О7 Т имеем Хо 1. Интегрирование производится по д' Й! = Й~ 7!и! !1О1, причем по кй по 373 1 бз ПОбЛОШЕб!ИЕ ЗВУКА КОРОТКИЕ ВОЛНЫ С другой стороны, диссипативная функция (отнесенная к единице объема) выражается через тензор вязких напряжений бб„'д как — бт„'д17,„д (ср.
убН, 3 34). Сравнение с (72.11) приводит, таким образом, к следующему выражению для тензора вязких напряжений: дзй — б,ббпр (2К) з (72.12) (В.Л. Гуревич). й 73. Поглощение звука в диэлектрике. Короткие волны 1с1 + б 1с2б ббб! + ш ш2б (73.1) где шб 1' — энергия и квазиимпульс звукового кванта, а шм 1с~ и ьб2, 1«2 относятся к тепловым фопонам. Энергии и квазиимпульсы тепловых фононов шм и2 Т: йы А2 Т(и. Мы будем предполагать в дальнейшем, что 6ьб « Т.
(73.2) Тогда шы Вб2 и 1«ы й2 будут велики по сравнению с ьб и 7". Как мы видели в 3 68, законы сохранения (73.1) могут быть выполнены лишь, если скорость теплового фопопа превышает скорость поглощаемых (или испускаемых) звуковых квантов. Нс вдаваясь в обсуждение различных возможных случаев, будем считать, что звуковая волна пе является «продольной» (т. е. не отвечает акустической ветви фононного спектра с наиболыпей скоростью), так что указанное условие может быть выполнено. Ввиду малости ьб и 1, начальный и конечный тепловые фононы относятся, вообще говоря, к одной и той же акустической ветви фононного спектра; при низких температурах они являются длинноволновыми. В обратном случае коротких длин волн, 2'1 » 1, процесс затухания звуковой волны можно рассматривать как результат поглощения одиночных квантов звука при их столкновениях с тепловыми фононами (Л.Д.
Лаббдау, Ю.Б. Румер, 1937). Допустимость такого подхода требует, чтобы энергия и импульс тепловых фононов были определены достаточно точно: при изменении в результате поглощения звукового кванта они должны попасть в область вне квантовой неопределенности, связанной с конечностью длины пробега: это условие обеспечивается неравенством 71 » 1.
Фактически такая ситуация может осуществляться лишь при низких температурах, когда длина пробега становится достаточно большой. В первом приближении, т. е. при учете процессов с участием наименьшего числа фононовб речь идет о трехфононных процессах: 374 ГЛ !!!! диэ!!ектгики Вероятности испускания или поглощс"ния фонона в трехфононном процессе даются формулами (66.9) или (66.11).
При этом числа заполнения Х! = Х(1с!) и Я2 = Х(1с2) даются равновесной функцией распределения Планка (67.9). Макроскопическая же звуковая волна соответствует очень большому числу заполнения заданного фонопного состояния Е; по сравнению с этим числом единицей можно, конечно, пренебречь. Опустив множитель !!!(Г), мы получим вероятность, отнесенную к одному звуковому кванту. Таким образом, вероятность поглощения звукового кванта при его столкновениях с тепловыми фононами со всеми возможными значениями 1с! дается интегралом Г Л1! АИ! кг1М! (%2 + 1)б(ь!! + ю — ы2) — '.
(73.3) (2!!)" Вероятность же обратного процесса испускания фонона 7" все- возможными фононами 1с2 есть Г л!в! Ай!Йзз'Хг(!!'! + 1)б(ь!! + ы — ы2) ' . (73.4) (2.!) ! Фигурирующая в формулах (66.9), (66.11) функция и! написана, согласно (66.14), в виде А1с!йз !" с учетом того, что все три фонона .
длинноволновые (А —. функция направлений всех фононов). Поглощение фононов (относительная скорость убывания их числа) определяется разностью этих двух вероятностей. Поскольку частота ы мала по сравнению с ы! и ыз, то !!!(!!2+ 1) Р~! + 1)!!!2 !!! !!2 ал, ди! Таким образом, коэффициент поглощения ус!зь!)' А1!!1!2 ' б(ь!! +ь! — ь!2) !421!!. (73.5) д! !! Нас интересует зависимость этой величины от частоты звука ы и от температуры кристалла Т. Она всецело определяется тем фактом, что все фигурирующие в (73.5) частоты — линейные функции волновых векторов.
Для упрощения рассуждений достаточно считать, что ы = Г(, ы! = ий!, ыз = ийз, где Г и и .- независящие от направления скорости. Ввиду малости ( можно положить й! — к2. По той же причине — Г = и('сов0 = ы — сов0, ды! И дк! Г 375 1 73 ВОглО!цьнив '.ЗВукл. коеоткиэ ВОлны где О угол между Г и )с. Тогда имеем ЦН7! +ш — шэ) = — б ~1 — — соэВ) 1 / и Ы Г и интеграл (73.5) принимает вид 1.!й,' — "."' !!!--"к-!)~',!й,!к-!, (!!!! ды ' 77 или! после устранения В-функции, 'ус!эн7 1 к:1 — сУ3. 116а ./ 10~, Поскольку Х1 - - функция только от отношения О!1!Т = пй! )Т (ввиду быстрой сходимости интегрирование по й1 можно рас- пространить до оо), оставшийся интеграл пропорционален Т .
Таким образом, тсон7Т . (73.7) Отметим, что коэффициент поглощения звука оказывается здесь пропорциональным первой степени частоты. Отметим также, что при принятом выше условии (73.2) рассмотренный механизм затухания звука вполне аналогичен затуханию Ландау в ш7азме. Роль В!резонансных электронов» в данном случае играют фонопы, движущиеся в фазе со звуковой волной. Естественно поэтому сходство между (73.6) и формулой (30.1) затухания Ландау.
ГЛАВА ЪП1 КВАНТОВЫЕ ~КИДКОСТИ й 74. Кинетическое уравнение для квазичастиц в ферми-жидкости де(г, р) = 1 г'(р, р')дп(г, р') ' г , (74.2) (зла)з ' где 7"(р,р') функция взаимодействия квазичастиц. Таким образом, распределению (74.1) отвечает энергия квазичастиц е(г, р) = св(1э) + ле(г, р), (74.3) где е(р) — энергия, отвечающая равновесному распределению. Кинетическое уравнение квасит: — + — — — — — = ЯФп. дп дв дп дв дп д~ др дг дг др (74.4) Кинетическое уравнение для квазичастиц в нормальной ферми-жидкости уже рассматривалось в другом толле этого курса в связи с вопросом о распространении колебаний в этой жидкости (см.
1Х, З 4, 5), для этих вопросов интеграл столкновений в уравнении был несуществен. Продолжим теперь изучение кинетического уравнения, имея в виду его применение к диссипативным процессам, связанным именно со столкновениями. Квазичастицы в ферми-жидкости обладают спипом 1/2. Соответственно этому, в общем случае их функция распределения является матрицей по отношению к спиновым переменным. Но в широкой категории задач достаточно рассматривать распределения, не зависящие от спиновых переменных. В таких случаях функция распределения сводится к скалярной функции п(г, р), нормированной так, что пг(зр((2лй)з есть число квазичастиц (в единице объема) с импульсами в интервале озр и с заданной проекцией спина; это и будет подразумеваться ниже в З 74 — 76. Характерное свойство спектра ферми-жидкости состоит в том, что энергия квазичастиц е является функционалом от функции распределения.
Когда последняя меняется на малую величину, п(г, р) = по(р) + дп(г, р) (74.1) (по равновесное распределение), энергия меняется иа 1 74 КИНВГИЧВОКОВ УРЛВНВИИЕ ДЛЯ ФЕР11И->КИДКОСРИ 377 Его характерная особенность состоит в том, что в неоднородной жидкости левая часть уравнения содержит член с производ1юй дс/дг даже в отсутствие внешнего поля .. за счет зависимости е от координат, вносимой выражением [74.3). Интеграл столкновений в правой части уравнения [74.4) имеет вид 81 и = 1Д(р, рП р', р~~)[г1'п~(1 — п)(1 — п1) — пп1(1 — и')(1 — п~)]х х б(е+ е~ — е' — е',) ~' ', (74.5) (2К11)" гДе 11, пм и', и', фУнкЦии импУльсов Р, Ры Р', Р~~ сталкивающихся квазичастиц.
Закон сохранения импульса при столкновениях предполагается уже учтенным, так что р + р~ = р + р~,' интегрирование в (74.5) производится поэтому всего по двум [а не по трем) импульсам. Сохранение же энергии обеспечивается д-функцией, выписанной в явном виде. Наконец, ю функция импульсов, определяющая вероятность столкновения. Первый и второй члены в фигурных скобках определяют соответственно числа квазичастиц, приходящих в заданное квантовое состояние и уходящих из него в результате столкновений. Эти члены отличаются от аналогичных членов в интеграле столкновений больцмановского газа множителями (1 — и), ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
