X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 69
Текст из файла (страница 69)
27в, 1 пропорционально квадрату расстояния до точки касания. Площадь же 1"гЯ, будучи пропорциональной этому расстоянию, оказывается с)21 ~1~. Но такова же в этом случае зависимость от 1 и разности производных в (68.12), поскольку кривые производных пересекаются уже без касания. Поэтому в этом случае (у) у2 (68.14) и расходимость в теплопроводности Ею Возникает. ) Эту формулу можно сразу получить, е1ми учесть, что ,~з~ ~~,~1,~~ 11г' )паГ)' где 1 —. расстояние по нормали к поверхности.
1 68 'гвплОИРОВОдиос'1'ь ПРи ВысОких твыпвРлгуРлх 357 согласно формуле ) 358 лнэлннтгнкн гл нн Аналогичным образом можно рассмотреть и другие типы вырождения '). Если точки вырождения в фононном спектре отсутствуют, то для обеспечения конечной теплопроводности за счет трехфононпых процессов условие (68.6) должно выполняться (хотя бы для одной ветви спектра м(1с)) при всех направлениях и. В противном случае конечная теплопроводность устанавливается лишь за счет процессов более высокого порядка (четырехфоыонных) и закон (68.2) не имеет места.
Заметим, что при низких температурах, когда длина пробега настолько возрастает, что может сравниться с размерами образца Т, расходимость интеграла (68.5) может обрезаться на 1 1/Л, что привело бы к зависимости коэффициента теплопроводпости от размеров Ь. 9 69.
Теплопроводность диэлектриков. Низкие температуры При низких температурах (Т « О) характер переноса тепла в диэлектриках радикально меняется. Дело в том, что в таких условиях число процессов переброса становится экспопепциально малым, как это ясно из следующих рассуждений. Сохранение квазиимпульса в трехфононном процессе с перебросом, выражаемое равенством 1с = 1сг + 149+ Ь, требует, чтобы по крайней мере один из трех квазиимпульсов был велик; пусть это будет й~ Ь. Тогда и энергия ыг О, а вследствие этого сохранение энергии (м = шг + шэ) требует, чтобы была велика и энергия ы О. Но при Т « О большинство фононов имеет энергию Т, а число фонопов с энергиями О экспоненциально мало.
Таким образом, как для процесса распада фонона, так и для обратного процесса слияния двух фононов числа начальных фопонов, а г ними и числа процессов, экспоненцианьно малы. Легко заметить, что в этих рассуждениях несущественна трехфоношюсть процесса. То же самое относится и к процессам с участием большего числа фононов. В зной ситуации физическая каргина тецлоцередачи ньцлядит следующим образом. Многочисленные нормальные столкновения фононов, сохраняющие суммарный квазиимпульс, приводят к установлению лишь «внутреннего» равновесия в фононном газе, который может при этом двигаться относительно решетки с произвольной ско1зостью ьг. Мало'гисленные же столкновения с перебросом лишь саабо меняют функцию распределения, но ими устанавливается определенное (пропорциональное градиен- ) Их исследование сн.
в оригинальной ста>ье: Негпну С. О Рйув, Иех. 1954. Ъ'. 95. Р. 954. ~ 69 '1'вплопРОВОдпос:ть ПРи низких тнлп!вРАТИРАх 359 ту температуры) значение ьг: этим значением в свою очередь определяется тепловой поток. Покажем теперь, каким образом эта картина выражается в математическом решении задачи 11 Запишем кинетическое уравнение в виде дт 'итуТ = 1вг (Х) + 1ь (Х), (69.1) разделив в интеграле столкновений части, связанные с нормальными (индекс Х) и перебросными (индекс Г) столкновениями. Равновесная функция распределения, отвечающая движению газа как целого со скоростью Ъ', получается из функции 15го(цл) заменой ее аргумента о1 на ц1 — 1сЪ', при малом Ъ' имеем ~о(оз — (сЪ') = Хо(1п) — 1с'~' ' ".
ды (69.2) В соответствии с описанной выше картиной ищем решение урав- нения (69.Ц в виде Х = Хл' + Хп Х11' = лс ь ~ (69.3) Х11 — часть изменения функции распределения, связанная с про- цессами переброса. Эта последняя часть мала по сравнению с Хм. Если обозначить через ип и мм порядки величины эффективных частот столкновений с пеРебРосами и без них (лт1 « илл), то Хл Рп к (69.4) Подстановка в (69.1) приводит к уравнению дТ ~иЧТ = 1~-(Хи) + 1и(Хй ), (69.5) ) Обратим внимание на то, что однозначное выделение процессов переброса как малого эффекта достигается именно при обусловленном в з 66 выборе основной ячейки в обратной решетке, в результате которого все столкновения между одними лишь длишюволновыми фононами малых энергий являются нормальными.
где действующие па функции Х линейные операторы определяются выражением (67 17). В (69.5) учтено, что 1м(Хм) = О, а член 1п(Хл1) опущен как малый; оба же оставленных в правой части члена одинакового порядка величины при соотношении (69.4) . Подчеркнем прежде всего, что в пренебрежении процессами переброса., при отличном от нуля градиенте температуры, кинетическое уравнение вообще не имело бы решения.
Действительно, умножим уравнение (69.5) на 1с, проинтегрируем по слзк/(2п)з и просуммируем по всем ветвям спектра фонопов. Поскольку 360 гл мп диэдектгики нормальныс столкновения сохраняют полный квазиимпульс, то член 7а (тп) обратится в резульгате в нуль, так что остается Т/ц ет)"а з'' г ~"зг (з ) в'г (ззз) Зт (гя)з ~ ' (гк)з К к В пренебрежении процессами переброса, в правой части этого уравнения стоял бы нуль, между тем как левая часть заведомо отлична от нуля (подынтегральпая функция четная функция 1с, поскольку аз(1с) .
четная, а и = доз/дЕ - нечетная функции); это противоречие и означает отсутствие решения у кинетического уравнения. С учетом же процессов переброса равенство (69.6) определяет неизвестную величину 'Ч, входящую в решение (69.3). Для упрощения записи формул будем считать, что кристалл имеет кубическую симметрию; тогда в интегралах в (69.6) анизотропия кристалла не проявляется ) и равенство (69.6) после подстановки тм из (69.3) принимает вид )31 туТ = — инЯТК, (69.7) где введены обозначения 1 О ~ ~'Ь 1 0 А = — — ~ / )спасо . )32 = — — ~ / — Ло 30т,/ (г -)зл 30т / (2 ) ' (69.8) 1 3зй Тр01зг = — Х~~ / згто'(зг)— з ./ (2я)з к (множитель )Зг выделен для упрощения записи формул ниже).
Равенство (69.7) определяет Ъг, после чего поток энергии вычисляется как интеграл (67.4), в котором в качестве Я надо подставить функциео оХа = — )с'вг~~" = )с'тгт ~~'. 0~, 0т' Тогда получим с1 = ТД1К; вместе с (69.7) это дает с1 = — зсзуТ с коэффициентом теплопроводвости зг = (69.9) Интересно, что в рассматриваемом случае вычисление зг не требует решения кинетического уравнения (69.5)., а сводится к вычислению интегралов (69.8).
') При кубической симметрии всякий тензор второго ранга сводится к скадару: а в = (113)ао„в), а:— а 1 69 '1'Ю!ЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НИЭКИХ ТЕЛЛПВРЛТУРАХ З61 1Лнтегралы р! и )Зз определяются областью частот ИЛ Т, в которой находится большинство фононов. Эти интегралы зависят от Т лишь степенным образом.
Поскольку малой энергией могут обладать лишь акустические фононы! то в р1 и )Зв фактически достаточно суммировать лишь по трем акустическим ветвям спектра. Легко видеть, что при этом Д, (1я с э Т'. (69.10) Экспоненциапьная же зависимость заключена в интеграле ин. Кго конкретное выражение можно получить с помощью (67.1?). Для процессов переброса имеем :Ст + Свлв — "Ск' = Ъ'(1с! + 1сз — 1с) = Ъ'Ь. Для болыпинства фононов ю Т и функция распределения ЖО 1; для фононов же с ли» Т функция 1тв « 1.
Поэтому множители 1УВ + 1 1 и при оценке интеграла могут пе учитываться. Функции же !1?о = Р ~ (Юо + 1) содержат множители ехр ( — ли(Т), которые могут быть экспонснциально малыми, эти множители и играют определяю1цую роль при оценке интеграла. Таким образом, если ннтересоваться лшпь экспоненциальной зависимостью ип от температуры, имеем суммирование производится по всем ветвям спектра я, я! ! я2 и по всем возникающим в процессах переброса отличным от нуля значениям Ь.
Уравнение ллЛлл (1 ) 1л1к1 (1 1 ) + лл1я! (1 1 1 ) (69.12) ю'гл с!э ехр( — — '*""), (69.13) где ллп1;и наил1еньшее из ь(А!~!,йя). определяет пятимерпую поверхность в шестимерном 1с! 1сЛ-пространстве. Пусть Ь(я!я!,И2) минимальное значение ИЛ,,(1с) на этой гиперповерхности, поскольку энергии фононов! участвующих в процессах переброса, велики, то и эти значения О. Кажлый из интегралов под знаком суммы по (я) в (69.11) пропорционален ехр ( — Ь(я, нЛ, ив)1лТ).
Сохранив лишь наибольший из НИХ, ИМРЕМ 362 диэ!!ектеики ГЛ Ю! Ь„„„ н ссз ехр — """, т (69.14) причем Ь и, О сЛ. Ре!егЬ, 1929). Процессы более высокого порядка, с участием болыпего числа фононов, приводят к температурной зависимости такого же характера, причем Ь наименьшее возможное значение энергии начальных фононов в каждом процессе 1или, что то же, половина наименьшего значения суммарной энергии всех — начальных и конечных — фопопов, участвующих в процессе). В принципе может оказаться, что это значение меньше, чем для трехфононных процессов, и тогда вклад процессов высшего порядка в теплопроводность может стать преобладающим, несмотря на то! что предэкспоненциальпый множитель, разумеется, у.меньшается с возрастанием порядка, процесса.
В отличие от частоты ип процессов переброса, эффективная частота и!с! нормальных столкновений уменьшается с температурой по степенному закону; имея в виду применение в 3 71, определим закон этого убывания. Нормальные столкновения происходят между акустическими фононами с сэ Т, составляющими большинство. Их квазиимпульсы й ы!!и Т! ш В интеграле столкновений (67.17) интегрирование прои:зводится по поверхности с площадью Й, выделяемой б-функцией в объеме к!!.
В этой области функции !!!о 1, а функция шссзкз (согласно (66.14)); поэтому иуазТ'. Коэффициент пропорциональности проще всего определить из условия, что при Т О это выражение и оценка (68.3) должны приводить к одинаковому результату; отсюда ТБ ~'и СЕ! Ми!1 (69.15) 3 70. Рассеяние фононов на примесях В двух предыдущих параграфах подразумевачостч что кристаллическая решетка идеальная, без дефектов. Остановимся теперь па роли, которую может играть в теплопроводности диэлектрика рассеяние фононов на примесных атомах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
