X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Для выяснения характера этой неустойчивости замечаем, что согласно (64.9) (при различных знаках п2 и п2) при 1шсо — + оо корни Й(о2) лежат в различных полуплоскостях. Эти два корня имеют точку слияния в верхней полуплоскости ы при о2 = о2с — — а29 + 22 (64.13) ~121 тэ ~ Это значит, что неустойчивость — абсолютная, с инкрементом 1шо21 При пг = — е2, что соответствует картине возмущения в системе отсчета, движущейся со скоростью (64.11), инкрсмент достигает максимального значения (64.12).
Задача Выяснить характер неустойчивости низкочастотных (ш ьэв,) «медленных» (ь22'й (( с) поперечных электромагнитных волн, распространяющихся в направлении постоянного магнитного поля в холодной магнитоактивной плазме; вдоль того же направления через плазму движется холодный пучок электронов малой плотности. Р е ш е н и е. Для составления дисперсиопного уравнения пишем его сначала с учетом лишь электронов пучка в системе отсчета, где пучок покоится.
Согласно (ог6.9) имеем в этой системе; 2 й',~Ь2 ш ~ь в.' 339 цвкстойчивоать пги славой связи где Й, — плазменная частота, о«вечающая плотности пучка. При возвращении к лабораторной системо отсчета, в которой пучок движется со скоростью Ъ (вдоль которой направляем ось х),в правой части равенства надо заменить ог — л ог — кр; разность же к с — ог инвариантна по отношению к г г г изменению системы отсчета. Добавив теперь в лабораторной системе члены, связанные с электронами и ионами плазмы, получим г г г Й,"(~ — И') о~Й,' огй," й с — ш ог — И' + щв, щ х огв, ы 'т огв, Пренебрегая здесь (в соответствии с угловиями задачи) ог гю сравнению с сй Йг и с огв, и заметив также, что — ' = — ', приведем дисперсионное уравнение огв, шв, к виду [ г г й с — ' ~ (и — И ш огв,') = — Й, (м — И').
шв,(шв, Тш) Первый множитоль в леной части уравнения отвечает «основпойгч а второй —. пучковой ветви спектра колебаний; правая часть описывает «взаимодействие« этих ветвей. Рис. 24 Рис. 25 При верхних знаках в (1) законы дисперсии двух независимых ветвей показаны на рис. 24 сплошными линиями (как всегда, достаточно рассматривать лишь ветви с ог > 0). Вблизи точки шо, ко их перосечения разложение уравнения (1) имеет вид 21«ос ~й — 1«о — ~ ~ог — ого — Ъ'(й — йо)1 = Й, шв, г ог — ого 1 ~г с~ с положительвыли (как зто ясно из наклона кривых на рис. 24) коэффициентом сь Сравнение с (б4.3) показывает, что имеет место случай б— конвективная неустойчивость (на рис.
24 штриховыми линиями показан ход ветвей спектра с учетом их взаимодействия). Аналогичные графики при нижних знаках в (1) показаны на рис. 25. Вблизи точки пересечения дисперсиопное уравнение имеет вид 21«ос ~й — йо + ~ )ог — ого — 1" (1« — йо)1 = — Й,. огв., ш — шо1 ~г сг где снова ог > О. Теперь имеет место случай г — абсолютная неустойчивость (имеющееся в этом случае второе пересечение происходит, как видно из рисунка,при ш > огв,,что противоречит условиям задачи).
340 теОРия иеустойчивоотьй гл у1 3 65. Неустойчивость конечных систем х=О ф = аехр(г[й (О~)х — сл)), (65.1) причем в качестве йт(ы) должна быть выбрана та из ветвей Вся изложенная в 3 61-63 теория относилась к однородным средам, бесконечно протяженным по крайней мере в одном направлении (ось т). При применении к реальным ограниченным системам это значит, что пренебрегается эффектами, связанными с отражением волн от границ; другими словами, такая теория ограничена временами порядка величины времени распространения возмущения по длине системы. Рассъютрим теперь вопрос об устойчивости в обратной ситуации, когда конечность системы существенна и спектр ее собственных колебаний определяется граничными условиями на концах (при этом мы по-прежнему ограничиваемся одномерным < лучаем, длину системы вдоль оси т обозначим через Ь).
Спектр частот конечной системы дискретен, и, если хотя бы одна из собственных частот имеет положительную мнимую часть, система неустойчива. Различие между случаями абсолютной и копвективной неустойчивости теряет здесь смысл. Таким образом, вопрос о выяснении устойчивости или неустойчивости конечной системы эквивалентен вопросу о нахождении спектра ее (комплексных) собственных частот. Дисперсионпое уравнение, определяющее эти частоты, может быть установлено в общем виде для системы хотя и конечных, но достаточно больших размеров Гл 1ш)й! Ь» 1 (А.Г.
Куликовский, 1966). Пусть к(ш) решения дисперсионного уравнения неограниченной среды; ветви этой многозначной функции снова разобьем на две категории, йт(ш) и й (и), определенные в 3 63. Собственные колебания конечной системы можно рассматривать как результат наложения бегущих волн, отраженных от двух ее границ (в среде без поглоьцения и усиления это 1 г были бы обы шые стоячие волны). Отражение сопровождается, вообще говоря, взаимным превращением волн, относящихся к различным ветвям спектра.
Поэтому бегущая волна заданной частоты представляет собой суперпозицию всех ветвей. По вдали от границ основной вклад в каждую волну дает лишь один из членов супорпозиции. Так, для волны, распространяющейся от левой границы, х = 0 (рис. 26), .в положительном направлении оси т асимптотическое выражение вдали от этой границы имеет вид 341 !!еустой'!ивость конечных систем этой категории, для которой 1шй+(о!) имеет (при заданном вещественном а!) злгебраически наименьшее значение !). После отражения от правой границы (ш = Т) волна распространяется влево и на достаточно больших расстояниях от этой границы имеет асимугготический вид зр = Лгаехр ((йт(оу)Ц ехр (([к (оу)(ш — Т) — и!1)), (65 2) где Й (со) та из ветвей этой категории. для которой 1шй (оз) имеет алгебраичсски наиболыпее значение. Коэффициент же Лг зависит от закона трансформации волн на данной конкретной г(уанице.
Наконец, после второго отражения на этот раз от левой границы снова получим волну, распространяющуюся вправо: Л Л ч(ьт — в )в г(аз в — ь!!1 гае (65.3) Ввиду однозначности !р(1, гс) выражение (65.3) должно совпадать с (65.1). Отсюда находим равенство Л!Лгехр(([й, (о!) — а (о!))Ц = 1. (65А) (65.5) [Л!Лг[ехр( — 1ш(!ст — !с )Ц = 1. При 1 — э ос экспоненциальный множитель стремигся к 0 или к ос (в зависимости от знака разности 1ш(йт — к )). Поэтому для достаточно длинных систем равенство (65.5) возможно только, если (65.6) 1п! [йт(а!) — й (о!)] = О. Таким образом, в этом случае дисперсионное уравнение сводится к виду, зависящему только от свойств среды самой по себе и не зависящему от конкретного характера условий на ее границах. Уравнение (65.6) определяет некоторую кривую на плоскости о!; на этой кривой лежат очень близкие друг к другу (при больших 1) дискретные собственные частоты.
Если эта кривая хотя бы частично лежит в верхней полу плоскости система неустойчива. В связи с тем, что эта неустойчивость обуславливается свойствами системы в целом, ее называют глобальной. ') Тоесть зто .. наименьшее положительное значение, если все 1ш!Еь(ы) > > О, или же наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение, если существуют ветви, лля которых 1ш йЦы) ( О. В первом случае (55.Ц— наименее быстро затухающая (с расстояциом в) волна, а во втором — наиболее быстро усиливающаяся. Оно определяет спектр частот со конечной системы, т. е. является ее дисперсиопным уравнением. Взяв модуль от обеих частей этого уравнения, имеем 342 теогия ввяотойчивоствй гл,! Сделаем еще несколько замечании о связи глобальной неустойчивости конечной системы с неустойчивостью бесконечной среды.
Прежде всего, легко видеть, что при наличии глобальной неустойчивости бесконечная система заведомо неустойчива: существуют такие вещественные значения Й, для которых 1шю(й) > О. Действительно, по определению функций йт(ю) н Й (ю) их значения прн 1ши — ~ оо лежат в различных полуплоскостях й. Условие же (65.6) означает, что по мере уменьшения 1шм точки йз (ю) и к (м) могут попасть в одну и ту же полуплоскость, причем (в случае глобальной неустойчивости) это происходит еще при 1шю > О. Следовательно, еще раныпе (т, е, заведомо при 1шю > О) по крайней мере одна из этих точек пересечет вегцественную ось, что и требовалось. Обратное утверждение справедливо, однако, лишь для абсолютной (но пе конвективпой) неустойчивости бесконечной среды: наличие абсолютной неустойчивости достаточно для существования также и глобальной неустойчивости конечной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
