X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Взяв последнее из (41.6) и произведя интегрирование,. получим )2)(егд 8ве е~г г 1-ь сое в (60. 27) 1 тг,ег о 2 в. Вычислим сначала вклад от области 1. В этой области можно считать, что магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассеяния, поскольку на таких расстояниях не искривляется заметным образом траектория не только иона, но и электрона. Естествеггной переменной для описания столкновенгля является при этом обычный импульс электрона р, через который и надо выразить дрейфовые переменные. Сспласно (60.3)г (60.4), (60.8) имеем 318 гл е 1лллэмА В мелчли "лчлоел полн где й угол между ч и Ь, а 2 т 3 (60.28) еее ее лев -- кулоновский логарифм, «обрезанный» сверху на прицельных расстояниях р гне (верхнялл граница области 1). Наконец, вырлелллв этот результат через дрейфовые переменные, окончательно находим (60.30) ((ехКт)~)~") = ' ' ' ', " ' .
(60.29) л) Аналогичное вычисление дает 1~1т1 8ееее" 11 Лл'л Ю ~ т' (в; '+ 2,1)еЛе ' а оставшиеся две величины определяются из (60.24). Обратимся к области П. Здесь естественными являются имен- но дрейфовые переменные и столкновение описывается как дрей- фовое отклонение кружка, летящего в направлении Ь (ось е) в кулоновском поле неподвижного иона. При дрейфе скорость пг, а значит, и 1 не меняются; в силу закова сохранения энергии при рассеянии на тяжелом ионе, это в свою очередь приводит к сохранению пер Поэтому область П не вносит вклада в величины (60.24).
Вклад же в ЯЬКт)2) вычисляется как <(К )г)1ей = 1'(гаК )2(п,)л1п = )'1лаК )2~о ~с12р (6031) где р — зна ление радиус-вектора центра кружка К., до столк- новения. Изменение Кт при пролете кружка в постоянном и од- породном магнитном поле В и постоянном электрическом поле Е = егК/Ла (поле иона) определяется уравнением дрейфа (см.
(60.6)). В первом приближении можно положить в правой части этого уравнения Кт — р, Кй — — и ~А. Полное изменение Кт при столкповенилл получается интегрированием (60.32) по 2 от— †до со и равно 2еес )ЬЛ) (60.33) В~ел~ Ле Подставив это выражение в (60.31) и произведя интегрирова- ние (с логарифмической точностью, отвечающей границам обла- сти П), найдем Ве)еЛ! гв, 319 160 ДРГЙФОВОВ ПРИВЛИЖИ!ИЕ Вклады 160.29) и 160.34) имеют, вообще говоря, одинаковый порядок величины 1Ч1ыВт) ) м«1г'в где ие, средняя частота электрон-ионных столкновений.
Особенность вклада 160.34) состоит, однако, в том, что он обращается в бесконечность при и ~ — » 0 вне зависимости от значения па. Физический смысл этой расходимости состоит в том, что при малой скорости о~ кружок долго находится в поле иона и за это время дрейф уносит его на болыпое расстояние. В действительности, конечно, формула 160.34) становится ггеп1>имеггимой гири ~ад~к пе по ряду причин: 1) если гв, )) и, то при ~п6~ (( пт, за время столкновения ион может уйти от электрона; этот механизм «обрезает» расходимость при ~п, ~ пт,; 2) при выводе формулы во всяком случае подразумевается, что ~ЬКт~ << р; 3) кружок может уйти от данного иона за счет дрейфа в поле других частиц 1тройное столкновение).
Написанные формулы решают вопрос о составлении кинетического уравнения в дрейфовом приближении, которое позволяет, в частности, находить кинетические коэффициенты плжзгяы в первом неисчезающем по 1/В приближении 1см. задачу 1). Наконец, осталось объяснить, каким образом интегрирование по с1 р формально восстанавливает симметрию по отношению к обращению времени, что уже было использовано при записи 160.13).
Нарушение этой симметрии проявляется в изменении знака отклонения ЬКт в 160.33) при изменении направления В на обратное. Прежний знак можно восстановить, однако, производя замену переменной интегрирования р — э — р, так что изменение знака В в этом приближении нигде сказаться не может 1в области же 1 магнитное поле вообще не влияет на процесс рассеяния) .
Задачи 1. В дрейфовом приближении определить коэффициент Халва й и поперечную проводимость ог плазмы 1С1 7'. Ьеллее, 1956). Р е щ е и и е. Рассматривая плазму с градиентом плотности электронов 1в отсутствие электрического поля и градиента температуры), полагаем функцию распределения 1,. в 160.16) и 160.21) максвелловской и находим сТ 3 = — )Ь7Х,) -Р соей М„ В причем коэффициент поперечной диффузии 1У, 4З = — 'Яз11 )э), 4 где черта означает усреднение по максволловскому распределению электронов. Сравнив с общим выражением 168.13), находим в первом по 1/В при- 320 плАзмА В млгннтнОм НОле приближении прежнее выражение (59.8) для Тс.
В следующем приближении получаем п1 = Т ,гу огВгр (1) В области П (см. (60.17)) берем ((ЬВ.А)~) нз (60.34). С логарифмической точностью имеем (г г) У ' ( г)Я (~г) где в ы определяется одним из указанных в конце параграфа механизмов. Положив, напРимеР, е м етб полУчим в РезУльтате (2ягп)1,222егсгЯ 114 и В~ П= 1п — 1п ТнгВ2 пг Вв. (2) Аналогичным образом, взяв ((АРАЛ)2) из (60.27), получим вклад в коэффи- циент диффузии от области 1: 4(2япг) 'ггге с~Я, гппгт„ П', = 1п 3ТЧ Вг гегггв (3) Если считать, что выполняется норавенство (59.10), обратное к (60.1), то область П отсутствует, а логарифм в (3) заменяется его обычным кулоновским значением (41.10).
В таком случае подстановка (3) в (1) приводит к формуле (59.15) для пх. 2. Определить коэффициент поперечной диффузии 41А для столкновений электронов с нейтральными атомами. Р е ш е н и е. Ввиду короткодействующего характера взаимодействия электрона с атомами имеется только область 1, где под а следует понимать размер атома'). Остается справедливой и формула (60.26). В нее, однако, нужно теперь подставить сечение рассеяния электрона на нейтральном атоме. После интегрирования по углам ггх выражается через транспортное сечение этого рассеяния пп 2 (2Т) ~ А пг ) Может возникнуть сомнение в применимости интеграла столкновений (60.12) для рассеяния на короткодсйствующем потенциале, происходящего, разумеется, на углы порядка единицы.
Легко видеть, однако, что в данной задаче требуется лигпь малость изменений положения центра орбиты, ЬЕА гн, по сравнению с характерными расстояниями, на которых меняется концентрация элоктронов,что соответствует условию применимости уравнения поперечной диффузии (ср, конец з 59). 42 ((2211 )г) ег,г, Л, Х 4 2ы~в (Аг, — плотность числа атомов). Ддя независящего от скорости электрона сечения пг получаем после усреднения по максвелловскому распределению: ГЛАВА У1 ТЕОРИЯ НЕагСТОЙЧИВОСТЕЙ й 61. Пучковая неустойчивость Согласно результатам 2 34, амплитуда возмущения с волновым вектором )с в однородной неограниченной среде ведет себя асимптотически при 1 — + со как — гы1к)1 (61.1) где ео()с) .
частота волн, распространяющихся в среде. В частности, для продольных волн в плазме частоты оз(1с) — корни уравнения ) е1(о1,1г) = О. (61 2) Частоты оз(1с), вообще говоря, комплексны. Если мнимая часть 1шы = — у < О, то возмущение затухает со временем. Если же в некотором интервале значений 1с имеем у < О, то такие возмущения возрастают среда неустойчива по отношению к колебаниям в этом интервале длин волн; величину ф называют в таком случае иннрементом неустойчивости. Сразу же подчеркнем, что, говоря о «неограниченном» возрастании возмущения (по закону ехр (Ц1)), мы всегда, здесь и ниже, имеем в виду ли1пь поведение в линейном приближении; в действительности, разумеется, возрастание ограничено нелинейными эффектами.
В бесстолкновительной плазме мнимая часть частоты возникает в силу затухания Ландау. Термодинамически равновесное состояние плазмы, отвечая абсолютному максимуму энтропии, устойчиво по отношению к любому возмущению. В 2 30 было уже отмечено, однако, что для неравновесных распределений в плазме поглощение энергии колебаний может смениться их усилением. Это проявляется в появлении области значений независимых переменных 1с и ы (ы ) 0), в которой мнимая часть диэлектрической проницаемости отрицательна: е~~(оз, 1с) < О. Подчеркнем, однако, что наличие таких областей само по себе еще не означает обязательно неустойчивости плазмы (во всяком случае, в линейном приближении); необходимо еще, чтобы в эту область фактически попадала какая-либо из ветвей спектра плазменных колебаний.
') Напомним, что в случае анизотропной плазмы зто дисперсионное уравнение относится к квазипродольным емедленным» волнам — см. 1 32. 11 Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х 322 'геОРия неуст'ОйчивООтей Гл ус и мы приходим к выражению (61.3) ). Будем считать плотность пучка малой в том смысле, что ду,' « Х„ (61.5) так что и й', « йе. Тогда наличие пучка лишь незначительно меняет основнук> ветвь спектра продольных колебаний плазмы тот корень диспсрсиоиного уравнения ес = О, для которого о2 = П,.
Но наряду с этой ветвью появляется еще и новая ветвь, связанная с наличием пучка; она-то нас здесь и интересует. Чтобы член с малым числителем П',~ не выпадал из дисперсионного уравнения ~й П', — '+ ' =1, ы2 (се — )с"1Г)2 (61.6) ) Закон преобразования частоты легко получить путем преобразования фазового множителя волны. Радиус-вектор точки в системе К'; г = г — 222. Поэтому )сг — сее = )сг — (22 — )с''се)е = )сг — ы К Характерный пример неустойчивости представляет направленный пучок электронов, проходящих через неподвижную плазму (А.И. Ахиезер, Я.Б. Файнберг, 1949; Т).
Во)ст, Е.Р. Столе, 1949). Пучок предполагается электрически компенсированным: сумма электронных плотностей зарядов в плазме и пучке равна ионной плотности зарядов плазмы. Систеела однородна и неограничена, т. е. пучок (как и неподвижная плазма) заполняет все пространство, причем его направленная скорость Ъ везде одинакова. Скорость Ъ' будем считать нерелятивистской. Предположим сначала, что как пучок, так и плазма холодные, г. е. можно пренебречь тепловым движением их частиц; необходимое для этого условие выяснится ниже. В области частот электронных колебаний продольная диэлектрическая проницаемость системы плазмы-пучок имеет вид П2 П~2 ес(а2, 1с) — 1 = — — '— (61.З) (и — )сЪ') 2 Первый член справа отвечает неподвижной плазме, П, = (4пе 22',/еп) ) есть соответствующая электронная плазменная частота. Второй член обязан электронам пучка.
В системе отсчета Л', движущейся вместе с пучком, вклад его электронов в ес — 1 равен — (11',/о2')е, где са' .-- частота колебаний в этой системе, а Пе — — (47ГЕ еесе(гп) (Хе -- плотность элект)юнов в пу'чке). П1)и переходе к исходной системе отсчета К частота а2' заменяется на о2~ = о2 — 1сЪ' (61.4) 324 'геОРия неустойчивООтей ГЛ У1 Задачи 1.
Определить границу области неустойчивости пучка в холодной плазме со стороны значений кЪГ, близких к й,. Р е ш е н и е. При малых значениях разности 1ЕЪР) — й„. точность уравнения 261.7) недостаточна. Сохранив в уравнении 21 = О 1с 21 из 161.3)) также и член следуюшого порядка по б, получим д~2 й2 2й2б 2~~ Ъг й бл ПсЪГ)2 1)сЪГ)2 й, й, Введя новые величины б и т согласно б = б (-й',,й~), т = ( — ) 1ЕЪг — й,), перспишелг это уравнение в виде б +г6=1 (для определенности считаем, что ЕЪР близко к +й,, а не к — й,). Все три корня уравнения 11) вещественны при т > 3/2212, чем и определяется область лстойчивости. Два из этих корней соответствуют двум корням уравнения 161.6), а третий — близкой к ним при й, 11Ъ' частоте колебаний нЕподвижнОй плаЗмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
