X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 62
Текст из файла (страница 62)
2. При условии, обратном к 161.12), исследовать устойчивость пучка с тепловым разбросом скоростей. Р е ш е и и е. В указшшых условиях пучковая ветвь в спектре колебаний отсутствует. Что касается основной ветви плазменных колебаний, то наличие пучка малой плотности мало влияет на вещественную часть ее частоты, которая по-прежнему дается (при лезь « йл) форллулой 132.5): Декремент же затухания З дается суммой декрементов от самой плазмы и от пучка. Согласно 131.7) имеем Область неустойчивости определяется условием 7ЛЕ) > О. Для этого во всяком случае должно быть 12ЪГ > 22.
Наибольший инкремонт будет при б = кЪà — 22 ( йет,. В этой области первый член в 11) экспоненциально мал 1в силу й„)) 621т,) и им можно пренебречь 2если только Х,' не слишком мало). "Гогда инкремент З будет даваться лишь вторым членом: отметим, что он пропорционален плотности пучка Ъ,. 3. Исследовать устойчивость ионно-звуковых волн в двухтеушературной плазме бТ, )) Т,), в которой электронная компонента движется относительно ионной с макроскопической скоростью Ъ',причем И (( ит,. Р е ш е н и е. При условии Р « иге направленное движение электронов мало сказывается на законе дисперсии ионно-звуковых волн, который будет по-прежнему даваться формулой 133.4): 22 22', ! 11'2 1 й ( ЛХ ) (1+ йла2)112 з 62 лпсолю'гиля и кОВВВктиВиля неустой 1иВОсть 325 Декремент же затухания Сего электронная часть) получаезся из 133.6) ЗамепОй 161.4)1 12) условие неустойчивости: )ссГ > со; для этого во всяком случае должно быть И > мсск.
Вблизи гРанины неУстойчивости множитель и сà — и в 12) мвл, и тогда может оказаться необходимым учет в у также и ионной части затухания, которая в обычных условиях мала. 3 62. Абсолютная и конвективная неустойчивость Наличие у дисперсионного уравнения корней в верхней пс-полуплоскосгти означает, что малое начальное возмущение в виде плоской волны возрастает, т. е. система неустойчива по отношению к такому возмущению. Реально, однако, всякое начальное возмущение представляет собой «волновой пакет» конечных размеров в пространстве, и плоские волны представляют собой лишь его отдельные фурье-компоненты.
С течением времени пакет «расплывается», а его амплитуда (в неустойчивой системе) возрастает. В то же время, однако. как и всякий волновой пакет, оп будет перемещаться в пространстве. Здесь могут иметь место два случая. В одном случае, несмотря на перемещение пакета, возмущение неограниченно возрастает в любой точке пространства; такую неустойчивость называют абсолютной. В другом случае пакет сносится так быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при 2 — э со к нулю; такую неустойчивость называют конвеитивной Сразу же подчеркнем, что это различие относительно в том смысле, что характер неустойчивости всегда определяется по отношению к той или иной системе отсчета и переход от одной системы к другой может изменить этот характер: копвективная в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с пакетом», а абс1опютная неустойчивость становится конвективной в системе.
достаточно быстро с уходящей» от пакета. Это обстоятельство, однако, отнюдь не лишает физического смысла различие между двумя типами неустойчивости. В реальных постановках задачи всегда существует выделеяная с экспериментальной точки зрения система отсчета, относительно которой и следует рассматривать неустойчивость. Допустимость рассмотрения физическосй системы, как бесконечно протяженной, не исключает того факта, что реально она имеет границы (например, стенки), которые и служат «лабораторной системой отсчета». Более того, фактическая ограниченность системы может приводить к тому, что при конвективной неустойчивости 326 ТЕОРИЯ НЕУОТОЙЧИВООТЕй ГЛ У! возмущение может вообще не успеть развиться, прежде чем пакет будет евынесен» за границы системы (например, при течении жидкости по трубе).
Излагаемая ниже теория, позволяющая установить критерий различения обоих типов неустойчивости, имеет очень общий характер 1). Речь может идти о любой вообще однородной и бесконечной (хотя бы в одном направлении ось х) системе. Поэтому мы не будем конкретизировать здесь природу среды и возмущения в ней, обозначая последнее как некоторое 1э(1, г). При этом мы ограничимся случаем одномерного пакета. Если речь идет о трехмерной системе, то это значит, что рассматриваются возмущения вида эд(с, г) = э)э(с, х)е'~ ""+ ") с заданными значениями Йу, Й,.
Представим э)э(с, е) в виде одностороннего разложения Фурье по времени от 1 = 0 (момент возникновения возмущения) до 1 = со. Компоненту такого разложения обозначим через 9э(оэ, т): у(ы,х) = ) 4(1,т)е' ~с1Г. о 162.1) ф1с,х) = е ие у(оэ,х) —, 2е 162.2) — соЧчэ причем О > ао, так что путь интегрирования в (62.2) 1будсм называть его оэ-контуром) проходит в верхней полуплоскости ы выше всех особых точек функции у(оэ, х). ) Такой критерий был установлен впервые Стэрроеоэя (Р.А.
81итгос1, 1968). Излагаемая ниже формулировка критерия принадлежит Бригсу (Б.Х Бокка, 1964), которому мы в основном и следуем в 1 62 — 64. В дальнейшем нам придется рассматривать возмущения, возрастающие при 6 -+ оо. Мы будем предполагать 1как это фактически имеет место), что это возрастание происходит нс быстрее, чем по некоторому экспоненциальному закону ехр(сГ91). Тогда интеграл (62.1) можно сделать сходящимся, считая оэ комплексной величиной с 1шы = и > Ое. В этой области 9э(оэ,х) как функция комплексной переменной ы не имеет особенностей. В области же 1шы «тс функцию 1о(оэ, х) следует понимать в смысле аналитического продолжения; здесь она, разумеется, имеет особенности.
Обратное выражение для функции эд(с,т) через ее фурье- образ имеет вид 6 62 АВООлкстнАя и кОнВектиВнАя неустОйчивОс'Гь 327 Функцию у(со, х) в свою очередь разложим в интеграл Фурье по координате х: (62.3) (опускаем для краткости индекс у )с,). Функция ф ь получается в каждом конкретном случае путем (+) решения линеаризованных «уравнений движения» исследуемой системы и имеет вид ~(+) а А (62.4) Ь(ы, А) где я ь определяется начальным возмущением, а функция Л(со, й) характерна для систем»л как таковой (так, для плазмы роль нуравнения движения» играет кинетическое уравнение, 2".1(ы, Й) оказывается продольной диэлектрической проницаемостью плазмы, а я ь выражается через фурье-компоненту начального возмущения формулой (34.12)).
Будем считать, что д ь как функция комплексных переменных ы и й не имеет особенностей при конечных значениях этих переменных, т. е. является их целой функцией 1). Все особые точки(1( ь совпадают тогда сособенностями множителя . Ра(э) 1 Л(ы, й) венство Ь(ы,й) = О (62.5) представляет собой дисперсионное уравнение системы; его корни м()с) определяют частоты колебаний с заданными (вещественными) значениями волнового вектора )с.
Как мы видели в 3 34, именно эти частоты определяют асимптотический (при 1 — » оо) закон изменения со временем фурье-компоненты возмущения с заданным значением )с: ф (А) Š— кив(а)1 Š— ке'(Ь)»емк(Ь)1 Если исходить из этого закона, то нахождение асимптотического закона изменения возмущения в заданной точке пространства требовало бы исследования интеграла ф((,х) ) е "'(")'е" (")'есь*дй.
(62.6) При наличии неустойчивости, когда в некоторой области значений )с имеем ыл()с) ) О, один из множителей в подынтегральном ') Для »того во всяком случае необходимо, чтобы начальный волновой пакет достаточно быстро (быстрее чем ехр ( — о~К~)) убывал в пространстве. 328 'Реогия неустОЙчиВООтей ГЛ У1 выражении при 1 -+ ОО неограниченно растет, а другой становится бесконечно быстро осциллирующей функцией; эти противоположные тенденции затрудняют оценку интеграла. Вместо этого вернемся к выражению ф(1,т) в виде (62.2), до выполнения интегрирования по ш. Сместим ы-контур вниз до его «зацепления» за первую (наиболее высокую, т. е.
с наибольшим о~е) особую точку функции ~р(ш, л); пусть эта точка лежит при ш = ш„. (как будет ясно из да.льнейшего, ше не зависит от т). Очевидно, что асимптотическое значение интеграла определяется окрестностью именно этой точки, так что ф(1,х) с~зе '~" = ехр ( — »ш,'1+ ш,"1). (62.7) Если шл > О, то возмущение растет в каждой фиксированной точке а, т. е. неустойчивость абсолк>тна. Если же ш,". ( О, то в фиксированных точках возмущение стремится к ну.лю —— неустойчивость конвективна. Искомый критерий сводится, таким образом, к определению Оь. Функция ~р(ш, т) дается интегралом (62.3) с ф,,ь из (62.4): Ю ~р(ш, т) = ~" е е' ~ье ~Й Ь(ю, Й) 2л. (62.8) Поскольку, по предположению, й„ь -- целая функция и', то особенности подынтегрзльного выражения (как функции комплекс- 1 ного й) лежат в особых точках множителя; обычно речь Ь(Ы, и) идет о полюсах - корнях й(ш) уравнения (62.5).
Рис. 22 Пусть при некотором значении ш (точка на ш-контуре) с достаточно большой (положительной) мнимой частью шл = и особые точки лежат в к-плоскости, как показано на рис. 22. —— некоторые в верхней, а другие в нижней полуплоскости. Путь з 62 ЛВСОЛЮТИЛЯ И КОПВВКТИВИЛЯ ЛЛИУГ'ТОЙ'ЛИВОС'ТЬ 329 интегрирования по й в (62.8) (назовем его )л-контуром) проходит при этоел вдоль вещественной оси. Будем теперь изьленлпь ол, постепенно уменьшая олл.
Особые точки будут перемещаться (в Й-плоскости) и при некоторых значениях ал могут достигнуть вещественной оси '). Эти значения ол не будут еще являться особыми для функции лр(ол, й): ничто пе мешает сдвинуть )с-контур таким образоьл, чтобы увести его из окрестности особых точек, пересекших вещественную ось (как это показано на рис. 22б). Особенность интеграла возникает, однако, если две перемещающиеся особые точки сближаются., зажимая между собой путь интегрирования, и, таким образом, устраняют возможность увода этого пути из их окрестности (рис. 22 В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
