X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким образом, значение ол, определяющее характер неустойчивости, отбирается из чиста тех значений ол, при которых два корня л:(ол) дисперсионного уравнения сливаются. При этом в рассмотрение входят только те случаи слияния, когда два корня сходятся с разных сторон Й-контура, другими словами, при ол — э сс эти корни должны лежать по разные стороны вещественной оси. Отметим, кстати, что поскольку значения олс определя- 1 ются только свойствами функции, то их независимость сг(ы, к) от х очевидна. При слиянии двух простых корней уравнения возникает кратный (второло порядка) корень.
Вблизи такого корня дисперсионное уравнение имеет вид Ь(цл,й) = (ол — цлс) ( — ) + — ()л — йс) ( е ) = О, (62.9) так что к — йс слз ш (оз — олс)лл~ ~). Отметим, что в точке ол = лпс функция цл(а) удовлетворяет условию (62.1()) — =О, дй т. с. шг ЯвлЯетсЯ сеДловой точкой аналитической фУнклллли цл(а), ') В лшучае неустойчивой среды выход особой точки ца вещественную ось л должен (хотя бы в некоторой области значений ВУ) произойти еще при ыл > О, так как заведомо имеются такие корни уравнения гл(лэ, й) = О, дчя которых при вещественном Лл мнимая часть ыл > О.
) В некоторых случаях может иметь место слияние также и большего числа корней с возникновением корня более высокого порядка. Такие случаи, однако, могут, вообще говоря, отвечать лишь специальным значениям параметров системы, поскольку они накладывают дополнительные ограничения на точки ам к,: в разложении лз(ю, л) доляспы обращаться в нуль также и некоторые другие (помимо (длз/дк),) коэффициенты.
'геогия неустойчивостей гл гч Интеграл (62.8), взятый по окрестности точки й = й„с точностью до постоянного множителя имеет вид ь ~р(со, х) сто (62.11) функция у(ы, х) имеет при со = шс корневой полюс. Интеграл же (62.2), взятый теперь по окрестности точки оз = сос как функция от 1 и х, имеет вид щ(г, х) сзз — е Д (62.12) (поскольку это асимптотическое выражение получено при б — э оо и фиксированном х, оно справедливо лишь при ~йсх~ << ~сос1~). Хотя гшияние корней дисперсионного уравнения является основным источником возникновения особенностей функции ~р(ш,х) (и именно им определяется обычно характер неустойчивости), упомянем еще и другой тип особенностей, возникаюгций на частоте, для которой корень дисперсионного уравнения ~й~ — ~ оо ').
Мнимая часть такой частоты ш„однако, фактически всегда отрицательна и потому заведомо не может привести к абсолютной неустойчивости (положителгпгость о1п означала бы в данном случае ноустойчивость системы по отношению к колебаниям с бесконечно малой длиной волны). С таким случаем мы встретимся ниже (см. (63.10)). Как уже подчеркивалось, неустойчивость, являющаяся конвективной в одной (лабораторной) системе отсчета, может стать абсолютной в другой системе.
Поставим себе целью найти скорость Г той системы отсчета, в которой неустойчивость абсолютна с максимальным инкрементом. Переход от лабораторной системы к системе отсчета, движущейся со скоростью 1', осуществляется заменой во всех формулах со — + го — к)г . Как мы видели выше, значение шс отвечает тому моменту, когда по мере уменьшения оз на пьконтуре сливаются '1 два полюса функции в к-плоскости, причем эти полюсы Ь(~, Й) должны прийти к точке слияния с разных сторон вещественной оси, а потому один из них должен предварительно пересечь эту ось.
Обозначим через го" а максимальное (не зависящее от Г!) значение шл при вещественных значениях к. Поскольку оэ,"(й, И) ) Такой корень приводит к существенно особой точке функпии 1с(ы, х). Так, вски ~й~ стремится к бесконечности по закону й " = С(ю — юД., то вклад от окростпости особенности в интеграл (62.8) у(ы,х)ггз ехр )С(м — щ,))п" 331 УСИЛЕНИЕ И НЕПРО11УСКЛНИЕ заведомо мсныпе того значения О1' при котором полюс пересек вещественную ось, то О1,"(/с, 1') ( ы', при всех у'. Это означает, что наибольшее значение ы,') достигается, если с11ияние полюсов происходит на вещественной оси в точке максимума О1~~(Й). Заменив в (62.10) ы(Й) наа1(Й) — Й ' и отделяя мнимую и вещественную части равенства (при вещественных Й), пай1дем два уравнения: =О, (62.13) нй (62.14) и'й Таким образом, наибольший ипкремент неустойчивости дается максимальным значонием ь1" (Й) как функции вещественного Й. Скорость же системы отсчета, в которой такая неустойчивость имеет место, определяется соответствующим значением производной пы'/дй.
Это значение у' естественно принять в качестве определения групповой скорости волнового пакета в конвективно-неустойчивой среде. й 63. Ъсиление и непропускание До сих пор мы рассматривали задачи об устойчивости, в которых речь шла о развитии во времени возмущения, заданного в пространстве в некоторый начальный момент. Фурье- разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными значениями волновых векторов )с, а их временная зависимость определяется частотами О1(1с) - комплексными корнями дисперсионного уравнения. Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчивости: задача, в которой речь идет о возмущении., создаваемом в некотором участке пространства по заданному временному закону.
Фурье-разложение такого возмущения содержит компоне1ггы с вещественными частотами ы, а их распространение в пространстве определяется волновыми векторами Й(О1), получающимися решением дисперсионного уравнения - на этот раз относительно Й; соответственно комплексными оказываются не частоты, а волновые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду одномеряую задачу и потому пишем Й = Й„вместо вектора )с).
Комплексность волновых векторов может иметь различный смысл. В одних случаях она может означать просто, что соответствующие волны не могут распространяться в среде (непропусктм ние). В других случаях комплексность Й может означать усиление волн средой при их распространении от источника. Сразу же подчеркнс.м, что критерием различения этих двух возможностей заведомо не может являться знак 1ш Й: волны могут распростра- 332 'геогия ггеустоЙчивоотей гл ь'г а (63.2) Ь(ы, й) Такое выражение получается из неоднородного линеаризованного «уравнения движения» системы, в котором я(г, х) играет роль сгправой части» (аналогично тому, как (62.4) было решением однородного уравнения с начальным условием, задаваемым функцией я(0, х)).
Для источника (63.1) имеем ') сопев Кмь = . гйьг — ыо) Функция ф(2, х) находится затем по формуле обращения (63.3) оо ' ггг ф(1г т) = сопв$ Ф(со, х) г(и — ыа) 2гг г* ф(со,х) = / ' дй. Ь(ы, й) (63.4) (63.ог) ') При вычислении и г надо помнить, что в формуле обратного преобразования интегрировавйе происходит по контуру, иа котором 1гпы > О; поэтому е' г — г О при г †оо. няться в обоих направлениях оси х, а изменение направления распространения эквивалентно изменению знака к.
Физически очевидно, что усиливающими свойствами может обладать лишь неустойчивая среда. Поэтому, например, заранее ясно, что для поперечных электромагнитных волн в плазме с законом дисперсии аг2 = й~~ + сзг«2 (см. задачу 1 3 32) при частотах аг ( П, (когда к(со) мнимо) имеет место непропускание; действительно, определяемая этим уравнением функция нг(гс) вещественна при всех вегцественных значениях Й, так что система заведомо устойчива. Для точной постановки вопроса рассмотрим точечный по координате х источник (или, как говорят, сигнал), включаемый в момент ~ = 0 и создающий затем монохроматическое (с некоторой частотой ого) возмущение г)г (отклик системы на сигнал).
Интенсивность источника есть, таким образом, 6(~,х) =0 при 2(0, 6(~гх) = сопв1 гг(х)е ' ог пРи ~ > О. Не конкретизируя физической природы возмущения г)г, мы не делаем того же и в отношении физической природы интенсивности источника я. Существенно лишь, что огк-компоненты возмущения определяются по его источнику выражением вида УСИЛЕНИЕ И НЕИРО11УСКЛНИЕ 333 Это выражение автоматически обеспечивает равенство Ф(1, л) = 0 при 1 ( 0 в соответствии с условиями задачи: возмущение возникает только от включаемого в момент 1 = 0 источника.
Задача состоит теперь в том, чтобы найти асимптотическое выражение 1)1(г,я) вдапи от источника ((х) — » оо) в установившеьн;я режиме, т. е. по истечении большого времени после включения источника (1 — » оо). Если в таком режиме возмущение стремится к нулю при л — » ~ос, то мы имеем дело с пепропусканием. Е1;тн же возмущение оказывается возрастающим хотя бы по одну сторону от источника - имеет место усиление. Очевидно, что в обоих этих случаях может идти речь лишь о конвектнвно-неустойчивой (илн об устойчивой) системе.
При абсолютной пеу.стойчивости возмущение неограниченно растет со временем во всех точках пространства, так что выход на установившийся режим вообще невозможен. Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего отметим, что асимптотический переход 1 — » со надо произвести до перехода ~л~ -+ оо; поскольку за конечное время возмущение не может распространиться до бесконечности, то переход ~х~ — » оо при конечном 1 обратит Ф в нуль. Как и в 3 62, для получения асимптотического выражения при 1 — » ОО смещаем путь интегрирования по ы в (63.4) вниз. Аналитические свойства функции Ф(ы,х) такие же, как и у функции 1р(ы, х) в 3 62.
Поскольку система предполагается лишь конвективно-неустойчивой, то Ф(ы,я) не имеет особенностей в верхней полуплоскости ю и наиболее вьп:окой особой точкой подынтеграпьного выражения в (63.4) является полюс ы = шо па вещественной оси. Поэтому асимптотика при 1 — » оо Ф(~св) Сэе ' "'Ф(а~г, е). (63. 6) Для нахождения асимптотики функции Ф(ыо, я) при ~х~ — » Оо надо теперь смещать путь интегрирования по 1с вверх (при х > 0) или вниз (прн л ( 0) до тех пор, пока он не зацепится за полюс подьштегрального выражения в (63.5) (корень уравнения Ь(иш й) = 0). Обозначим через й»(ы) и ь (ш) те полюсы, которые при 1п1ы — » оо находятся соответственно в верхней и нижней полу- плоскостях Й. По мере уменыпения 1шш полюсы перемещаются и при вещественном ы = ыо могут остаться в «своей» полуплоскости или же попасть н другую полуплоскость. В первом случае путь интегрирования в Ф(ь1е,я) остается на вещественной оси (как на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
