X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. отвечает диамагнетизму. Преобразуем к новым переменным кинетическое уравнение. Поскольку функция распределения 1, отнесена к тому же элементу фазового пространства, что и раньше (лишь преобразованному к другому виду (60.7)), то кинетическое уравнение по-пРежнемУ имеет виД фе/~й = Я$ 1„или, РаскРыв левУю часть новых перемеегных, — ' + п ~ — ' + — ' ~ЕЬ) — ' = Я1 7е. ду, ду, с дг", д1 дВ~~ В дК, (60.11) Интеграл столкновений в дрейфовых переменных был получен Б.М. Лиупзицвм (1937) для электронного газа и обобщен для плазмы С.Т.
Беляевым (1959). Здесь введены очевидные обозначения для проекций векторов и использованы равенства (60.5), (60.6). Член же с бт в этом приближении отсутствует, поскольку пт при дрейфе не меняется. Перейдем к записи интеграла столкновений в дрейфовых переменных ). Отметим прежде всего, что акт столкновения в этих переменных состоит в амгновеннома изменении скоростей и и пх и перпендикулярных к магнитному пвпо компонент радиус- вектора центра кружка Кз (что же касается параллельной компоненты, В~, то она практически совпадает с соответствующей координатой самой частицы и при столкновении не меняется). Столкновения происходят лишь между частицами, проходящими друг мимо друга на прицельных расстояниях р, не превышающих радиуса экранирования ох р < а. Если р мало по сравнению с ларморовскими радиусами сталкивающихся частиц, то магнитное поле вообще не сказывается на процессе рассеяния, поскольку на таких расстояниях поле не искривляет заметным образом траекторий частиц.
Описание таких столкновений в терминах дрейфовых переменных вообще не является естественным. Поэтому использование интеграла столкновений в этих переменных целесообразно лишь в ухловиях, когда по крайней мере для одной из сталкивающихся частиц гв <( а. При кулоновском взаимодействии частиц в присутствии магнитного поля, как и в его отсутствие, существенны далекие столкновения и соответственно малые изменения всех переменных. Поэтому произведенный в 9 41 вывод интеграла столкновений в р-пространстве остается в силе и для интеграла столкновений в пространстве переменных Кт = (Х, У), ар,7 (ось л вдоль магнитного поля), если теперь вместо компонент импульса 314 ГЛ Ъ' ПЛАЗМА В МАГВИ'ГНОМ ПОЛЕ ввести четыре переменные дь(Х, У, П~, 1) и понимать под Ьд1, ААд2, ...
изменения этих величин при столкновениях. Интеграл столкновений по-прежнему приводится к виду 511" = — ~ '" = — — — ~' — 'э (60.12) Ойь а11 а.„аУ (поток вт по определению имеет компоненты только в плоскости, перпендикулярной В); здесь существенно, что элемент объема в пространстве переменных дь сводится просто к произведению их дифференциалов; поэтому интеграл столкновений имеет вид обычной дивергенции.
Вывод в 3 41 требует лишь небольших изменений. Прежде всего, при записи (41.2) было уже учтено, что в силу сохранения импульса ААр = с1 = — ААр~. Для рассматриваемых дрейфовых переменных такого соотношения, разумеется, нет. Повторив вывод без этого предположения, найдем (скажем, цля столкновений электронов с ионами) Ей =К-'~~ ~Аа; Аа,ПА А + 1=1 2 бам +~~6 ~д )~ аЛ ~,1зр 'ДКП 1 где дэр1 = 2яМВ Г11, дп,~р Ьдь изменение величин йь при столкновении, а угловые скобки означают усреднение по столкновениям. При выводе (60.13) существенно использована также возможность переставить в интеграле столкновений начальное и конечное состояния, после чего становится очевидным сокращение линейных по Ьдь членов; кроме того., это позволяет производить интегрирование по всему д-пространству.
В 3 41 такое преобразование было сделано в силу симметрии по отпошешлю к обращению времени, связывающей вероятности прямого и обратного столкновений. Прп наличии мвгпитпого поля тлкая Гимметрия имеет место только при условии изменения направления поля В на обратное, так что она связывает вероятности столкновения по существу в различных полях. Однако мы увидим ниже, что в данном случае симметрия относительно обращения времени восстанавливается интегрированием по прицельным параметрам.
Наконец, в (60.13) использовано, что взаимное рассеяние Вкружкова имеет место лишь при их прохождении на расстояниях друт от друга, не превосходящих радиуса экранирования а. Предполагая, что функция распределения мало меняется на таких расстояниях, мы положили приближенно ~;(В.;,п,0.1;) — ~;(КВ,Е401,) и произвели интегрирование по 316 1 во дРГЙФОВоь' ИРивлижьпие дай,. В результате в (60.13) осталось лишь интегрирование по ~!' р„а усреднение по столкновениям включает в себя интегриа рование по положениям В, Ниже в конкретных случаях это усреднение будет выражено с гюмощью соответствующего сечения рассеяния.
Сейчас укажем лишь, что средние значения (ЬКхЫ), (ЬК сап~~) равны нулю. Это видно из того, что произведения ЬХЬ,У, ЬУЫ (и такие же с Ьс~ вместо Ы) образуют вектор в п.лоскости ту. Поскольку для ларморовских кружков не существует в этой плоскости каких-либо выделенных направлений, указанный вектор должен обратиться в нуль при усреднении. Важное свойство интеграла столкновений в дрейфовых переменных состоит в том, что его добавление к кинетическому уравнению изменяет выражение для потока частиц (в обычном пространстве!) через функцию распределения.
Чтобы убедиться в этом, запишем кинетическое уравнение в виде — '+ ' + — (с~~,) = — — ' — — ' — — ' (60.14) д1, д(Ъ"~,) д дя,г два~ дэ,~ дй дя. ~ де~~ дй. ~ до~~ д1 (ввиду предполагаемого постоянства В и Е можно ввести Ъ'под знак производной).
Проинтегрировав это уравнение по д~р, получим дГ ' + йчн ( (Ъ'(, + я,т) Йзр = О, Х, = / ~,. ~1йр (60.15) (индекс е у электронных переменных для краткости опускаем): Х, —. пространственная плотность числа кружков; выражение под знаком опр, есть, следовательно, плотность потока этих кружков. Мы видим, что к обычному выражению ) Ъ"~, сРр добавляется еще связанный со столкновениями член 1 в,, дзр. Этот член представляет собой по существу диффузионный поток в поперечном к магнитному полк> направлении. При таком описании (в отличие от обычного описания диффузии) он входит непосредственно в кинетическое уравнение. При использовании этих выражений следует, конечно, учитыватгь что плотяость электрического тока связана с потоком истинных частиц, а не кружков. Поток частиц согласно (60.9) отличается от потока кружков членом с ротором, описывающим намагниченность.
Окончательное выражение для плотности тока электронов имеет поэтому вид 3, = — е1 Ъ'~, Фр — — го1 (Ь ( ~,/ар) — ) ев,тдар. (60.16) В Выражение (60.13) приобретает реальный смысп лишь после вычисления фигурирующих в нем средних значений. Пока- гл и пллзмк В магнитном ИОле ве гве» Рппп = т от>, (60.18) где рш1п -. прицельное расстояние, на котором угол рассеяния делается 1 (мы рассматриваем здесь только квазиклассический случай ' » 1).
лет В то же время будем считать, что гв, > а. Тогда для всех прицельных параметров р < а влияние магнитного поля па движение ионов (в процессе столкновения) несущественно: траектория иона мало искривляется полем на расстояниях р. При этом можно пренебречь (в пределе га/М вЂ” > О) отдачей ионов, т. е. положить равными нулю изменения всех характеризующих его переменных Лт, и 0,7 ).
Тогда в (60.13) исчезает второй член в фигурных скобках, так что электрон-ионная часть электронного тока принимает вид в~"~ = — — '(ЬХ ЬХР)('0 — '. (60.19) 2 дХз Вели гины (ЬХоЬХР) составляя>т пространственный тензор, поперечный к направлению поля. Представим его в виде ~(РхХ 7аХВ) = -((ЬВт)я)(д„д — б„бд), (60.20) выражающем эту поперечность явным образом. Поток же (60.19) запишется тогда как (ей = — ~'((г1В. ) )('0 ~7 )ю (60.21) 4 ) Этого нельзя сделать, еш~и существуют прицельные параметры, для которых и» р» гв,. При таких столкновениях ион дрейфует в поле электрона и его большая масса не проявляется. жем, как это делается на примере электронного интеграла для электрон-ионных столкновений. Вычисления производятся различным образом в двух обла; стях значений прицельных параметров р, определяемых неравенствами: 1) р«гв„, П) гВ, «р«а.
(60.17) Заметим, что интегрирования по параметру р будут, как обы шо при кулоповском рассеянии, иметь логарифмический характер. С логарифмической точностью можно нс делать различия между сильными (») и слабыми (>) неравенствами. Поэтому области (60.17) перекрывают по существу весь интервал изменения прицельного параметра (в соответствии с (60.1) предполагается, конечно, что гве « а).
Для существования области 1 необходимо также, чтобы было 317 1аа дРГЙФОВОв пгивггижвг!ие где г7 г = ггги — Ь(Ьгггн) оператор дифференцирования в поперечных к Ь направлениях. Аналогичные (60.19) выражения для «скоростных потоков»: ,(ег) гг ~ ((~ )2)(ег1дЛ + (ьег еее 7)(егд дЛ 'у дд, 1ей Х ~ ~ ~ г 7)(егд дгг + (г гг 7)2)(егд дг' 2 до)) дд) (60.22) В равповесииг т. е.
для максвелловского распределения 1, = сопз$. ехр — — '" — "+ 7 (60. 23) интеграл столкновений должен обращаться в нуль. Подставив (60.23) в (60.22) и приравняв потоки нулю, .найдем ( ) "0 = — 11 )2) "0 = — — 11 )2)'"'. юг 1 г = К вЂ” ~Ьр1], гг~ = — ~~, .г' = ~~, . т~.'в, ггг 2гггг Имея в виду, что координаты частицы г (в отличие от координат центра орбиты В.!) не меняются при столкновении, находим отсюда ЬВ.т = ~Ьс1Д, г."1о < — — ~~~ г Ь2 = — ертс1, (60.25) гвггв„ т' ' гви где с1 - малое изменение импульса р. Отмечая индексом 1 вклад от рассматриваемой категории столкновений, пишем теперь ((ЬКт) )1 — — ) (г'.1Кг)~ггдсг =, ) г1~~гг гоп, (60.26) где Йг сечение рассеяния электрона на неподвижном ионе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
