X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. шн, « Пв), чем величина поля ограничивается сверху. При выполнении этого условия поле почти не искривляет траектории КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ электронов (и уж тем более ионов) в области столкновений и тем самым не оказывает влияния на процесс столкновения. Другими словами, оператор 1 пе зависит явно от поля. Но тогда в силу соображений симметрии правая часть уравнения (59.9) должна иметь векторную структуру вида (и~Ь~7т])у(п ); по отношению к переменной тг эта структура такая же, как и у правой части (59.4) (причем вместо от стоит ~Ь7т)). Решение уравнения (59.9) есть поэтому д~~~~ = — т(и[Ь~Ь~7тД10е) = 3, гЧтЯ. (59.1Ц "в ы/в При вычислении тока отличный от нуля вклад возникает только от ег-столкновений.
Действительно, поскольку столкновения представляют собой в рассматриваемых условиях малый эффект, вклад в проводимость от ее- и ег-столкновений можно учитывать независимо. Это значит, например, что вклад от ее-столкновений вычисляется по функции распределения, получаюкцейся в резулыате решения кинетического уравнения, в правой части которого стоит интеграл только этих столкновений, как если бы с ионами электроны вообгцс не сталкивались. Но тогда интегРал ) ибуе НзР с фУнкцией буе~ вида (59.1Ц обРа- (2) з (э) щается в нуль, поскольку в силу закона сохранения импульса при столкновениях для произвольной функции распределения 1е имеем тождественно ГтгВ1ееУео Р 0 (ср.
~ 5) Таким образом, при вычислении электрического тока надо понимать в (59.1Ц символ 1 как электрон-ионный интеграл столкновений. При этом ') ТЕФ З 10е ) = Пег (ПЖ х )10е; где согласно (44.3) 4яхс'Л, Ь. гп,'ие Вклад в ток от функции распределения (59.1Ц, (59.12) равен Зыв Згпа~~ыв, ') Ср. (444). Наг1омним, что формула такого вида для Яг у" имеет место, если столкновения происходят с частицами, которые можно считать неподвижными, и если бт" имеет вид (чА)Л(е), где А -- постоянный вектор. В данном случае роль А играет векторный оператор 7~х.
302 гл е пллзмА в млгнвтпом полл Для вычисления искомых кинетических коэффициентов надо подставить ток3 = 380 +2~2~ в равенство 158.13) тУ Р, = — "" + ЕВ~ЬЦ+ сеттУтТ+МВ~ЬеУз Т1 (59.14) еХ, ат определяющие эти коэффициенты. Положив сначала ЧТ = 0 и собирая члены порядка 17епне, найдем, что "— + КВ~Ь382)) = О, сГ е откуда злнее д', сеь 2П где ье; (без указания аргумента) обозначает 159 15) 4веееЬ,М цег = нее ЬХ~е) еппеTЗ,'2 (59 Рб) Величина 159.15) того же порядка, что и проводимость 143.8) в отсутствие поля, с которой в данном случае совпадает и и р Аналогичным образом, положив в 159.14) туРе = 0 и снова собирая члены 1/ееве,найдем ЯВ[Ь344) + МВ~ЬЧТ) = О, откуда Л/ —— 159.17) (2 "т) Пепепе~„2а еВе Что касается коэффициента сеь, то он появляется лишь еще в следующем приближении по 1/епв, и оказывается равным (для в = 1) 2 от = 0,36( — ") 159.18) — 2ч ~„г12р.
2 ' 159.19) В первом приближении по 1/епве, подставив сюда 159.5), находим ег] ~ )( ) 2)ее ш ~~ ~ )Ае ( 4) Электронная теплопроводность. Тепловой поток в плазме складывается как из электронной, так и из ионной частей; рассмотрим сначала первую из пих. Электронный тепловой поток вычисляется как интеграл зоз КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ откуда с199 = — (Ьту, )РЕТ = — — '3(Π— ' '(ЬЧ~ Т1 (59.20) где ие = 5Т)2 — электронная тепловая функция, отнесенная к одному электрону. Сравнив с определением коэффициента е, в (58.14), получим (59. 21) В следующем приближении интеграл (59.19) должен быть вычислен с функцией распределения (59.11). В тепловой поток, однако, дают вклад как е4-, так и ее-столкновения.
В первом случае снова используем выражения (59.11), (59.12) и находим Ч~~ О = — ~" 47 (~4гг„( )), е Н, г откуда (егз 4ъ'е2ге ге е 2 47 Р (59. 22) Для нахождения отсюда соответствующей части коэффициента теплопРоводности гет надо, однако, Учесть еще Условие 3 = = ЗЦО + 3(2~ = О, поскольку согласно (58.14) ген определяется по потоку тепла именно в отсутствие тока. С помощью (59.7) и (59.13) находим, что это условие означает следующее соотношение между градиентами давления и температуры: — '(Ь'(7„Р,] = ' ' '*, хг Т ег хге2ге еиыгв (при вычислениях везде пренебрегаем ч,ленами более высокого порядка по 1/ецне). Вычислив с ечетом этого соотношения сумму Че + Чее, находим гете = г (59.
23) а2 тг„' Эта формула имеет простой физический смысл. По порядку величины коэффициент теплопроводности должен быть равен ген СЕР4, где С, Хе — теплоемкость электронов в единице объема, а Рт коэффициент диффузии электронов в направлении поперек магнитного поля. Последний в свою очередь оценивается как ((гах)2)/б~, где ((г."Гх)2) средний квадрат смещения за время ее. В магнитном поле смещение в поперечном направлении происходит лишь при столкновениях, причем электрон смс- ЩаЕТСЯ На РаССтОЯНИЕ гв,. ПОЭТОМУ Рт ггегГН, ОтКУДа И 2 получается (59.23). 304 гл и пллзмя в магнитном полн Обратимся к вкладу ее-столкновений.
Вычисления здесь более громоздки; наметим их ход. В функции (59.11) под 1 надо понимать теперь линеаризованныйг интеграл столкновений Ландау: 1еед ~~: Жт р а где (ее) 2 у1ег ю б в — и~ юв г, е в = 7Ге х о евз (чя = ч — зг'). Интеграл (59.19) с такой функцией распределения после интегрирования по частям принимает вид с1(е') = 1 ) (11тв(ее1+ 2ч(ив~ее))) с1згь 2юв (59.25) Коэффициент в этой фоРмУле написан так, что под оуе в (59.24) надо теперь понимать функцию (н17г)Д,. При этом дифференцирование ьг ь достаточно применить только к температуре Т в показателе максвелловской функции Де: (чгЧь '1Π— У з'Ое . (вгтрк Т); члены, возникающие от дифференцирования предэкспоненциального множителя, взаимно сокращаются 1) После простого, хотя и довольно длинного вычисления инте- (ее) 21 грал (59.25) приводится к виду. — вс ' ЧгТ, где -" „.
1(-'. где чи = зг — ч', Ъ' = (и + ьл)/2, а многоточие в фигурных скобках стоит вместо членов, содержащих нечетные степени мгьг и обращающихся в нуль при интегрировании. Заметив, что ХО (Р)ХО (! ) с'з ехР ( ~ 4 ) ') Это обстоятельство заранее очевидно как следствие общего свойства, отмеченного в З 6: интеграл столкновений одинаковых частиц обращается в нуль для функций вида что. з) Градиент давления здесь не появляется, и поэтому нот необходимости в исключении его с помощью условия 9 = О. 305 КИНЕГИЧЕОКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ и выполнив интегрирование по 77' р77 р', получим окончательно (ее) 2 Ге',Ти„ ЗЛ еае'в (59.26) где 4КЕ 77",Ео (59. 27) то~77Т777 Таким образом, весь электронный вклад в поперечную теп- лопроводность (59. 28) ') В случае элоктронов второй член в левой части содержал бы вместо М/р множитель т)р = т/(ЛХХ,) и им можно было бы пренебречь. Ионная теплопроводность.
Отметим прежде всего, что условие применимости рассматриваемого приближения для 77- столкновений, Ц7В, >) 77;„более сильное, чем для электронов. ПосколькУ Ум мое(7П77М) ~ а сове' оувееп(М~ то из оУВг» ы77 СЛЕДУЕТ НЕРаВЕНСтВО а7Ве» 77ее(М/7П)')2, бОЛЕЕ СИЛЬНОЕ, ЧЕМ а7Ве» 77ее; ЧтО жЕ КаСаЕтСЯ УСЛОВИЯ ГВ, » а, тО ОНО ЗаВЕДОМО выполняется, будучи более слабым, чем (59.10). Кинетическое уравнение для ионов аналогично уравнению (59.2): 1о* +те Уо + ееЕ 1о, — — (мВ) 1' +1(о1') (59 29) д7 дг др с др При преобразовании его левой части ситуация, однако, отличается от электронного случая. Подставив сюда (~ ТМ)оно' ' ). Т( ) )' мы должны теперь дифференцировать 17 по 1 (после чего снова положить, в силу выбора системы отсчета, Ъ" = 0). При 77" = 0 имеем, согласно гидродинамическому уравнению движения: — = — — теР + — (3В], где давление Р = Р, + Рб а плотность р = Х;М.
В результате кинетическое уравнение примет вид 77'0д~д; — " ч ('УтР— — (3В) 1 = — — (чВ) ' + 1Я), (59.30) ж,т с / с др где мы снова (как и в (59.3)) положили Б = 0 и написали ~7т вместо и ). 307 КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ вЂ” вопд 1 Род дггд стгтг гу( эгог = [тгВ) +Уггггеггг) (59 34) Решение этого уравнения надо искать в виде 4 5Л = ~8в(е')~'уб п~гвб, (59.35) 'л=о где у'„б - - линейные комбинации из компонент тензора И я, фи- М "уб гурирующие в выражении тензора вязких напряжений 4 гт б — — ~ у~ар (и) 159.36) согласно определениям (13.18) и (58.15); напомним, что все Иоо = О. Тензор напряжений вычисляется как интеграл — суу,б — — бс М „губ ц, Р|).
Подставив скуда (59.35), усреднив по направлениям тупо формуле ггпггпдуутгуб) = . (оагуб-уб + ооу5бб + ообоууу) 15 и сравнив с (59.36) г получим 2М ). 4 . (Иг) амбр 159. 37) 15 Уравнения, определяющие функции 8, получаются подстановкой (59.35) в (59.34) и приравниванисм коэффициентов, стоящих при одинаковых тензорах И" в обеих частях уравнения. аб ') При этом надо учесть, что давление плазмы Р = (Х, + М,)Т = Х,(1 + + я уТ, а теплоемкость, приходящаяся на один ион, равна 311 + я)у'2.
несущественным; ес;уи при этом пуне » ууее, то усу дается формулой (59.28). Вязкость. Импульс движущейся плазмы сосредоточен в основном в ионах, поэтому вязкость определяется ионной функцией распределения. При этом, поскольку соударения иона с электронами мало меняют импульс иона, в кинетическом уравнении надо учитывать только ион-ионные столкновения. Левая часть кинетического уравнения (59.29) преобразуется так же, как это было сделано в 2 6, 8, и принимает тот же вид, что и таму). Таким образом, кинетическое уравнение задачи о Вязкости: 308 с'л у плазма В мкгпи'гном пола Опустив детали этих довольно громоздких вычислений., приведем сразу их окончательные результаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
