X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Отличные от нуля коэффициенты вязкости г)3 и гй возникают уже в пренебрежении интегралом столкновений и потому пропорционалыэы 1сссвнс Коэффициенты же г)1 и г)2 появляются лишь в следующем приближении, с учетом столкновений, и потому пропорциональны 1/св 1, ): Л, 2 РП»( .)«В,М» Л, й, Р (59.88) 4 5(МТ) сггса» 2 2сав Отлсетим в заключение, что все полученные в этом параграфе выражения для «поперечных» кинетических коэффициентов имеют смысл и при условиях, более мягких, чем общее условие (58.1). Легко убедиться в том, что поправка к функции распределения оказывается малой, уже если характерные размеры задачи велики лишь по сравнению с ларморовским радиусом гв соответствующих частиц, чем и обеспечивается применимость указанных выражений.
Это усаовие достаточно и для применимости самих гидродинамических уравнений, если градиенты давления и температуры везде поперечны по отношению к направ.пению магнитного ноля. В пашем рассмотрении мы везде имели в виду плазму. с одинаковыми температурами электронов и ионов. Но ввиду большой разницы масс электронов и ионов нередко осуществляются условия «двухтемпературности». В таком случае также можно сформулировать систему уравнений типа гидродинамических и вычислить фигурирующие в них кинетические коэффициенты ). Задачи 1.
Определить тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной электронной плазмы в однородном (й = О) переменном электрическом поле с учетом электрон-ионных столкновений (лоренцевский случай; см. е ш е н и е. Как было отмечено в начале параграфа, если однородное поле Е параллельно полю В (ось г), то последнее вообгцо вьшадает из кинетического уравнения.
Поэтому компоненты г,, г»„е„не зависят от В (при этом г„= г». = О, а е,«дается формулой (44.7)). Для нахождения же остальных компонент можно считать, что Е з Б. Ищем поправку к функции распределения электронов в виде 57« = (уЕ)8,(е) 4- (у(ЕЬ))8. (е). (1) Для функцви этого типа (ср. примеч. на стр. 301) интеграл столкновений 81„7, = — п«,(е)57"„ ') Целесообразность определения коэффициента вязкости Ле для магнитоактивной плазмы согласно (58.15) связана с тем, что все остальные коэффициенты Ч оказывшотся тогда стремяшимися к нулю при  — э со.
гэ ) эЭтот вопрос изложен в статье С.И. Брагинского «явлсэния переноса в плазме> в сб. «Вопросы теории плазмы» - М.: Атомиздат, вып. 1, 1963. хине'гичвокив коэввицивиты 309 так что кинетическое уравнение (и,шв) — яш)бз", — 2— 1чВ) ' = еК ' = — — чК)е . е дб~, дза, е (2) др др т Оно отличается от бесстолкновительпого уравнения лишь заменой ы на ы+ 4- и „(в).
Подстановка (1) в (2) приводит к двум алгебраическим уравнениям для 81 и 8ю решая которые, находим — геОЦ+т,:,'ге))зо ) ков ~Ьч) Три +1и„(с))э — ывз ) ) ш+1и,,1в) / Диэлектрический тензор 4я.е 3 е В=бе+,)в Квпр Выпишем окончательный результат для частот ~ы~шв ~ >>!~.„ когда столкновения можно рассматривать как малое возмущение, В таком случае лгож|ю положить 8 = йо+ ги„(с) —, дио дю где ко — функция я при в„(с) = О. Тогда 1о1 .4Лхкхе"А,№ 2 ~~ <о1 тщзТз~звз Иы где е, — тензор диэлектрической проницаемости без учета столкновений. <а1 Эта формула (по той же причине, чго и для (44.9)) справедлива пе только в лоренцевском случае, но и для плазмы с любым х.
2. Неоднородная в направлении оси х плазма удерживается магнитным полем, направленным по оси х. При условии ыв,, » и, определить распредоление плотности и магнитного поля в плазмо, считая распределение температуры заданным (И.Е. Тамм, 1951). Р е ш е н и е, По условию, градиенты температуры Т и давления Р направлены вдоль оси х.
Вдоль той же оси направлено и возникаюгдее изза неоднородности плазлюы электрическое поле К, потенциальное в стационарном случае. Удержание же плазмы означает, что отсутствуют движение плазмы и электрический ток в направлении х: 1г, = О, у, = О. Проецируя с учетом сказанного уравнения (58.13) на ось р и используя уравнение Максвелла гог В = 4хз/с,получим с 4В, ЙТ вЂ” — = — д„= Лгат —.
4х дх дх Подставив в эту формулу выражение (59.17) для Л'ах, имеем г1 В2 3 г)Т вЂ” — = — — № —. (1) дх 8х 2 'Их Магнитное поле «выталкивается» из более горячих областей плазмы. Проецируя же на ось х уравнение (58.3) и пренебрегая вязкими членами, дающими вклад более высокого порядка малости по 1/В, находим второе уравнение д 1. — (Рг+Р,) = -у„В, дх с 810 пллзм|А В ыАЕ41ит14оы ИОле гл г которое с помощью того же уравнения Максвелла приводится к виду (при »=1 ) В2 2М,Т+ — = сопвп (2) 8я Уравнению (1) можно придать более удобную форму, исключив из (1) и (2) магнитное тюле.
После интегрирования находим 141,Т = сопка 1м Формулы (2) и (3) решают поставленную задачу. Распределение же темпе- ратуры определяется уравнением теплопроводности. 8 60. Дрейфовое приближение Исследуя в предыдущем параграфо кинетические коэффициенты плазмы в сильном магнитном поле, мы пользовались интегралом столкновений Ландау, что подразумевало выполнение неравенства гВ, )) а (59.10).
Покажем теперь, как можно освободиться от этого ограничения, т. е, получить формулы, пригодные и в случае полей, настолько сильных, что для электронов выполняется обратное неравенство: гн. « а. (60.1) При этом удобно воспользоваться специальным, так называемым дрейфовым приблиз4сением, которос производится уже в самом кинетическом уравнении, а не только при его решении. Это приближение справедливо, если магнитные и электрические поля достаточно медленно л4еняются в пространстве и во времени. Именно, частота поля п4 и эффективная частота соударений и должны быть малы по сравнению с ларморовской частотой, а характерное расстояние, на котором меняются поля (обозначим его через 1®, должно быть велико по сравнению с ларморовским радиусом.
Эти условия должны выполняться для каждого сорта частиц, к которым применяется дрейфовое приближение. Ниже в этом параграфе мы будем писать все формулы (для определенности) для электронов (аналогичные формулы для ионов по- лУчаютсЯ, как всегДа, заменами е — » — ке, п4В« — + — а4В1г пт — » ЛХ).
Таким образом, будут предполагаться выполненными усаовия 4441 Ы«4 « О4В«1 )) ГВ« ° 1 (60.2) Основой рассматриваехиого метода является приближенное решение уравнений движения заряженных частиц в заданных полях е(гч г) и В(г, г)1 учитывающее медленность изменения последних как функций 2 и г. Движение частиц в таких полях представляет собой совокупность быстро переменного вращения (с ЧаСтОтОй П4В«) ПО «ЛаРМОРОВСКИМ ОКРУжНОСтЯМ» ВМЕСТЕ С МЕД- лепно меняющимся перемещением центров этих окружностей або ДРГЙФОВОк пеивлижвник (или, как говорят, ведущих центров орбит). Метод решения состоит в выделении быстропеременной, осциллирующей составляющей движения и усреднении по нему.
Представим радиус-вектор и скорость электрона в виде г = В.11) +Ь11), тг= Ъ'+Ь, ьг =К, (60.3) где К радиус-вектор ведущего центра орбиты, а ~ осциллирующий радиус-вектор электрона относительно ведущего центра' ). В нулевом приближении, в полном пренебрежении пространственной и временной зависимостями поля и столкновениями, мы имеем дело просто с движением в скрещенных однородных и постоянных полях Е и В. Как известно [см. П, 5 22), в этом случае вектор ~ лежит строго в плоскости, перпендикулярной полю В, и вращается в этой плоскости с ггостоянной угловой скоростью огне = еВ((тс), оставаясь неизменным по величине.
Радиус окружности [~[ связан с постоянной скоростью [~[ = пт согласно [~[ = пг/оэве; в вектоРном виДе свЯзь межДУ ~ и ~ записывается в виде — Щ, (60.4) где Ь = В/В. Центр же орбиты движется со скоростью В = тго = по ~Ь+ тно, где по5 скорость равномерно-ускоренного движения вдоль магнитного поля, удовлетворяющая уравнению тбо~ = — еЬЕ, (60.5) зно = Кт = — '[ЕЬ) В (60.6) есть скорость перемещения в плоскости, перпендикулярной В (скорость электрического дрейфа) ). В дальнейшем мы ограничимся этим приближением и пренебрежем членами, связанными с непостоянством полей Е и В, т.
е. фактически будем считать их постоянными. Б соответствии с этим мы будем опускать индексы 0 у всех величин. Сущность дрейфового приближения состоит в переходе в кинетическом уравнении к медленно меняющимся переменным Во п~ , .нт = ф. Эти величины вместе составляют пять независимых переменных, от которых зависит функция распределения. ') Пе смешивать обозначение Ъ' в этом параграфе с макроскопической скоростью, обозначенной через Ъ' в О 59! ~) При этом предполагается, конечно, что Е/В «1, так что и «с и релятивистскими эффектами можно пренебречь. 312 гл ч плазма В магнитиом полк Элемент фазового обьема в новых переменных имеет вид г)ахп~р = г)зй 2ктз йп ~ п1 газ = 2тгт' г)з)зтг)н ~ с).7 (60 7) где введена удобная для дальнейшего величина 7 — ю-~ (60.8) (при проверке соотношения (60.7) следует помнить, что в принятом приближении поля можно считать постояш1ыми).
Выразим через новые переменные плотность тока электронов. Для одного электрона плотность тока есть — еъ о(г — ге), где г — бегущие координаты точки пространства, а ге координаты точки нахождения элоктрона. Положив ч = Ъ + ~ и ге = К+ ~, запишем — еч0(г — г,) = — е(Ъ' + ~иб(г — К) — ~зуг(г — К)).
Усредним это выражение по углу вращения с помо1цью очевидного соотношения озве(ьГо%1гз) = (ьГо43) = пхбод~ 1 2 2 где а, )з' - - двумерные (в плоскости, перпендикулярной магнитному полю) векторные индексы. Получим — еЪ'б(г — К) + (Ь17,)б(г — Н). Умножив это выражение на функцию распределения электронов 7е и интегрируя по дзр = 2лт'1 г)п~ сь7, .получим плотность тока в В;пространстве 1К 1е = — е 3 ччгзте г) р — — го1 (Ь | .7(е г) р) (60 9) Первый член в этом выражении отвечает переносу зарядов вместе с перемещак1щимися ларморовскими кружками, а второй учитывает вращение частиц по этим кружкам ). Этот второй член имеет простой физический смысл: если представить его в виде стой М, то вектор тЬ ).
(. (60.10) В ) Во втором члене произведено интегрирование по частям, в результате чего оператор ч„переносится на Ьг,. е~ ) Заметим, что такое же усреднение плотности зарядов — еб(г — г,) приводит к обычному выражению — е) Г", 0 р; поправочные члены, связанные з с вращением частиц, появились бы здесь лишь при учете малых величин второго порядка (вторые производные по координатам). 1 ба дггйФОВов пгивлижьпие будет представлять собой намагниченность плазмы, связанную с вращением зарядов. Магнитный момент (60.10) не зависит от знака зарядов и направлен противоположно магнитному полю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
