X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2 > О. Из вырвжсния (56.6) для А и выражений (52.11) для ВА и В2 следует, что дА/дс2 > О; поэтому положительно и а„= (дА/ди) =„,. Отметим, что для этого значения и отношение 1ситюшг содержит (ит,7с)П~ и потому мало. Это и есть упомянутое выше условие малости Затухания Ландау. В и С (и обозначив эти их значения через В, и С„), получим дисперсионное уравнение в окрестности резонансной частоты в виде 291 1 67 Влияние теплОВОГО дВигкения г / )с~ = — ' ~ —" ), ог — ог1 = — "(~А1,~В,)~г~. (57.6) сит, ~ ~АГ„~ ' а„с При ит, — + О эта точка уходит вправо на бесконечность, одновременно приближаясь к оси абсцисс, и мы снова возвращаемся к кривой закона (57.3). В качестве еще одного примера рассмотрим поперечные волны вблизи электронного циклотронного резонанса, распространяющиеся вдоль магнитного поля.
В пренебрежении тепловым движением закон дисперсии этих волн дается формулой (56.9) (с нижними знаками), причем в окрестности точки ог = огн, ) ю ш = шн. (1 — й,'г) (57.7) (ПРИ ЭТОМ ЙС )) йе)~ ВССЬ ЭТОТ СПСКТР Лсжит ПРИ Ш С Огве ы ) В связи с этим волны, отвечающие (в магнитоактивной плазме) верхней части сплопгной линии на рис. 20, принято называть плазменными, в отличие от обыкновенных или необыкновенных волн, отвечающих нижней части этой кривой.
Подчеркнем, однако, условность этой терминологии: в действительности мы имеем здесь дело с единой ветвью спектра колебаний, точка пересечения которой с осью абсцисс (тачкам = ыг) ничем не замечательна. ю ) Для большей определенности считаем, что не только ыв, — ы <( ые„ но и что й, ) ыв„так что единицей в правой части (66.9) можно заведомо пренебречь. зависимости ш — Й, от Й сводится к выходящей из начала координат прямой, уравнение которой совпадает с (32.5) ~). В пренебрежении тепловым движением колебания в плазменных резонансах продольны. Подчеркнем, что при учете пространственной дисперсии это свойство, строго говоря, исчезает: величина А = с дк )сф)ст = е~ становится зависящей от и, и равенство сг = О (условие продольности колебаний) делается несовместимым со связью между теми же переменными ог, и, й, даваемой дисперсионным уравнением.
Как в самих точках плазменных резонансов (вообще теряющих свою выделенность), так и в их окрестностях волны остаются, однако, почти продольными: ввиду малости А и медленности волны (малости ог/)сс), поперечная компонента Е(') мала (согласно (32.10) ) по сравнению с Е('). Обратимся к случаю АГ„< О. Характер зависимости ш — ш1 от и для этого случая изображен на рис. 21. Кривая не выходит в область ог > огм загибаясь обратно в точке максимума с координатами 292 ГЛ С плАЗа|А В мАГнитнОм ПОлн Для исследования этих волн с учетом теплового движения электронов надо составить дисперсионное уравнение с тензором диэлектрических проницаемостей (55.7), как раз относящимся к области циклотронного резонанса 7). Раскрыв определитель (56.4) (с вектором )с, направленным вдоль оси я), получим 97(97 — ррв.) 1, А72 Ьст 7 Вне линии Резонансного поглоЩениЯ, т. е.
пРи ~ровс — о7~ >> Г;ете (нор копечнор по-прежнему ~9ов, — ор~ << прв,), это соотношение принимает вид й с а,р )ря 41, ~ (рс — МВ ) Отсюда снова получается закон дисперсии (57.7) для вещественной части частоты и выражение 7=,С.„-" ( ) Р( ( ) (-") ) а7.9) д.ля коэффициента затухания Ландау. ПРи Дальнейшем пРиближении п7 к арве, в области ~прв,— — О7~ << ает„КОЭффИЦИЕНт ЗатУХаНИЯ РаСтЕт, СтаНОВЯСЬ СРаВ- пимым с самой частотой пр; в этой области уже нельзя говорить о распространении волн.
5 58. Уравнения гидродинамики магнитоактивной плазмы Еш1и характерные пространственные размеры т' в движущейся Гтлазме велики по сравнению с длинами свободного пробега, 7 » 1, (58.1) то можно считать, что благодаря столкновениям в каждом небольшом участке плазмы устанавливается термодинамическое равновесие со своими местными значениями температуры (одинаковыми для электронов и ионов), давления и т.
п. В таких с Гучаях движение плазмы может описываться макроскопичоскими гидродинамическими уравнениями. Уравнения магнитной гидродинамики были написаны в УП1, 5 51. При этом, однако, подразумевалось, что кинетические коэффициенты среды (ее вязкость, теплопроводность) не зависят 11 7 1Напомним, что форърулы (55.7) предполатарот также и соблродепие услоВия 155.4)1 арв, » Ьпт,. 1'идгодииАА1икА мА!'нитолктивной пллэмы 293 от магнитного поля. В плазме для этого должны быть выполне- ны условия ~~1 )) !'1В1! !'е )) 111Ве (втрое ус ювие следует из первого).
Эти уш1овия часто оказываются слишком жесткими, в связи с чем возникает необходимость в составлении гидродинамических уравнений, свободных от указанного ограничения ). Уравнение непрерывности для массовой плотности р сохраняет, конечно, свой обычный вид — Р+ 11!урЪ' = О! др дс (58.2) где Ъ макроскопическая скорость. Остается прежним также и общий вид уравнения Навье-Стокса (,~,1.,)~, ~ + дР 1~В) д!г„а (г ) и уравнение сохранения энергии = — 14!у [рЪР ( — + И') — (ет'Ъ') + — '[ЕВ) + с!], (58.4) где се„*д тензор вязких напряжений; (1т'Ъ') обозначает вектор с составляющими ег' ВГД, с1 плотность потока энергии, включающая в себя как диссипативную часть, связаннук! с теплопроводностью и термоэлектрическими явлениями, так и конвективный перенос эяергии тококл (скл. ниже определение (58.8)); 1! и И' внутренняя энергия и тепловая функция среды, отнесенные к единице ее массы.
ТензоР ет~ в и вектоР 14 должны быть выражены через градиенты термодинамических величин и скорости; вид этих выражений как раз и зависит от магнитного поля. В связи с уравнением (58.3) необходимо сделать следующее замечание. В этом уравнении учтена сила, действующая на плазму со стороны магнитного поля (последний член слева), но опущена сила ') Кроме того, в У111, ~ б1, были опущены члены в уравнениях, онисывагощие термоэлектрический эффект. е(яЯ! — !Уе) Е, действующая со стороны электрического поля. Это пренебрежение в данном случае оправдано: из условия (58.1) следует, что и 294 1Л В ПЛАЗЬ|А В МАГПИ'ГНОМ ПОЛЕ подавно ь» а, а потому плазма квазинейтральна, так что можно положить Л1у1 = 171е и некомпенсированные заряды в плазме Отсутству'ют' ) ° К уравнениям (58.2) (58.4) надо добавить уравнения Максвелла для квазистационарпого электрохиагнитного псля (уравнения без тока смещения): гоГЕ = — — —, 1йуВ = О, гоСВ = — 1.
(58.5) С 1Л с Е+ — ~Ъ"В) = Р, с (ОЕ8 б) 1де Р некоторая линейная комбинация тока )и градиентов термодинамических величин. Напомним (ср. 1П1, 8 49), что происхождение комбинации из Е и В в левой части (58.б) связано с преобразованием Е при переходе от системы покоя данного элемента объема среды к системе отсчета, в которой он движется со скоростью Ъ'. В квазипейтркльпой плазме относительная концентрация ее компонент (электроны и ионы) есть заданная неизменная велиЧИНа (ЛГе/1у1 = З). ПОЭтОМу НЕЗаВИСИМЫМИ тЕрМОдниаМИЧЕСКИМИ переменными являются лишь температура и давление; вопрос о выражении Р и с1 через градиенты этих величин (и ток 7) формально совпадает с таким же вопросом в теории термогальваномагпитш,1х эффектов н металлах (сы.
Ъ'Ш, З 25) ). Соотношения между 1 и с1, с одной стороны, и полем и градиентами термодинамических величин с другой, записываются ) Это рассуждение основано на неравенстве 1 » а. Напомним, что мы везде имеем в виду полностью ионизованную плазму. В частично ионизованной плааме неравЕнствО 1 )) а может не выполнятьСя ввиду уменьшения длины пробега благодаря столкновениям с нейтральными атомами, и тогда требование б » а надо рассматривать как дополнительное условие, необходимое для пренебрежения об ьемиой электрической силой. ) Снова напомним, что речь идет о полностью иоиизованной плазме.
Наличие нескольких видов тяжелых частиц 1различные ионы, нейтральные атомы) потребовало бы учета соответству-ющих диффузионных процессов. Напомним, что квазистационарность поля означает малость частоты его изменения о7 в смысле оз « с1'ь. При этом электрическое поле, индуцируемое переменным магнитным полем, Е О1ОВ/с « В; именно поэтому в (58.4) надо учитывать плотность энергии лишь магнитного, но не электрического, поля.
Отметим также, что пренебрежение током смещения находится в соответствии с предположением о квазинейтрапьности плазмы: из последнего уравнения (58.5) следует Мч2 = О. Наконец, надо присоединить уравнение, выражающее «обобщенный закон Омал, вида 295 1'идгодииАА1икА ИАгиитолктииной пллзмы в виде, обобщающем соотношения (44.12), (44.13): ~ дд, ц. дт г + — ' = 12,„2е+ а„д е дх две д7' Че2 = —.112 + Оеед3, 0Агод —. е див (58.7) (58 8) — с11т — (ЕВ] = — — + 3Е = — — — с11пг(1Д3).
е д В2 . д В2 4К д2 8к д~ 8к Таким образом, поток энергии Ч в (58.8) уже не содержит в себе переноса частицами энергии — е1р. В силу принципа Онсагсра, коэффициенты в соотношениях (58.7), (58.8) связаны друг с другом соотношениями се„е(В) = сее„( — В)1 Ае 11(В) = Аее„( — В), (58.9) Д д(В) =Тое„( — В). (58.10) Поскольку В -- единственный имеющийся в нашем распоряжении векторный параметр, зависимость тензоров от направления Ь = В/В может быть написана в общем виде е2 д(В) = 015 11+о26ИЬв+озе 11.„6, (58.11) (и аналогично для остальных тензоров), где скалярные коэффициенты оп сея, гез функции величины поля В; такая зависимость удовлетворяет требованию симметрии по отношени1о к инверсии: В аксиальпый вектор, и ого компоненты не меняют знак при инверсии, как должно быть и для компонент истинных тепзоров 1т е, ...
Отметим, что выражения вида (58.11) автоматически удовлетворяют соотношениям (58.9), а (58.10) принимает вид Д д(В) = Т12 а(В). (58.12) При фактическом применении выражений (58.7), (58.8) в магнитной гидродинамике градиент химического потенциала удобнее выразить через градиенты давления и температуры согласно 1'1Ае — аеЕА + Е~е1 1 Еее — 111е А Эе, ЗДесь 12е химический потенЦиал электРонов, а тензоРы се'д, се,„РА, р' д зависят, как от параметра, от магнитного поля В.
Отсутствие в левой части (58.8) члена — 1д (ср. (44.13)) связано с тем, что величина 1д1 уже учтена в (58.4) вектором Пойнтинга в плотности потока энергии. В этом легко убедиться, преобразовав с помощью уравнений Максвелла (58.5) его дивергенцию: 296 гл м плАзмА В мАГнитнОм ИОле Рг где Р, = г7ВТ парциальное давление электронов в 1 Ч- В плазме, а, и ш„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
