X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 52
Текст из файла (страница 52)
270 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. Ч добавка оу зависит от ~ и г по тому же закону [53.2), что и поля К, В', которым она пропорциональна. Отделив в уравнении члены нулевого и первого порядков по слабому полю, получим 1) — [ТГВс] = О, [53.4) г[ктà — оз)оу — — [АГВО] = е —" (К+ — [АГ[кК]]~ . [53.5) Обозначим через п„й, составляющие векторов тГ, к вдоль полЯ Ве, а чеРез АГх, йт составлЯюЩие в пеРпенДикУлЯРной Во плоскости; пусть ~р "- угол между мт и плоскостью 1ст, Ве [отсчитываемый в направлении вращения буравчика, ввинчиваемого вдоль вектора Ве); переменные п„п г, у составляют цилиндрические координаты в ч-пространстве. В этих переменных уравнение [53.5) принимает вид г[й,п, + й~ пт соз Го — со)оу' + шн, — = е (Е + — [АГ[1ГЕ]] ) —.
дбУ ( 1 1 дУе ды 1 ы др [53.6) Из уравнения же [53.4) следует, что дуе/д~р = О, т. е. Д может быть любой функцией, зависящей только от р, и рз: [53.7) [этот результат заранее очевиден для бесстолкновительной плазмы, поскольку р, и р ~ — те переменныс, на которые не влияет магнитное поле). Для упрощения записи формул введем обозначения й,с, — Ы КАЕТ ГГ = ыв ыв [53.8) е дуе ( 1[ [ ]]) [53.9) Если ус зависит только от энергии электронов е = р~/[2т), то производная дуо/др = АГ с]уе~ЯЕ и ее произведение со вторым чле- ном в скобках обращается в нуль, так что Я = — — чЕ. е пуо ын, де [53.10) ) В холодной плазме лоренцсву силу со стороны слабого поля В' не надо было учитывать, так как при пренебрежении собственным [в отсутствие поля) движением частиц зта сила второго порядка малости, 271 ФУНКЦИЯ РАОПРЕДЕЛЕНИЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 1 ЯЯ С этими обозначениями уравнение (53.6) примет вид + г(а + )3 соя ~р)б7" = с1(~р) а~ (аргументы НАГ и ь в функции сь' не выписываем).
кто решение; — 91атЧЧ39!пф ~' да~О'-';-рЯП~О')( )( 9) 99 9 с / или, после замены переменной интегрирования ~р = р — т, (53.11) я — С бу — ге мат" )' Е99Ч91п(~ — т) — Еатд1у — Т) С~т. а Постоянная С определяется требованием, чтобы функция бу" была периодична по р с периодом 2л. Поскольку подынтегральная функция (как и множитель перед интегралом) периодична по у, то поставленное требование удовлетворится, если пределы интегрирования не будут зависеть от у; для этого надо положить С = ОО или С = — ос. Выбор между этими двумя возможностями определяется правилом обхода Ландау (29.6): интегрирование должно производиться при ы -+ ы + 10, т.
е. а -э а — 10; такой интеграл сходится лишь при С = — оо ). Окончательно имеем 1~' б7' = е еэ""е' ) ехр 19г)3я)п(у — т) — тат) Я(р — т) Йт = О ехр ) — хат — 2т)з соя (~р — -1 яш — ) 911~р — т) дт. (53.12) 2/ 21 О В ггределс ВΠ— э О это выражение должно переходить в (29.2). Для выполнения предельного перехода замечаем, что при а » 1 в интеграле существенна область т « 1. Тогда я)п (~р — т) — я)п ~р— — т соя р и интеграл принимает вид 9Г=Фт)) *"'"'"'9 =о(т)~ 91-' юв» О О Взяв интеграл при ш — э ш + 10, получим С999В 9(1су — ы) (53.13) что и требовалось.
') Этот вывод зависит от знака, с которым ю входит а показатель степени. В случае ионов заряд — е заменяется на ве, так что ыв, — г — ыв,. Тогда при ы — > и + 90 было бы о — ~ а+ 90 и для С надо было бы выбрать значение оо. 272 гл г пллзмл и млгнитпом поля Если частота поля совпадает с ларморовой частотой ывл или кратна ей, то говорят о простом или крашном циклотронном резонансе (электронов).
Для исследования диэлектрических свойств плазмы вблизи таких резонансов удобен другой способ решения уравнения (53.11), основанный на разложении искомой функции в ряд Фурье по переменной ~р. Произведя в (53.11) замену о7' = с ьлил ой, (53.14) получим для функции д' уравнение — + гон = е' ""тя(о,,от,~р).
ду Его решение ищем в виде ряда Фурье н = ~~ ем"6,(о„от) (53.15) и для коэффициентов я, находим О. ~(а+ л) 2л я,(о,,оз ) = — ей~""' ")я(о„о г,т) Йт. 2л,/ о (53.16) Разложение (53.15) автоматически обеспечивает периодичность функции о7' по ~р. Отметим прежде всего, что выражение а г' в виде ряда (53.14), (53.15) позволяет сразу сформулировать условия допустимости пренебрежения пространственной дисперсией. Волновой вектор входит в члены ряда через параметры р Йлог мн ы — ~~л — й.о.
О+в =— ыл кз ог « ыв; 1ы — лыв~ >> И~от. (53.17) Первое из неравенств (53.17) и второе с в = 0 совпадают с усло- виями (52.17). Мы видим, что помимо этих условий требуется еще, чтобы частота ы не лежала слишком близко к какому-либо из циклотронных резонансов.
Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется функцией распределения при скоростях о от. Волновой вектор выпадает из этой функции, если МАГНИТОАК'1'ИНПАЯ МАКСВВЛЛОВОКАЯ ПЛАЗМА В окрестности циклотронных резонансов функция распределения может выражаться, при выполнении определенных условий, всего одним членом ряда Фурье. Именно, должно быть Ы~т << п1в.. ~п1 — гкпн~ << шв, 153.18) где п — какое-либо из чисел О, х1, ~2, ...
Легко видеть, что при этом и;й член в разложении 153.15) велик по сравнению с остальными. Действительно, 6»с« ~Ьггт) «-~М вЂ” и В~ между тем как дпя а ~ о будет я«< б1«1так как )аын — п1) > ын). Ограничившись этим одним членом, получим для функции распределения электронов: «1в, ехр ~1 (п«1 — — 'вша)] Ч~ = Ю„ 1~ьгв, — Ол — п«лв )) 2« 1,1п = — 1 ехр ~ — 1 (пт — — эшт)] С,)1п„пт, т) 11т. а 153.19) й 54. Диэлектрическая проницаемость магнитоактивной максвелловской плазмы Электронный вклад в тензор диэлектрической проницаемости вычисляется по функции распределения согласно фортлуле 154.1) йх ив 1 1и аналогично, с заменой е — > — ве — ионный вклад). Для мак- свелловской плазмы интегрирование по 11зр в этом выражении может быть выполнено в явном виде.
') Соотввтству1пп1ие рассуждения изложены более подробно по анвлогичному поводу в 2 Н Зависимость функции распределения от угла 1р этой формулой определяется в явном виде. В частности, при о = 0 и йт — + 0 распределение воооще не зависит от 1р. Происхождение этого свойства очевидно из условия п1 « п1н«1153.18) с о = О): частота ларморова вращения велика по сравнению с частотой изменения поля, что и приводит к «усреднению» функции распределения по углу вращения ). 274 пт!Азь!А В ИАГВВтВОм ИОле гл ч Функция т!1 дается интегралом (53.12), причем согласно определению (53.10) ! Ю=-'",Ь (54.2) Перепишем этот интеграл в более компактном виде, введя вместо векторов 1Е = (й„1е ! ) и Е = (Е„ЕА) векторы К = (Итт,21ств1п-), Е = (Е„Ет), (54.3) гДе 1сз вектоР 1с!, повеРнУтый на Угол т(2 (в п.поскостн! пеР- пенДикУлЯРной ВО), а Е! вектоР ЕА, повеРнУтый на Угол т. Тогда В Г' примет вид т1)' = — / ехр ( ' (птт — Кч)( 1'о(р)(Еч) г1т, т „.1 о где Д(р) максвелловская функция распределения.
Это выражение подставим в (54.1) и заменим переменную интегрирования р = пч согласно тКт ч= ив тПЫВ, Интегрирование по И~и производится элементарно, и в результате находим Р = "' Š—, (ЕК)К ехр — — —, Йт. а (т,1 т1) При этом, согласно определению (54.3): К2 Ат!2 2+4~2 ~, 2 г Расшлсав выражение (54.4) в коалпопентах, найдем компоненты тензора е,„д. При этом условимся о выборе осей координат: ось В по Во, ось х — по 1с ! ! ось у — по [ВВ1ЕА) (рис. 15). После простых вычисленн~л получим т!!, ед — б,~= — '/ этих Вт 'в, о ы Ьто 1 2 2 я 2 2, яг1 х ехр ~тт — — И гн т — 21Е! Ен в1п — ~ Йт, (54.5) ыв, 275 МАГИ ИТОЛК 1 ИНИЛЯ М ЛКСН ИЛЛО НСКЛЯ ПЛАЗМА где х~ = сов т — (1с~ гн„) яп т, 2 2 2 . 4 Т хур —— соэ т + 4(А1 1 и,) всп хт т 1 — (Й~гн ) т 2 2 2 ..
2 т х,р —— — ху~ — — — Яп т + 2(иАгнн) вш т вш 2 = — 11,141 гннт ашт, 2 . 2 т хр = — х р = 2тс клгв твш 2 (54.6) П 1Е„ 1 ру П вЂ” 1су, 1 П сс~у~. + — Е 1 П ГТ1у 1ЕТТ се'„'у е'„, . (54. 9) 1 П Ерг 1ст 1 е П (е д)= — 1еу 1 е,, Хотя мы производили все вычисления для электронной части проницаемости, но вполне аналогичные формулы справедливы и (гнл — 11тн/Саин ларморов радиус электронов).
Отметим, что равенства с = — еу, с =акт, су = — е „ (54.7) заранее очевидны. Действительно, при фиксированной системе координат согласно принципу Онсагера должно быть е д(Во) = = сд ( — Во). При условленном же выше выборе осей, связанных с направлениями Во и 14 с, направления осей У и 2 пРи замене ВО 4 — ВО менЯютсЯ на обратные. Поэтому в таких осях будет к ехр(ВО) — суп( ВО)1 о е„,,(Во) = — е,1( — Во), (54 8) 1 1ННЧ еу,(Во) = е,р( — Во).
к С другой стороны, Во (направ,ление оси 2) --. и псевдовсктор, а 144 и (В01сс] (направления 1зис осей т и у) истинные векторы. Поэтому, в силу требования инвариантности по отношенисо к инверсии кооРдинат, компоненты е, и еу, (содеРжащие индекс н один Раз) должны быть нечетными, а все остальные компоненты четными функциями Во. Отсюда и из (54.8) следует (54.7).
Отметим, что ввиду соотношений (54.7) эрмитовы и антиэрмитовы части Различных компонент е Д = е'„д+1е"р выРажаются по-разному через их вещественную и мнимую части. Именно, разбиение па эрмитову и антиэрмитову части дается следующей суммой: 276 1'Л Ъ' ПЛАВЪ|А В МАГИИ'ГНОМ ПОЛЕ для ионного вклада. Переход к случаю ионов совершается заменой Й„пт, -+ Йи ВГ1, п1В, — ~ — п1И; и одновременной заменой верхнего предела интеграла в (54.ОГ) на — ОО (см.
примеч. на с. 271). Заменив затеъ1 переменную интегрирования т — ~ — т, мы вернемся к прежним выражениям (54.5), (54.6) с Й„пт;, В1в, вместо Й„11т,, В1В1,. и с тем лишь отзплчиеы, что изменится знак и,„и ил,. Таким образом, правило перехода от электронного к йонномву вкладу в проницаемость состоит в замене электронных параметров ионными с одновременным изменением знака компонент Е,.В и ей,.
й 55. Затухание Ландау в магнитоактивной плазме Учет теплового движения частиц плазмы приводит к появлению у тензора е„д антиэрмитовой части. В бесстолкновительной плазме, ввиду отсутствия истинной диссипации энергии, эта часть тензора связана с затуханием Ландау. Мы видели в ~ 30., что механизм затухания Ландау связан с передачей энергии электромагнитного поля частицам, движущимся в фазе с волной: в затухании участвуют частицы, для которых В1 = 'влГ, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
