X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(50.6) и 3 Остальные же компоненты надо считать равными пулю: И'00 = И'оо = 0 (50.7) Действительно, изменение энергии частиц при столкновении (д ) в рассматриваемой системе отсчета есть величина второго порядка по малому углу рассеяния; поэтому И'0" и И'00 оказались бы величинами третьего или четвертого порядка малости, между тем как весь вывод интеграла столкновений производится лишь с точностью до величин второго порядка. Из (50.6), (50.7) имеем Игв —— — И7о — — — 4и(се ) Ттпс Этот 4-скаляр можно записать в инвариантном виде, заметив, что в системе покоя частицы е имеем (ии) = —, [(пи) — Ц ~ е пров (ии) с где и" = р"/(тпс), и'" = р'ь)'(тп'с) — 4-скорости обеих частиц. Поэтому 2 Иь = — 4я(ее.')~т;тпгпьс~ ..
(50 8) с((ии') в — Ц Пв Из (50.6), (50.7) находим также, что И' и1 = И' и1 — — О, Ы А1 (50.9) а ввиду релятивистски инвариантного вида этих равенств они справедливы и в любой системе отсчета. ) Это выражение относится к рассеянию электронов как на электронах, так и на ионах. В первом случае оно получается из 1У, (81.7), а во втором— из сечения рассеяния на неподвижном кулоновском центре 1Ч, (80.7).
(50.5) Такое же вычисление, как при выводе (41.8), приводит к сле- дующему выражению для пространственных компонент тензора 255 1ьб ИРлннвпив для Рилятивис'т'ской плазмы Кинетическое уравнение с кулоновским интегралом столкновений имеет смысл до тех пор, пока резерфордовское рассеяние является главной причиной изменения импульса и энергии электрона. Конкурирук|птим процессом здесь является тормозное излучение 1а при наличии в плазме заметного числа фотонов— также и эффект Комптона). Сечение (транспортное) резерфордовского рассеяния имеет порядок величины строя з2 ( —,) ( — ') А з~ ( — ', ) ( — ) Т. (50.14) Сечение же тормозного испускания фотонов с энергией 6|о 'Те: 150.15) 137 тсэ тисе (с)ь 1У, 193.17)). Эти сечения гравнива|отся при Т, ( 137Ь тс| 4.
1и 137Ь 2' Задачи 1. Найти скорость передачи энергии от электронов с температурой Т, » тс к ионам с температурой Т, « ЛТс2. Р е ш е н и е. Вплоть до (42.3), произведенные в 1 42 вычисления остаются в силе. Величины же В;* берем из (50.4), (50.б), положив е с: В|"| = 4зе 2 —. 4 2~' с В результате находим МЕ, |1Е, 1' Т,~4 4гззе М,М,Ь Ж Ж 1, Т / ЛХс Выразив |п|ергию ультрарелятивистских электронов через их температуру согласно Е, = ЗТ,Х, (см.
задачу в У, 1 44), получим йТ, 4язэе~|4|,Е 44 ЗЛТсТ, 2. Найти электропроводность релятивистской лоренцевой плазмы. Р е ш е н и е. После пренебрежения ее-столкновениями и перехода к пределу ЛХ -4 оо., ход решения в релятивистском случае совпадает с решением нерелятивистской задачи в 1 44. Для поправки к функции распределения в постоянном 0л = О) электрическом поле снова получается т, и,, 1р) (ср.
(44.5)), с той лишь разницей, что частота столкновений опредоляется теперь релятивистским сечением резерфордовского рассеяния: Р Хэ 4язее~Ь и,:,(р) = )4|оп|, о| / — йг = ,/ 2 озр' 256 столкноввния в и ьтамв Гл 1к Вычислив ток как интеграл — е 1'чеу Фр, получим лля злектропроволности ( 'р') 12в еееТ,ь В улырарелятивистском случае в — с, (ре) = 12(Т,/с)т, так что сТ, т= рей' й 51. Флуктуации в плазме Теория флуктуаций в плазме строится в принципе так же, как и в обычном газе Я 19, 20). Разновременные корреляторы, например (6)а(т1;г1 ° Р1)6)Ь(12~ г2~Р2)): (бт(т1~г~)бала(т2~г2 ° Р2)) (у — потенциал электрического поля: индексы а, о отличают сорта еастиц), удовлетворяют при 1 = 11 — 12 ) 0 той же системе уравнений линеаризованных кинетического уравнения и уравнения Пуассона, что и функции распреде.ления Т' и потенциал ~р.
Для решения этой системы необходимо знать, в качестве началыюго условия, соответствующие одновременные коррелягоры. Но в отличие от равновесного газа нейтральных частиц, в плазме имеется одновременная корреляция между положениями различных частиц, связанная с их кулоповским взаимодействием и простирающаяся на большое ( а) расстояние.
В равновесном случае эта корреляция описывается корреляторами плотности, вычисленными в Ъ', 5 79. В неравновесных же случаях определение одновременных корреляторов является трудной задачей. Эту трудность, однако, можно преодолеть в общем виде в случае бесстолкновительной плазмы. Заметим, что именно для бесстолкповительной плазмы задача о флуктуациях в стационарном неравновесном состоянии ставится в особенности естественным образом, поскольку в такой плазме в отсутствие внешнего поля любые функции распределения Т (р), зависящие только от импульсов частиц, являются стационарным решением кинетического уравнения. Коррелятор флуктуаций относительно такого распределения, как и в равновесном случае, будет зависеть от координат двух точек и от двух моментов времени только через разности г = г1 — г2 и 1 = 11 — 12.
Бесстолкновительпость плазмы означает при этом, что рассматривак~тся времена 1, малые по сравнению с 1/и, где и эффективная частота столкновений. Излагаемый ниже метод применим именно в этих условиях; бесстолкновительность используется в нем с самого начала. Он основан на непосредственном усреднении произведений точных 257 1 51 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЬ' флуктуирующих функций распределения 1а(1, г, р) ). Эти функции удовлетворяют уравнениям (51.1) ~Н дг дг дг др где 1р " точный потенциал электрического поля, удов.летворяющий уравнению 119о = — 4я ~~1 е„) ~,Д'р. а (51 2) Уравнения (51.Ц выражают собой аналог теоремы Лиувилля. Подчеркнем, что в этих точных уравнениях еще не пренебрежено столкновениями. Точные функции распределения Я1, г, р) = ~ ~5(г — г,(1)]5(р — р,(1)) (51.3) д7 д7 д1о дУ 77 д61о д51 11 — + и — — еа — —" — — еа дг дг дг дг 11 дг др 7' Ь1Р = — 4я 11 е, ) 7 с1ар.
а (51 1) (51 5) Правая часть в (51.4) есть интеграл столкновений 6). Вычти (51.4), (51.5) из точных уравнений (51.1), (51.2), получим уравнения для флуктуирующих частей функций распреде- ) Этот метод принадлежит Ростокеру (л1. Вов1ойег, 1961) и Ю.Л. Климентовичу и В.П.
Силину (1962). ) Или, что то же, по начальным условиям точной механической зада 1и, отвечающим заданному макроскопическому состоянию. з) Мы еще вернемся к атому выражению в конце параграфа, а пока отметим лишь, что оно соответствует правой части уравнения (16.7) в 1шучас, когда взаимодействие частиц --кулоновское. 9 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х (суммирование по всем частицам сорта а) учитывают движение частиц по траекториям г = г,(1), являющимся точными решениями уравнений движения системы взаимодействующих частиц. Уравнения (51.1) легко проверить прямым дифференцированием выражений (51.3) с учетом уравнений движения частиц в само- согласованном поле. Уравнения (51.1), (51.2) сами по себе довольно бесполезны; пользоваться функциями распределения в виде (51.3) — все равно, что следить за каждой частицей в отдельности. Ещ1и же усреднить их по физически бесконечно малым объемам~), по- лУчатсЯ обычные кинетические УРавнениЯ.
Положив уа = 1а + + Б('„1Р = 1Р+ б9о и усреднив уравнения (не производя при этом никаких пренебрежений!), получим 258 !"ГОЛКНОИБНИЯ В Н !АЗМВ ГЛ !М ления и потенциала. При этом квадратичные по 6!д и 6)' члены в кинетическом уравнении ог!исывают влияние столкновений на флуктуации. Пренебрегая этими членами и рассматривая пространственно-однородный случай, т, е.положив у (51.6) (51.8) (51.11) получим уравнения д6А + дбу дбг ду.
0 д1 дг дг др Ь6!!2 = — 4я ~~1, ек ) Ц, Г1'р. Эти уравнения позволяют выразить функции 6(н(1,г,р) в произвольный момент времени 1 через их значения в некоторый начальный момент Х = 0: тем сал!ым оказывается возможным выразить и коррелятор (61а(11! Г1! Р1)61ь(12! г2! Р2)) (51.9) через его значение при 11 = 12 = О. Это начальное значение коррелятора (обозначим его через 8кь(г! — г2, р1, р2)) есть в значительной степени (см. ниже) произвольная функция. Сразу же подчеркнем, что оно отнюдь не является тем одновременным коррелятором, нахождение которого (вместе с полным разновременным коррелятором) составляет нашу цель. Центральный пункт, обеспечивающий эффективность излагаемого метода, состоит в том, что при произвольном выборе функции 8 вычисленный таким образом коррелятор (51.9) с течением времени (!1, 12 порядка времени затухания Ландау) сведется к функции только от разности 1 = 11 — 12, не зависящей от выбора 8.
Тем самым задача будет решена: эта предельная функция и будет искомым разновременным коррелятором, а его значение при 11 — 12 = 0 одновременным коррелятором. Переходя к проведению указанно18 программы, введем компоненты разложения Фурье по координатам и одностороннего разложения Фурье по времени: 6)4 ) (р) ) Г1зх ~' О е — йк — 1~!67" (1 г р) (51 10) о и аналогично для !!2~, . Умножив уравнения (51,7)! (51.8) на е '(~" ~О и интегрируя по сй от 0 до оо и по !1' х, получим г(1съ — !н)62" ',и — ген1с — '6!р к —— 6~д,(0, р), Р 259 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМВ С подобными уравнениями мы уже неоднократно встречались (ср. (34.10), (34.11)); из них находим 4я.
~ ~ 1 дз' а(О,Р) (з (51 12) Азе~(ш, .к) Х-~ / 1(1су — ш) где е~ — диэлектрическая проницаемость плазмы с распределением 1(р) ). Перемножение таких двух выражений и статистическое усреднение дают 15 (-';15 (Ф) 1 16яе ( оз сзь, / Ича(О,РМЬК (О;Р')),13,13 ~ (51 рй) ~-~ / 1(1су — ш)Г((су' — ад) а,ь Среднее значение в числителе подынтегрального выражения свЯзано с фУРье-компонентой Д,ай(Р1, Рз) вначэльногоа коРРеЛЯтОРа Даз(Г1 — ГВ, Р1, РЗ) фОРМУЛОй (озай(0~ Р)ВЖ (0~ Р )) = (2Я) о(1с+ 1с )Фавн(Р1~рз) (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
