X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ва1езси, 1960; А. ЬепагА, 1960). Полностью сходящееся выражение (46лт) было написано А.А. Рряадзе и В.П. Силиным (196Ц. 231 сходящяася ннтв~ гхл столкновений Поэтому значению,"~ — — х1 отвечает (при условии 146.17)) зна- чение р = р1 (( и, так что на этом расстоянии экранировка несущественна и рассеяние действительно можно считать чисто кулоновским. То же самое относится и ко всей области р < р~ 1т.
е. х > х1). Сечение рассеяния в этой области будет, следова- тельно, резерфордовским, и соответствующий вклад в интеграл столкновений есть В.".1=2 1 УО '-ч)Г( ' — Š— Лен(р)~ — '~е,-. х>х~ Но точно таков же вклад области х > Х~ в интеграл 146.7): в этой области д > дм причем в силу условия 146.8) РВ„„,Х~ ~ее ~ 1 а а йв,,„а а' и потому в 146.7) можно положить |с~2 = 1.
Таким образом, вклад в разнос гь 146.16) возникает только от области,"~ ( Х~ 1р > р1), которую и остается рассмотреть. Во всей этой области передача импульса мала, так что интег- рал столкновений можно разлагать по степеням ц. Входящие в разложенный Я, величины В е вычисляются как интегралы 146.14) с с1 из 146.12). Вклад в эти интегралы от области р > р1 равен (в„,)., =,. г., 1 (ее')' 2~г'-')ъ.
— ч'( Г., = 1'р '"",' 4'7; '"", 1'К, (46.18) ю о о где в качестве пределов в двойных интегралах 1по е12р и е12Й) условно указаны пределы по р и гх Перепяшем величины Р д тождественным образом в виде У )",1 2 )' 72 1е)' 72 7. /,12р ) <Я,. )" 62~ 42 1е + + г,12Р )',12~ )',12~ + ) Фр 1 ... г121е ) ... е12к . 146.19) 232 гл ьч столкновнния впллзмь" Первый член в (46.19), будучи преобразован как при выводе (46.15)., дает в (46.18) вклад «1/л 2(ее')' / к„ке с2 / В4)е)е о Это выражение как раз совпадает с тем, которое получилось бы при разложении интеграла (46.7), взятого по области т ( з(1 ); в интересующую нас разность (46.16) оно, следовательно, не дает вклада.
Для преобразования остальных членов в (46.19) замечаем, что в их подьштегральных выражениях можно положить с= 1; интегралы остаются при этом сходящимися, и их значения определяются областью (с цгф, в которой ко >) 1 и потому. ~е~ 1. Существенно также, что в силу условия (46.8) параметр Ч1р~ 2~«е'~ (46.20) л й|м,,„ поэтому надо сохранить только члены, остающиеся конечными при о1р1 /й — » оо. В этом пределе третий и четвертый члены в (46.19) обращаются в нуль. Таким образом, остается лишь (В.д)'., — (В.д)в = р Ч1Ф ч,(Л (ее ),(2 в, Пср~ к,:а Пср~ ~ (46 21) о о а где индексы «кл» и «Б» указывают, что значения Во(з относятся соответственно к разложениям интегралов Бь л и Бьн.
Каждый из двух интегралов по е(вк направлен вдоль вектора р; после интегрирования по этим направлениям (в плоскости, перпендикулярной ч — ч') получим для разности (46.21) взятое с обратным знаком выражение вида (41.8) с Рь Ч~7Г~ 2:т 2 А = рг(р — соэ ~ре' Р "Рйрс1а о о о ') Резерфордовское сечение рассеяния па малые углы, выраженное через ск имеет вид 4(ее')~ <6тр,-, —— Ы Ч Ч«~ч — ч~ ~з ( 42 использовано,что Ч и» вЂ” ч ~Х, г2о Ч .) рз(ч — ч')з 233 сходящийся интнгглл столкновиний Воспользовавшись известным интегральным представлением функций Бесселя и равенством,уо(х) = — 71(х), переписываем этот интеграл в виде Га(й 12 юо !Л 7 = ( рг1р~ (,71(Ир) д1;~ = ) (,Уо(х) — 1]в — ', о о о х' или, после интегрирования по частям, 7 = 1п о'"' + 2 ),71(х)(7о(х) — Ц 1пхс1х. о Здесь учтено, что параметр р1д1/й (уже не содержащий вспомогательной величины т1) велик; соответственно этому заменен бесконечностью верхний предел в оставшемся интеграле, а в первом члене положено,уо(О1р1/6) О.
С ~о~ощ~ю зла~опий ),71(х) 1пхдх = — С+ 1п2, о )7о(х)7~(х) 1пхдх = -'(1п2 — С) о 2 (где С = 0,577... постоянная Эйлера; у = ес = 1,78... ) и с учетом (46.20) окончательно найдем (46.22) 6(ч — и'~ Подводя итог произведенным вычислениям, приходим к результату, что в квазиклассическом случае лишенный расходимостеи интеграл столкновений может быть представлен в виде (46.23) Я ну= Ив| — ИЛУ, где Ягв дается формулой (46.7), а Ятл -.
интеграл столкновений Ландау с кулоновским логарифмом (46.22). Подчеркнем, что в последнем ~и — и'~ -- точная переменная величина, а пе среднее значение овтн. В силу сделанных при выводе пренебрежений, этот результат справедлив, конечно, лишь с «улучшенной логарифмической точностью»; кинетическое уравнение с интегралом столкновений (46.23) позволяет улучшить точность вычислений лишь в смысле определения точного коэффициента в аргументе болыпого логарифма (с этой точностью, разумеется, из всех ответов выпадает 6, играющее в (46.23) лишь роль вспомогательного параметра).
234 столкноввния вплкзмв гл г~ Задачи 1. В борновском случае с улучшенной логарифмической точностью вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости однозарядной 1х = 1) равновесной 1Т, = Т,) плазмы для частот ы 'д) и„. Р е ш е н и е. При вычислении ео при уоловии ы й и надо учитывать толъко ей-столкновения 1как это было объяснено в связи с выводом 144.8)). Поскольку интеграл столкновений 146.7) отличается от обычного интеграла Больцмана только множителем ~Е~ перед Ппв,м искомое е может вычисляться по той же формуле 144.8): где (...
), или (... ), означают усреднегпп. по равновесному распределения> скоростей электронов ч, или ионов ч,. Отличие от произведенных в 8 44 вычислений будет соссоять лишь в том, что по определяется теперь как п~ = /11 — сов Х) е —, -) пор,ю /г4ч яХ 2 12) 'Х 6. '6) и в необходимости усреднения п~ по скоростям ионов 1которыми в этом месте пренебречть конечно, нельзя); в аргументе оо = с1Ъ'/6 функпии е скорость центра инерции электрона и иона приближенно заопснена скоростью иона.
Рсзерфордовскос сечение записываем в виде 1хеэ) гло 2хв1пХ4Х 8х1яеэ) т' „ Пп ьо— о з 4р~ в1п"1Х/2) р~Оэ где 4 = 2р, ып —, 1 — сов Х = —, О < д < 2р, Х Ч 2' 2рэ' 1р, = пох, — импульс электрона). Функция в1ы, О/6) — 1 определяется формулой 131.11) и складывается из электронной и ионной частей. Поскольку ее аргумент в 12) йоо = цч, « оо,, то электронную часть можно взять при ы = О; тогда е ( — ', -) — 1 = —, ~2+ Р ( и ) ~ (4) 1о,о — проекция ч, на с1, учтено, что при с = 1 а, = а,). Подставив 13) и 14) в 12), после очевидных замен переменных получаем о о~ко г' 4 Се-Со 484~ Оп)*— У У„.. о 1Р = Р' -Г 1Ро). Интегрирование по вС' выполняется элементарно, а при подстановке пределов надо учесть, что 6~Др~и~) << 1, и отбросить все чле- ны 6о/1р~а~) и выше.
В результате получается 15) где Л= — у1 е ~ )агсс8 — — ~ — — 1пО2+Р) -гР ]148 о оо т/х./ 1, Р" 1 Р" 2~ 2 о гл ш столкноввния в плазме Коэффициент В, как и в (21.11), выражается через средний квадрат изменения импульса электрона при стодкновонии с ионом: В = 2. ' = -Хе,1!0чр,)э),4 .
)э (10) 2й 2 Величину же г5р, находим из равенства (46.5): зГЧ кЧ оээ" е, о, ю,, Подставляя в (10), а затем в (9) и используя связь о с углом рассеяния Х из задюги 1, получаем — = — — Хп1 (о,(о, а~),), (Л, — Х, = !У). АЕ, 5Т э з э (11) А! Тэ Формула (11) вполне аналогична формуле (1) задачи 1, и дальнейшие вычисления поэтому- практически те же самые. В борновском случае имеем 4яг. Т ~ 2таэаг 1 гп Мо й где А1 — интеграл, отличающийся от А задачи 1 дополнительным множителем 26э под знаком интеграла (численный расчет дает А1 = — 0,52). Усреднение по скоростям электронов производится,как в задаче 1.
Окончательно — бьбТ, Ев = 1п(бв(тТ)Н а,)Б), !12) 34 ДХТэт где 3 С 1пДв = — 1и 2 — — +.41 = 1п1, 26. 2 2 Аналогично в квэзиклассическом случае получаем формулу вида (12), но с заменой Ьв на Ь„„= 1п(Та,!3 !е ), !пб „= 21п2 — 2С 4-А~ = !п0,75. (13) Формулы (12), (13) уточняют результаты 3 42, определяя (для глучая малой разности температур) численный множитель под знаком логарифма в (42.6). 3 47. Взаимодействие через плазменные волны В некоторых случаях учет динамического экрацирования кулоновского взаимодействия частиц в плазме приводит не только к уточнению аргумента кулоновского логарифма, но и к качественно новым эффектам.
Для их изучения представим интеграл столкновений в виде, точно учитывающем вклад от рассеяния на малые углы и лишь с логарифмической точностью — вклад от рассеяния на болыпие углы. В квазиклассическом случае большие углы рассеяния (А 1) происходят от малых прицельных расстояний; )ее ( Р !и 237 1 47 взаимодкгас твик чкекз пллзмкннык волны Искомый интеграл столкновений имеет вид интеграла Ландау с величинами Вод из (46.15): В 2( ')а ~ ьй ыаь (47.1) - =.—. '"И-.И где интегрирование производится по области до дв„„ ~стах (47.
2) В обратном, борновском случае искомая форма интеграла столкновений получается путем разложения подынтегрального выражения в (46.7) по степеням с1. В результате снова приходим к интегралу Ландау с величинами В л, даюгцимися той же формулой (47.1) с тем лишь отличием, что теперь (47.3) й (значение 74 = д,76 при передаче импульса у рио,в). Напомним снова,. что физический смысл обрезания на болыпих значениях й один и тот же в классическом и борновском случаях обрезание производится на углах рассеяния т 1; разная связь между Й и 7~ в этих случаях приводит, однако, к разным выражениям Д 4Я ааааа. Интеграл столкновений Ландау с величинами Во,7 из (47.1) называют интегралом Балеску.
Ле74ирди )1. Перепишем (47.1) в 14 более удобном для последующего виде: В д = 2(ее )Я д(а7 — кч~р(оэ — 1сти) ~ ~, (47.4) ка ~е(а7, Й) ~' — оо ь<ь„,„„ где теперь интегрирование производится по трехмерным (вместо двумерных) вскторам 1с. Дне д-функции и подынтегральном вы/ ражении обеспечивают равенство илт= 1си, т. е. попере шость 1с по отношению к и — ъ'. Интегрирование же по Й.7 заменяет ар. гумент а7 в е(а7, 1:) требуемым значением а7 = 1си = Ы~( = 1сЪ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
