X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Разлагая написапну!о разность по степеням с1, получим, с точностью до членов первого порядка, -'""~'( ')+~(Р)" (Р) ' ~РУ д41'4 После этого можно урке, с той же точностью, заменить в подын- тегральных выражениях (Р+ —:Р— 'Ч) = ~(Р Р 'Ч). Интегрирование же по а!р, которое производится по малому ин- тервалу между р„— ц„и р„, можно заменить просто умножением на величину этого интервала д„.
В результате получим (41. 2) .„= У' ( (1 1р! Р1 !" - !(р! Р!!" ) Вр !Ар', ~ив (41. 3) где Вив = — ( !1„!р~» — » ~ !4!г. 1 1 2 (41.4) Остается вычислить величины В,„д для столкновений частиц, взаимодействующих по закону Кулона. При отклонении на малый угол изменение Ч импульса сталкивающихся частиц перпендикулярно их относительной скорости» вЂ” »'. Поэтому и тензор В в поперечен по отношению к вектору» — »: В в(ев — е~~) = О. (41. 5) В силу (41.1), И1(р, р', с1) "- четная функция с1, поэтому четно и все подынтегральное выражение в (41.2).
Это позволяет заменить интеграл по полупространству д ) 0 половиной интеграла по всему с1-пространству. Переписывая вырагкение (41.2), введем также в него вместо функции и! сечение столкновений согласно шд 9 = ~» — »'~ дсг. Как уже было об ьяснено в связи с записью интеграла столкновений в виде (3.9), после этого можно считать, что число независимых интегрирований уже уменьшено учетом закона сохранения энергии. Таким образом, плотность потока импульса в импульсном пространстве для частиц каждого рода принимает вид 210 гл гч столкновения впллзмв Сразу же отметим, что тем самым автоматически обеспечивается обращение потоков (41.3) в нуль для равновесного распределения всех частиц.
С максвелловскими распределениями 7 и 7' (с одинаковой температурой 7') подынтегральное выражение в (41.3) становится равным — (его — од)В д = О. О' т Вектор ч — ч' есть в то же время единственный вектор, от которого может зависеть тензор Вод. Поперечный по отношению к гг — ч такой тензор должен иметь вид 1 ~ (е — е„)(ев — ее) где скаляр В = В..
= ' 1 Ч2 к — ч'~ д . 2 Пусть )е угол отклонения относительной скорости (угол отклонения в системе центра инерции двух частиц). При малых значениях этого угла величина изменения импульса е) — р,~ч— — ч~~,"~, где )г приведенная масса частиц. Поэтому В =-)е ~,ч — ч'), 7' гздее = ~Р~ч — ч'~~ом 2 где о.е — — /(1 — сов)г) еЬ = — ~ )~2 йг 2 2' транспортное сечение. Дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в кулоновском поле дается формулой Резерфорда 4(ее')г до 8л(ее')г ~~; (41.6) лгЕч — ч'~гХ4 Лг(ч — ч')г чг (е, е' заряды сталкивающихся частиц).
Отсюда транспортное ссчепио 4ге(ее')г 7 ь / 4Х (41.7) г(ч ч~)4 ' / Для величин же В„д имеем, следовательно, 2~(ее') г ) (~ — ~',„(~е) — ~е) (41 3) оп, «г,9 (ч — ч'( ~ (ч — ч') г Интеграл А логарифмически расходится. Расходимость на нижнем пределе связана с физической причиной --. медленно- стью убывания кулоновских сил, приводящей к большой веро- ятности рассеяния на малые углы. В действительности, однако, 211 1 41 интьгРАЛ столкновений ллпдау в электрически нейтральной плазме кулоновское поле частицы на достаточно больших расстояниях экранируется другими зарядами; обозначим через Х,„;„порядок величины минимальных углов, на которых рассеяние еще можно считать кулоновским. Расходимость же на верхнем пределе связана просто с тем, что все формулы были написаны в предположении малости углов и теряют свою применимость при Х 1.
Имея в виду слабую чувствительность логарифма большого аргумента по отношению к небольшим изменениям последнего, можно выбрать пределы интегрирования по оценкам их порядков величины! т. е. написать Т' = 1п(1/Хсвсв) ° (41. 9) Эту величину называют кулоновским логарифмом. Сразу под- черкнем, что такой способ его определения ограничивает все рас- смотрение, как говорят, логарифмической точноспгью: пренебре- гается величинами, малыми по сравнению не только с большой ВЕЛИЧИНОЙ 1/Хи!!в, НО И С Ес ЛОГаРИфМОМ. Фактическая оценка Х„„„зависит от того, должно ли рассея- ние частиц описываться классически или квантовомеханически (само же по себе выражение (41.8) справедливо в обоих случаях, поскольку чисто кулоновское рассеяние описывается формулой Резерфорда как в классической, так и в квантовой механике!)).
Экранировка кулоновского поля частицы в плазме происхо- дит на расстояниях порядка величины дебаевского радиуса а. В классическом случае Х Рп определяется как угол рассеяния при пролете на прицельном расстоянии а. Соответствующее изме- нение иьшульса: С1 — (произведение силы —, на время !ее! ! (ее') ае„„ ае ! 2! пролета — ) ). Разделив его на импульс 44й.„„, получим !!,! .
Условие классичности рассеяния дается перавен!ее ! арн~„„ ством — )) 1 (см. П1, 6 127). Таким образом, имеем !ее ) йе„, Т =1п "" ири ' ~ >>1. )ее') Ье (41.10) В квантовом случае при рассеянии одинаковых частиц (электронов) должен учитываться обменный эффект. Этот эффект, однако, не меняет предельного вида сечения на малых углах (41.6). ~) Здесь и везде в аналогичных местах ниже е„„- среднее значение относительной скорости двух частиц, ~» — »'~. Если частицы одного рода, то и „ совпадает со средним значением е.
Если частицы различного рода, то е совпадает с бблыпим из В и с'. 212 С"ГОЛКНОВВПКЯ В ПЛАЭМЯ ГЛ !" В обратном предельном случае, когда « 1, рассея- ~ее ~ ьв,„„ ние должно рассматриваться квантовомеханически, в борновском приближении. Сечение рассеяния в этом случае выражается через фурье-компоненту. рассеивающего потенциала с волновым вектором с1/6. Вклад в гггу компоненту, происходящий от экранирующего «облакаа зарядов (с размерами а)! становится малым при с!асс6 > 1; именно это есть в данном сп!учае условие чистой кулоновости рассеяния.
Поэтому угол с„,с„находится из условия а Ваа РПХа„„а 6 6 Таким образом, в этом случае Т = 1п~ "' при ~ ~ ((1. (41.11) 6 !сеа При ~ее'~ 6п,а оба выражения (41.10) и (41.11), естественно, совпадают. Выпишем теперь окончательное выражение для плотностей гютоков в импульсном пространстве, подставив (41.8) в (41.3); дре дрв / х ' р.
(х ) д е (~ ~ )(~е ~е) ~з 1 (41 12) )а — м!~' Соответству!ощ!ле кинетические уравнения: — + р — + е ( Е + -(рВ)) — = — с11тр я дУ дУ Г 1 ~ ДУ (41.13) дс д е др (е — — заряд частиц, к которым относится функция 1, т. е. для электронов надо писать — е, а для ионов ве). Интеграл столкновений в логарифмичсском приближении для газа с кулоновским взаимодействием между частицами был установлен Л.Д. Ландау (193б).
Применимость интеграла столкновений Ландау связана с выполнением определенных условий. Характерные длины 1ссй, на которых существенно меняется функция распределения, должны быть велики по сравнению с радиусом экранирования а, а характерные интервалы времени 1ссса велики по сравнению с аСРааа; В ЛОГаРИфМИЧЕСКОМ ПРИбЛИжЕНИИ, ОДНаКО, фаКЧИЧЕСКИ достаточно потребовать выполнения этих условий в слабой форме Йа<1, се< (11 14) а со знаком < вместо «. Дебаевский радиус а играет здесь ту же роль, которую для нейтральных газов играл радиус действия молекулярных сил. 213 Ь 42 ПВРЕДАЧА ЭНЕРГИИ Задача В й' 34 показано, что после того, как возмущения электронной плотности с волновым вектором й затухнут из-за затухания Ландау, возмущения функции распределения продолжают осциллировать по закону е ™"' 134.16).
Найти закон затухания этих осцилляций из-за кулоновских столкновений при временах 1 » 1Дйн). Р е ш е н и е. Ищем функцию распределения в виде а11А и) = ао1ч) ехр ( — -й йяЬ з1 ~, 3 12) поэтому время затухания колебаний — лзз~йи) — 41з Поскольку вся теория затухания Ландау имеет смысл лишь при условии йе » р, то г,„,, « 1/и. Результат 12) справедлив лишь при условии малости показателя в 12) по сравнению с показателем йрз в П); для этого должно быть 1 « Лайн) Пз. За это время осцилляции затухнут в охр ( — Ь4в7и) раз. 3 42. Передача энергии между электронами и ионами Большая разница между массами электронов т и ионов ЛХ затрудняет обмен энергией между ними: при столкновении тяжелой и легкой частиц энергия каждой из них почти не меняется.
Поэтому установление равновесия между электронами самиьпг по себе и ионами самими по себе происходит значительно быстрее, чем между электронами и ионами. В результате легко возникает ситуация, в которой электронная и ионная компоненты плазмы имеют каждая свое максвелловское распределение с различными температурами Т, и Т; (обычно Т, превосходит Т1). у = уе 4- бу", бу = а1й ч)е (1) где бу возмущение равновесного распределения уе; а медленно меняющаяся функция скОрости (испытывает заметное изменениЕ лишь на ин1л тервалах е » — ). При подстановке 11) в 141.12) в подынтегральном йе выражении надо сохранить лишь член — уе1р') = — Мбу1р) уе1р'); , дбДлр) л др т остальные члены дают лгазэылл вклад либо ввиду пора~гленна интеграла, благодаря наличию быстро осциллирующего множителя ехр à — Ьйчй), либо ввиду отсутствия в них множителя йз » 1/Р. По последней причине надо и при вычислении Г1гер в дифференцировать только экспонеициальный множитель.
В результате кинетическое уравнение дает да — =-й йяЬлза, дС причем по порядку величины коэффициенты Ь„я И~и 1Р --. частота столкновений). Отсюда 214 С'ГОЛКВОВВВИЯ В ПЛАЗМЯ ГЛ !" !Г! ед (! р = — б .дХез = д вХ вЂ”. и я — т 3 ЛХ Таким образом, !Р !Г (~ !)| (42.3) Наконеп! подставив сюда согласно (41.8) В = 4!Ге4взВ|е' (ве— заряд ионов) и заметив, что для максвелловского распределения Разность температур электронов и ионов приводит к переда- че энергии между обеими компонентами плазмы; определим эту передачу (Д.Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
