X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Забегая вперед и воспользовавшись результатами задачи к 8 41, можно сформулировать это условие в виде (35. 22) п(г)т)(йпт) й « 1, где п(ет) - средняя частота кулоновских столкновений электрона. ') Подразумевается что все волновые векторы Й «1«а,. Тогда Т(Й) экспонендиально мало и уеывает с возрастанием Й. Поскольку Йз < Йю то полюс при е! (Йев, Й2) = О в этих условиях заведомо лежит дальше от вепгественпой оси е, чем полюс при е!(Йзе, Йз) = О.
182 ввсстолкновиткльнля нлкзмл гл н1 й 36. Адиабатический захват электронов Рассмотрим вопрос о распределении электронов плазмы в медленно включаемом потенциальном электрическом поле. Пусть Т порядок величины протяженности поля, а т — характерное время его изменения. Будем считать, что т» Ь/не. (36.1) В то же время будем предполагать т малым по сравнению со временем свободного пробега электронов, так что речь идет по- прежнему о бесстолкновительной плазме. В силу условия (36.1) поле можно считать стационарным в течение времени его пролета электроном.
С этой же точностью будет стационарной также и функция распределения электронов в поле. Как было указано в конце 2 27, решение бесстолкновительного кинетического уравнения зависит только от интегралов движения частицы, :для стационарного распределения это могут быть только те интегралы, которые не зависят явно от времени. Мы ограничимся одномерным случаем, когда потенциал поля сз зависит только от одной координаты х.
Так как движение вдоль осей у и х при этом несущественно, речь будет идти о функции распределения 1 только по импульсу р . (и по координате х). В одномерном случае уравнение движения имеет два интеграла, из которых не зависит явно от времени (в стационарном поле) всего один — - энергия электрона е = р" + сг(х), 2га, (36.2) где 11(х) = — е~р(х) ). Поэтому стационарная функция распределения будет зависеть от рх и х только в комбинации (36.2): 1 = Дс(х,р )). (36.3) Вид же функции у (е) должен определяться граничными условиПусть поле сГ(х) имеет вид потенциального барьера (рис. 11 а).
В этом случае функция 2" (с) определяется видом распределения электронов, приходящих к барьеру из бесконечности. Так, если по обе стороны вдали от барьера электроны имеют равновесное (однородное по пространству) распределение с температурой Т„то и во всем пространстве будет иметь место больцмановское ) Вторым интегралом движения может являться, например, начальное (в некоторый заданный момеят времени) значение координаты частицы хе, выраженное в функпии от времени и текущей координаты вдоль траектории хе(~, х).
183 ЛДИЛБЛТИ'1ИОКИЙ ЗЛХВЛТ ЭЛЕКТРОИОВ распределение: (36А) Плотность же электронного газа будет распределена везде по формуле Л1«( ) = ж~е ~и)7~', (36.5) где 111о - плотность вдали от барьера. Пусть теперь поле имеет вид потенциальной ямы (рис. 11 б). В этом случае распределение электронов с положительной энергией е снова опреде.лится распределением частиц, приходящих из бесконечности: при равновсса ном распределении па бесконечности распределение элоктропов с е > О будет больцмановским во всем пространстве. Но помимо ча- И стиц с е > О, в этом случае существуют также и частицы с энергией е < О; эти частицы совершают финитное движение внутри потенциальной ямы —.
опи «захвачены». На бесконечности частиц и1 ив с е < О нет; поэтому изложенные выше соображения, в которых энергия рассматривалась как Рис. 11 строго сохраняющаяся величина, недостаточны для нахождения распределения захваченных частиц. Необходимо учесть также и изменение энергии в не строго стационарном поле, в резульгате чего это распределение оказывается, вообще говоря, зависящим от предыстории —. от хода включения поля (А.В. Гуревич, 1967). В силу условия (36.1) поле мало меняется за время периода фипитного движения захваченных частиц. 1хак известно,.
в таком случае сохраняется так называемый адиабатический иивариаип1 . Интеграл 1(1, е) = — 2 3 (2т(е — Гг(1,х)))'~2 дх, (36.6) 2х взятый между двумя границами движения (нри заданных е и 1). Эта величина и будет играть теперь роль интеграла движения, через который должна выражаться функция распределения захваченных частиц; (36.7) 1аахв = 1захв(Г(1~ в)) (причем энергия е в свою очередь предполагается выраженной здесь через х и рт согласно (36.2)).
Вид же функции (36.7) опре- 184 ГЛ 1П ВессстолкпопительпАЕ пллзмл деляется тем, что при медленном включении поля функция распределения будет негсрерывной функцией е. Поэтому при граничном значении энергии захваченных частиц функция (,„,(1) должна совпадать с функцией распределения частиц, совершающих над ямой инфинитное движение. Случай потенциальной ямы вида рис. 10 б, однако, в особенности прост в виду того, что граничная энергия остается (при постепенном включении поля) постоянной, равной нулю. Тогда из указанного граничного условия следует, что Де,„с1водится просто к постоянной; /„, = 1'(О), (36.8) где 1(е) -- функция распределения частиц над ямой. Найдем пространственное распроделение электронов в этом случае, если 1(е) больцмановская функция (36.4).
Суммируя числа электронов с е ) 0 и с е < О, имеем СО Р1 Х„, = 2 / /(е) с1р,, + 2 / 1(0) с1ре, рс = (2т~Г~)112 (множители 2 учитывают частицы с р . ) 0 и р < 0). Подставив сюда 1(е) из (36.4), получим Л',(1,х) = Лса ей п~' 1 — Ф вЂ” + 2, (36.9) 2 Ф(с) = — /е " Йи. Ъ~Л а При с « 1, разложив подынтегральное выражение в (36.10) по степеням и, имеем По~тому распределение электронов, захваченных в неглубокой яме (~Г~ << Т,), дается формулой (36.11) Первый поправочный член совпадает с тем, что получилось бы из формулы Больцмана (36.5).
Но уже следующая поправка отличается от больцмановской. При С )) 1 разность 1 — Ф(С) экспонепциально мала ( ехр( — С2)). Поэтому в случае глубокой ямы (~Г~ >> Те) в 185 квлзинвЙзтАльнля нлАзмл (36.9) существен лишь второй член в фигурных скобках, .так что (36.12) С увеличением ~Г~ плотность возрастает гораздо медленнее, чем это следовало бы по формуле Больцмана. 8 37.
Квазинейтральная плазма — ' « 1. (37.1) 7, Скорость же процесса предполагается определяющейся движе- нием ионов, так что характерный масштаб скорости дается вели- чиной сто малой по сравнению со скоростями электронов. Дви- жение ионов приводит к медленному изменению электрического потенциала, за которым адиабатически следует распределение электронов.
Пусть бЖ, и дХ; -. изменения плотностей электронов и ионов в возмущенной плазме. Эти изменения создают в плазме сред- шою плотность некомпенсированного заряда: бр = е(где; — дЯ,). Потенциал создаваемого этими зарядами электрического поля определяется уравнением Пуассона 2А1р = — 4яе(яда, — д1У,). По порядку величины Ьюз р(1.~. Поэтому Л61'11 — Р1"11,, 1 (37. 3) РХ, 411вй' дХ, (37.2) Если поле слабо (е1р « Т,), то изменение электронной плотности е~зЛ', 1, (ср. (36.11)) и тогда — ', «1.
(37.4) Это неравенство остается справедливым и в случае сильного возмущения, когда еюз Т,; при этом бХР 1У, и из (37.3) снова следует (37.4). Уравнения динамики плазмы допускают далеко идущее упрощение для категории явлений, в которых характерные масштабы длин и времени удовлетворяют следующим условиям.
Характерный размер неоднородностей в плазме Т предполагается большим по сравнению с электронным дебаевским радиусом: 186 ГЛ. П! Бесстолкновительная плАзмА Таким образом, возникающая при возмущении некомпенсированная плотность зарядов оказывается малой по сравнению с возмущениями плотностей зарядов электронов и ионов в отдельности; в таких случаях говорят о кеазинейтральной плазме. Это свойство позволяет при изучении рассматриваемого круга явлений определять распределение потенциала в плазме, просто исходя из «уравнения квазинейтральности» (37.5) совместно с кинетическим уравнением для ионов и с уравнением, выражающим «адиабатическос» распределение электронов ! ).
Разумеется, в начальный момент времени — если рассматривается задача с начальными условиями — плотности электронов могут быть заданы произвольно и не обязательно удовлетворяют неравенству (37.4). Возникающее при этом большое электрическос поле приведет, однако, к движению электронов, которое быстро, за характерные «электронные» времена, восстановит квазинейтральность (в диффузионном случае этот процесс прослежен в 8 25). Переход от электродинамического уравнения (37.2) к условию (37.5) означает нс только существенное упрощение системы уравнений динамики плазмы, но и принципиальное изменение их размерностной структуры. Действительно, потенциал !р входит в кинетическое уравнение и в распределение электронов только в произведении с зарядом е, а в условие (37.5) (в противоположность уравнению (37.2)) заряд вообще не входит.
Поэтому е!р — » ф (37.6) заряд е вообще устраняется из уравнений, а вместе с пим исчезает также и параметр размерности длины — дебаевский радиус а,. Отсутствие в уравнениях параметра длины делает возможными автомодельные движения плазмы. Такие решения появляются в тех случаях, когда параметры размерности длины отсутствуют также и в начальных или граничных условиях задачи; тогда все функции могут зависеть от координат и времени только в комбинации гг!1.
Пусть, например, плазма первоначально занимает полупространство х ( О. В момент времени ~ = 0 «убирается заслонка» и плазма начинает расширяться в пустоту. Сначала начинают двигаться электроны, так что электронная ') Подчеркнем, что этог результат сам по себе относится как к бесстолкновительной плазме, так и к плазме со столкновениями. Заметим также, что, поскольку вывод неравенства (37.4) не связан с предположением о слабости поля, свойство квазинейтральности имеет место и в тех случаях, когда электромагнитные свойства плазмы не могут быть описаны с помощью диэлектрической проницаемости (т.
е. в предположении линейной связи между 1» и Е). 187 ГидРодинАмикА двухтемпеРАтуРИОЙ плАЗмъ| 5 88 плотность образует вблизи границы переходный слой с характерной 1пириной а,. За время 11 » а,(ет, электронное движение затухает и далее электронная плотность следует адиабатически за потенциалом согласно формуле Больцмана. Теперь изменение всех величин определяется движением ионов.
Благодаря этому за время 12» а,/пт, » а,(ит, граница размывается на расстояниях, болыпих по сравнению с а,. К этому времени плазма становится квазинейтральной, а движение автомодельным. Напи1пем уравнения динамики квазинейтральной плазмы в раскрытом виде, предположив для определенности, что распределение электронной плотности везде больцмановское: Д'. = ~Усе~~~', (37.7) как было показано в 8 36, это распределение не нарушается медленно меняющимся полем, если поле не содержит потенциальных ям. Формула (37.7) совместно с условием (37.5) позволяет прямо выразить потенциал через функцию распределения ионов: ф = Т,1п * = Т,1п ~ — / Д11~р . (37.8) 1чо алло у Подставив же это выражение в кинетическое уравнение для ионов (с самосогласованным полем Е = — ~уу), получим — ' + х1 — ' — ИТ,— ' — 1п / Л Н~р = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
