X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Они имеют по существу кинематическое происхождение, не связанное с существованием в плазме самосогласованного электрического поля. Мы проиллюстрируем его сначала на примере газа из незаряженных частиц без столкновений. Пусть в назальный момент времени в газе задано возмущение, в котором функция распределения, оставаясь по скоростям максвелловской в каждой точке пространства, меняется вдоль оси щ по периодическому закону д/' = Аз соя йзщ уо(р) при 1 = 0 (35.1) (в этом параграфе р = тип будет обозначать т-компоненту импульса; функция распределения предполагается уже проиптегрнрованной по ря и р,). По такому же закону меняется вдоль оси т (в тот жс момент 1 = 0) и возмущение плотности газа, т, е.
иятеграл )' бу . з4р. В последующие моменты времеяи возмущение ') Забегая вперед, сразу же отметим, однако, что осциллирующий характер функции распределения при больших Г приводит к сильному возрастанию эффективного чиаза кулоновских столкновений и тем самым ускоряет наступающее в конечном счете затухание возмущения (сяз. задачу к З 41). цплляций по скорости 1ЧИ)). Поэтому возмущение плотности (т. е.
интеграл ) ~и Й р) затухает, как и потенциал езь ). Эволюция функции распределения согласно (34.16) относится ко времени, когда поле можно считать затухшим; формула (34.16) соответстгует просто свободному разлету частиц .— каждая со своей постоянной скоростью. Действительно, функция вида 177 пг!лзллелнов эхо функции распределения будет меняться по закону б1 = А1 соя[Й1 (х — о1)]Ь(р), (35 2) бу )'б1 ггрсгэ ехр ( Йзот21') 2 (35.3) (оценка интеграла производится методом перевала). 1 Пусть теперь в некоторый момент времени 1 = т » Йгот функция распределения снова промодулирована с амплитудой А2 и некоторым новым волновым вектором Й2 > Й1.
Возникшее 1 возмущение плотности снова затухнет (за время ~, но в Йгот / момент (35.4) Йг — Й, возникнет вновь. Действительно, вторая модуляция приводит к появлению в функции распределения (в момент 1 = т) члена второго порядка вида б~42) = А1А2 соя(Й1х — Й1от) соя Йях 7е(р). (35.5) Дальнейшая эволюция этого возмущения при 1 > т превращает его в б~~~) = А, Ат)е(р) соя [[Й1 х — Йч о1] соя [Й2х — Йяо(1 — т)] = 1 = -А1 Аг(о(р)(соя [(Й2 — Й1)х — (Йя — Й1)И + Йяот] + 2 + соя [(Й2 + Й1)х — (Й2 + Й1)о1 + Й2ог ]). Теперь видно, что в момент 1 = т' осциллирующая зависимость от о в первом члене исчезает, так что этот член даст конечный вклад в возмущение плотности газа с волновым вектором Йя — Й1. Возникшее таким образом эхо затухнет затем в течение времени 1 , причем последняя стадия этого затухания происхоит(Йг — Йг ) дит по закону, аналогичному (35.3).
отвечающему свободному перемещению каждой частицы вдоль оси х со своей скоростью о. Возмущение плотности, однако, за- 1 тухнет (за время ] ввиду погашения интеграла ]'б)'гор за отьг l счет осциллирующего по скоростям множителя соя[Й1(х — о1)] в подынтегральном выражении. Асиыптотичсский закон этого за- 1 тухания при временах 1 » — дается выражением Йгот 178 ГЛ П1 ЯЕССТОЛКНОПИТЕЛЬПАЯ ПЛАЗМА Перейдем к исследованию этого явления в электронной плазме (т1. И'. СППЫ, Т.М.
07«е11, ХН. МП1тбег8, 1967). Его механизм остается прежним, по конкретный закон затухания меняется изза влияния самосогласованного поля. Будем считать, что возмущения создаются импульсами некоторого внепшего (создаваемого «сторонними» зарядами) потенциала у("), прилагаемыми к плазме в моменты 1 = О и 1 = т: ~р(«т) = ~р1б(1) сов й1т + ~рзб(1 — т) сов аозт„(35.6) 1 1 при этом предполагается, что Й2 > Й1, а т » , .(где Ь~ит' т(Й1) у(А) декремент затухания Ландау). Возмущение функции распределения (1 = Д+б1) удовлетворяет бесстолкновительному кияетическому уравнению, которое с учетом члена второго порядка имеет вид дбу дб1 д'р 4о др дбУ д1 дх дх др дх др При этом потенциал ~р возникающего в плазме поля (включающий в себя также и «стороннюю» часть ~р(")) удовлетворяет уравнению Ь(~р — ~р(")) = 4яе ) бу" «(р.
(35.8) Будем искать решение этих уравнений в виде интегралов Фурье: х цй'х — хн) д«~' д1' ме (2л)« 1(Ь" х — х" й п~ ' ф = ф,лвлс ч (2Л)« Подставив эти выражения, умножив затем уравнение на Е '(Ьх ~1) И ИНтЕГрИруя ИХ ПО ИХ Ж, ПОЛУЧИМ (1«н — ы)(' ь+ еЬр ь — = дУо = — е (й — й')д„ь ь ~ ", (35.9) др (2К) ~ — ~и«р„ь = 4ле ~„ь др — И~~р~,,', (35.10) где ~р „'= лу1 (б(й + й~) + б(й — Й1)) + л~р2(б(й + Й2) + б(й — )«2))е'"'. 179 пллзмвп~Ов эхо (йе — оз)у, + еЬр (2) (2) дало 91 ь ме мь (35.12) (35.13) где 1 ь = — е (й — й )~р„м, ь,~~,ь, (35.14) 00 00 А/сй' Интересующий нас эффект эхо с волновым вектором йя — йс будет заключен в членах в правой части (35.12), содержащих д(йш (йз — й1)). Соберем такие члены в выражении 1 ь.
К моменту времени 1 = т возмущение ьз ), происходящее от прило- 00 женного при 1 = 0 импульса ~р1, уже затухнет. Поэтому заранее очевидно, что при подстановке (35.11) в (35.14) надо учесть в ~р„,„лишь член с ря; интересующие нас члены вида (1) , Т„,ь = У,„(й1, йз)5(й — йз+ й1) + 1„( — й1, — йз)д(й+ йз — й1) (35.15) получатся при этом от членов в 1, ь, содержащих ~р1.
После вы- Ю полнения интегрирования по г1й' в (35.14) получим в результате ') 1 2 иуо / 1 (й~, й~) = — е со~~ряй~й~ — / 4 4Р 9 (й~г З- ш')ш(~', Ьч)еЯш — ш', йз) ' 135.16) причем, как всегда, переменную интегрирования оу надо понимать как ш'+ 10. ) При вычислении следует иметь в виду, что к~ зависит лишь от ~Ц и потому в обозначениях етого параграфа (где й = й,) имеем с~ба, — й) = = е~цо,)с). В линейном приближении (т, е, при пренебрежении правой частью в (35.9)) решение этих уравнений есть (35 11) 4р йг — ш мв ~Ь е~(ш,й) где е~ диэлектрическая проницаемость (29.10). Этому решению отвечают возмущения, затухающие от моментов времени 1 = 0 и 1 = т соответственно с декрементами у(йг) и у(йя).
Во втором приближении надо подставить (35.11) в правую часть уравнения (35.9) н для членов второго порядка в возмущениях функции распределения и потенциала получаются уравнен ггя 180 Гл зл ввсстолкновитвльлля лллзмл 1, ) 2зллта рззаз злзел- "' (35 17) 2 ар е~( — 1ла, й~)е~(м+ Рмл Йз) Возвращаясь к уравнениям (35.12), (35.13) и подставив /' гв) из первого уравнения во второе, находим (2) 4ла а11„» Йр 'з. е~(аз, Й) ар Йа — м — 10 (35.18) При вычислении производной д1„»/«1р надо дифференцировать только экспоненциальный множитель в (35.17), поскольку К1итт » 1.
Собирая теперь полученные выражения (35.15)- (35.18) и совершая обратное преобразование Фурье, получим интересующий нас потенциал эха с волновым вектором Йз = Йя — Й1 в виде азйй)(1, я) = 11е (Аяезьзз) (35.19) Амплитуду А(1) выпишем сразу в аснмптотическом пределе при 1 — т — » ос.
В этом пределе интеграл по аз определяется выче- том подыптегрального выражения только в полюсе аз = )азе — з0. Окончательно находим ц(1) 3 а1ВЗ / ЛУа «ХР ( — За'аа(1 — т')) ар А 1 = — зле аа1 рвт— 1ззз / лр з~(аза,лз)з~( (35 20) где т = )азт(Из. Это выражение " амплитуда эха "- максимально при 1 = т, причем максимальное значение пропорционально т, т. е. промежутку времени между двумя импульсами. По обе стороны от максимума амплитуда А(1) убывает, но по различным законам. Лсимптотически нри 1 — т' — » ос интеграл (35.20) определяется Интеграл (35.16) можно вычислить с учетом того, что т пред- 1 11 гюлагается большим (т », — ). Для этого смещаем в нижрат' т шою полуплоскость комплексной переменной ьз' контур интегрирования, «зацепляющийся» при этом за полюсы подынтегрального выражения.
Эти полюсы расположены в нулях функций ез и в точке аз~ = — ь1р — з0. Первые из них имеют отличные от нуля отрицательные мнимые части ( — у(ай) или — у(кя)), и вклады от них в интеграл (вычеты в полюсах):затухают с увеличением т как е лт. Незатухающий же вклад возникает только от вещественного полюса ьз' = — йзе — 10. Таким образом, получим 181 плазменное эхо вычетом подынтегрального выражения в его полюсе с наименьшей по величине отрицателю!ой мнимой частью, этот полюс лежит при е«(йзе, Йз) = О, и его мнимая часть 1ше = — «(Йз)!«Йэ ). По другую же сторону от максимума, при 1 — т' — э — оо, интеграл определяется вычетом в полюсе при е«( — йге, й1) = 0, для которого 1ше = у(й!)«!Й! (путь интегрирования должен быть при этом смещен в верхнюю полуплоскость комплексного е).
В резус!ьтате находим, что А(г) со ехр~ — -«(Йз)(г — т')) при « — т' э со, А(1) с!э ехр ~ — — ' «(Й!)1т' — 1)~ при 1 — т' -э — сс. (35.21) Таким образом, амплитуда эха перед достижением его максимума возрастает с инкрементом Й! «(Й!)«'Й1, а за максимумом убывает с декрементом «(Йз).
Рис. 10 иллюстрирует рассмотренное явление: первые две кривые изображают ход изменения потенциала в двух импульсах, приложенных в моменты«= Ои«= т,а третья кривая —. форму. эха. Около кривых указаны соответствующий декремент или ипкреълент. Изложенные расчеты произведены в пренебрежении столкпов(.виями. Поэтому условие применимости коли- чественпой формулы (35.20) требует, чтобы к заданному моменту 1 осцилляции функции распределения пе успели еще затухнуть под влиянием столкновений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
