X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(37.9) д1 дг др дг у Отметим, что, несмотря на нелинейность этого уравнения, его решения не зависят от средней плотности плазмы: если ЯГ, г) есть решение, то решением будет и С11 с произвольным постоянным множителем С. Упомянем, что в одномерном случае уравнение (37.9) имеет класс решений, характерных тем, что в них функция 7;(Г,х, р) зависит от координаты х и времени 1 только через посредство некоторой функции,"~(1,х)1 Л = Л1Х(1,я),р] (37.
10) Эти решения в известном смысле аналогичны простым волнам обычной гидродинамики. 8 38. Гидродинамика двухтемпературной плазмы В особенности простое теоретическое описание допускает двухтемпературная плазма, в которой Т, » Т;. (38.1) Мы уже видели в 8 33, что в этом случае в плазме могут распро- 188 БесстслкнсвительнАИ плАзмА ГЛ. П1 М вЂ” = ееЕ, Йч !й или д! —" + ~(»тгУ)!т = — '~ Е.
М К этому уравнению добавляется уравнение непрерывности — *+ !А1е(Х,у) = 0 д! (38.2) (38.3) и уравнение Пуассона, определяющее потенциал электрического поля д (а с ним и напряженность Е = — 'уу)! Ьу = — 4ле(ЕХ, — М,). (38.4) Что жс касается электронов, то при движениях плазмы со скоростями п < (Т»(М) ~~ << пт, их распределение адиабати- чески следует за распределением поля. Как мы видели в 3 36, конкретное выражение для электронной плотности Х, при этом существенно зависит от характера поля. Для поля без потенци- альных ям оно дастся просто формулой Больцмана (37.7), так что уравнение (38.4) принимает вид „! ~ 4 А! (~~* ер/те) (38.5) ! ~о Уравнения (38.2), (38.3) и (38.5) составляют полную систему уравнений для функций ч, Х и !!!. Она может быть еще упроще- на для квазинейтральной плазмы.
В этом случае согласно (37.8) имеем е~с = Т,1п *, еЕ = — Т, (38.6) Жо и (38.2) можно переписать в виде — + (чЧ)ч = — — ' — *. дч ъТ, »!»', (38.7) дй М Л!! Система уравнений (38.3) и (38.7) формально тождественна уравнениям гидродинамики изотсрмического идеального газа с страняться незатухающие ионно-звуковые волны со скоростью (Т,(М) !!2. Эта же скорость будет вообще характерна для распространения возмущений в плазме. Поскольку в то же время она велика (в силу (38.1)) по сравнению с тепловыми скоростями ионов, то для болыпинства задач о движении плазмы можно вообще пренебречь тепловым разбросом скоростей ионов.
Движение ионной компоненты плазмы будет тогда описываться в «гидродинамическом приближении» скоростью ч = ч!Ч задаваемой как функция точки в пространстве (и времени) и удовлетворяющей уравнению 189 1 38 ГИДРОДИНАМИКА ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ массой частиц М и температурой ЗТ,. Скорость звука в таком газе равна (ЗТ,!М)179 в соответствии с выражением (33.5) для скорости ионно-звуковых волн; дисперсия волн в этом приближении отсутствует. Установленная аналогия с гидродинамикой нуждается в существенной оговорке. Как известно, система гидродинамических уравнений далеко не всегда имеет непрерывные во всем пространстве решения. Отсутствие непрерывного решения в обычной гидродинамике означает образование ударных волн поверхностей, на которых физические величины испытывают разрывы.
В бесстолкновительной гидродинамике не существует ударных волн, поскольку они по самой своей природе связаны с отсутствующей в данном случае диссипациой энергии. Отсутствие непрерывных решений означает здесь, что в некоторой области пространства нарушается предположение о квазинейтральности плазмы. В таких областях (их условно называют бесстолкновъттельнымн ударными волнами) зависимость физических величин от координат и времени оказывается осциллирующей, причем характерная длина волны этих осцилляций определяется не только характерными размерами задачи, но и внутренним свойством плазмы ее дсбаевским радиусом 1). Вернемся к более общим уравнениям (38.2Н38.4), не предполагающим квазинейтральности плазмы.
Важным свойством этих уравнений является существование у них одномерных решений, в которых все величины зависят от переменных 1 и х только в комбинации ~ = х — и1 с постоянной и. Такие решения описывают волны, распространяющиеся со скоростью и без изменения своего профиля. Если перейти к системе отсчета, движущейся относительно исходной системы со скоростью и, то в этой системе движение плазмы будет стационарным. Наиболее интересными из решений этого типа являются решения, периодические в пространстве, и решения, убываюшие в обе стороны на бесконечности.
Рассмотрим здесь именно последние .— так называемые уединенные волны, или солитоньгз) (А.А. Веденов, Е.П. Велитов, Р.З. Сагдеев, 1961). Обозначив штрихом дифференцирование по ~, получим из (38.2), (38.3) 1о — и)п' = — — ~р'., (Х;н)' — МУ' = О (для упрощения полагаем г = 1). ') Понятие бесстолкновительной ударной волны было введено Р.3.
Сагдеееъъм в 1964 г. Фактическое построение такой структуры в некоторых частных случаях см. Гуревич А.В., Питаееский Л.П. О ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 590. ) От английского слона во1йагу — одинокий. 190 ВВСС1ТОЛКВОВВ'1ВЛЬПАЯ ПЛЪЗМЛ ГЛ 1П Интегрируя эти уравнения с граничными условиями 1д = О, и = О,. 1у1 = Яе при С вЂ” ъ оо, найдеъ1 1К = (38. 8) ЗХ 2 2 (38.9) Уравнение же (38.4) дает 1дл = — 4ле(Х1 — Х,), или, пошъе умно- жения на 21р'и интегрирования, 1р'~ = — 8яе ) (Х,(1р) — Х„(;о)) 111р.
о (38.10) При этом функция Я,;(1р) берется из (38.9), а Я„(1р) определяется формулами 2 36. Отметим, что в рассматриваемой волне всегда д > О, как это видно из (38.8). Потенциальная энерпля электрона в таком поле Г = — е1р ( О, т. е. по отношению к электронам поле имеет характер потенциальной ямы. Уравнением (38.10) задача об определении профиля волны 1р(С) сводится к квадратурам. При этом скорость и оказывается непосредственно связанной с амплитудой волны - максимальным значением функции 1д® (обозначим это значение через 1д,п). Действительно, при 1р = 1д,„должно быть 1р' = О.
Приравняв нулю интеграл в правой части (38.10) (и осуществив в нем интегрирование первого члена), получим уравнение которое и определяет в принципе зависимость и от д . При этом, очевидно, должно быть (38.12) Это условие, вообще говоря, устанавливает верхнюю границу возможных значений аъиплитуды волны 1ръ„(а с нею и скорости 11). Отметим еще, что для полного пренебрежения столкновениями необходимо, чтобы частота поля В1 была велика по сравнению с характерными частотами соударений как электронов мм так и ионов и;. Но поскольку и, (М(т) ~ям1 >> иъ (см.
2 43), то возможна ситуация, когда и, » В1» и1В В таком случае столкновения по-прежнему не влияют па движение ионов, но распределение электронов можно считать больцмановским и при наличии потенциальных ям. оолитопы В сдано диспвгг'игующей сгвде Задача Определить профиль и скорость уединенной волны неболыной интенсивности (еу )Т, «1) в плазме с электронами, распределенными согласно (36.11) (А.В.
Гуревич, 1967). Р е щ е н и е. В (36.1Ц должны быть сохранены все члены; возникновение уединенной волны связаг|о именно с последним, нелинейным членом в этолг выражонии. Вычисление по (38.11) приводит к резулынту Профиль волны находится интегрированием уравнения (38.10) и имеет вид 3 39. Солитоны в слабо диспергиругощей среде Существование (в среде без диссипации) нелинейных волн со стационарным профилем тесно связано с наличием дисперсии. В недиспергирующей среде учет нелинейности неизбежно нарушает стационарность волны; скорость распространения различных точек профиля оказывается зависящей от значения амплитуды в этих точках, что и приводит к искажению профиля.
Так., в гидродинамике идеальной сжимаемой жидкости нелинейные эффекты приводят к постепенному увеличению крутизны переднего фронта волны (см, 'г'1, 3 94). Дисперсия же, со своей стороны, приводит к постепенному расплыванию профиля, и оба влияния могут взаимно компенсироваться, приводя к стациопарности профиля волны.
В этом параграфе мы изучим эти явления в общем виде для довольно широкой категории случаев распространения во.лн в бездиссипативной слабо диспсргирующей среде с учетом слабой же нелинейности. Пусть ио скорость распространения волны в линейном приближении, прн пренебрежении дисперсией. В этом приближении в одномерной волне, распространяющейся в одну сторону вдоль оси т, все величины зависят от т и 1 только в комбинации б = = т — иой В дифференциальном виде это свойство выражается уравнением дЬ дЬ вЂ” +ио — =О, дс дя где Ь обозначает какую-либо из колеблющихся в волне величин. Постоянной скорости ио отвечает закон дисперсии волн оз = = иой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
