X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1Х, (7.19)). Поэтому изменение плотности электронов под влиянием поли есть 5Лсз = 2Лзбд(4! г! г) = 2Л!зе Кз!ь сс1з = О), или, выразив йыа(В. = 0) через фурье-компоненты, 43 БЛс = 2Л!' ейа" ыз) я (р) . (40.14) (2Я6) з ' Соответствующее же изменение плотности зарядов есть — едЛсз. Диэлектрическая проницаемость вычисляется теперь так, как это было сделано в О 29: исходя из связи плотности заряда с вектоРом ДиэлектРической полЯРизаЦии ( — ееззз = — с)1РР = — 11сР) пишем ебЛ'з = з ' Е1с = 62 ' 1р,д,.
4Я 4Я Таким образом, находим следующую формулу для электронной части продольной диэлектрической проницаемости плазмы с функцией распределения электронов п(р) (индекс 0 у которой теперь опускаем): 4.1Я' '1 НСР -Р Мс/2) — НСР— Мс/2) 20'Р 140 15) ез(цз, Й) — 1 = — — 1 айз / и» вЂ” ы — 10 (2!16)з (Ю.Л. Климонтоеи 1! В.П. Силин, 1952); обход полюса в интеграле определяется, как обычно, правилом Ландау. В квазиклассическом случае, при выполнении условий (40.2)! (40.3), можно разложить функции 11(р 3: 6)с/2) по степеням 1с.
Тогда и (р+ — ) — п (р — — ) — 61с и формула (40.15) переходит (с учетом связи (40.9)) в прежнюю формулу (29.9). Подчеркнем,. однако, что распределение н(р) в этой формуле может относиться к вырожденной плазме. Применим формулу (40.15) к полностью вырожденной электронной плазме при Т = О, когда п(р) = 1 при р ( рн и гз(р) = 0 при р ) ри. Заменив в двух членах в (40.15) переменную интегрирования р х- 6)с,)2 — ~ р, получим 24з, ЬИ / ) ззь — и» + 10 зз — Ъ» + 10 ) С2Н11)з Р<Ю 61йз гДО цзз = цз ~ —. ЭлементаРное, хотЯ и Довольно гРомозДкое 2тп 204 1'Л 1П вес112'олкновите71ьпля плазмА интегрирование приводит к результату заз ~( 1') — 1=,„,,„'., Е1 — И +)+И -)) (4010) н11ш — к ее) 27 -ь йюе 2Я,зев о7 йее ' причем логарифм должен пониматься как 1п ~и~ — 1л, если его аргумент и < 0;.
«плазменная частотаэ 112 определена по-прежнему как йе = 14лХее2(т)~72. В квазиклассическом пределе, при 11к « рл, йш « ен формула (40.1б) приводит к простому выражению, не содержащему й: 0 при ~оз~ ) йое, йзе2 [ 2ьее ш ь17,,1 1 ' пРи 1оз~ < аког. 1 2(йее)з (40.17) Особый интерес представляет статический случай. При оз = 0 выражение (40.16) как функция 1.
имеет особенность в точке, где М совпадает с диаметром ферми-сферы: 6к = 2рр, (40.18) в этой точке аргумент одного из логарифмов обращается в нуль. Вблизи нее (40.19) Е1(07й) — 1 = 1 — ~1п— 271йее 1 ~4~1 Покажем, что наличие этой особенности (ее называют ко71овско11) приводит к изменению характера экранировки поля зарядов в плазме, которая становится не экспоненциальной ). Запишем выражение (40.19) в виде Е1170, й) = 12 — ссС 1п -., И' (40.20) е2 где ст =, а постоянная 17 может включать в себя также и 2хйог не имеющий особенности вклад от невырожденной ионной компоненты плазмы.
) При Т = О достаточно этих условий. Дело в том, что предельное значение е1 при й1хек(ее — 7 О и Т вЂ” 7 О не зависит от порядка перехода к пределу. Поэтому соотношение между лй17г и Т несущественно. 2) Физические следствия особонности, возникающей при условии (40.18), были указаны Коном ( И». Ко11п, 1959). 205 1 40 ЦРОиицАяыООть яыРО:кдяинОй пллэмы Фурье-компонента поля, создаваемого покоящимся в плазме малым точечным зарядом еы выражается через диэлектрическую проницаемость формулой 4РЯ1 ьЯ Я110, Я) 140.21) 1см. задачу 1 3 31).
Для потенциала же 1дЯ как функции рас- стояния от заряда е1 имеем ,~11 ~р(г) = ~р„е1й' — "" = — 11п д„е™ Р. 141Р. (40.22) 12Я)1 2Я'1 о При г' — + 0 функция 11Р1к) стремится к постоянному пределу и не имеет особенности. Поэтому асимптотическое поведение интеграла в 140.22) при г -э оо определяется особенностью этой функции при 6к = 2рр. Вблизи нее 'Рй = ., ~1+ — ~1п— Л'~ 11 .1 ~ 1 ~а1 Вклад этой области в асимптотическое значение интеграла; ( ) 2е~ О 1гп (еэ1РРР~Гу) 1: 1 ~ 1п ~ еяРЯ~~~Я 14~' ИОЯР У' Ф ц' = е РР""~ 1п — — 1п — у пу.
— 1У 1У) ' о Разность в квадратных скобках сводится к 11г, так что 1 ( 6 = мт( — ) . Окончательно находим 1 2РРР Я1ол1 ООЯ12ргг(л1) 1Р1г)— 2Д1р' РЯ 140.23) Таким образом, потенциал экранированного поля вдели от заряда осциллирует с амплитудой, спадающей по степенному ввиду быстрой сходимости 1см. ниже) интегрирование по ( можно распространить от — оо до Оо. Для вычисления интеграла ц разделим его на две части от — со до 0 и от 0 до сю -- и в каждой из них повернем путь интегрирования в плоскости комплексной переменной ~ до его совпадения с верхней мнимой полуосью. Положив затем ~ = 1у, получим 206 гл п1 вес<'толкновительнля пллзмл закону.
Этот результат, полученный для вырожденной плазмы при Т = О, остается в силе для малых, но конечных температур йер. на расстояниях г « —. Т ' ы = вор [1-г 2 ехр ( — р — 2)] 12) 1И.74. Тольдлзага 1947). Эта часть спектра аналогична нулевому звуку в незаряженном ферми-газе 1ср. 1Х, 14.16)). Ход спектра показан схематически на рис.
12. Отметим, что везде оо/к > ср, а поскольку при Т = 0 нет частиц со скоростями в > ср, то затухание Ландау строго равно пулю. ) Отметим, что условие квазиклассичности частоты й, в вырожденной плазме (йй, « вр) совпадает с условием идеальности плазмы 140.4). Задача Определить спектр электронных колебаний вырожденной плазмы при Т = 0 в квазиклассической области значений к. Р е ш е н и е. Зависимость ы1к) дается уравнением в~Ос,ь) = 0 с в~ из 140.17).
При малых 1с 11сер «й,.) оказываотся, что Йер7ш « 1; действительно, разложив в~Оо, к) по степеням этого отношения, получим =о. ~ — ("— ;р) ~ о) 1г 1А.А. Власов, 1938) ') Эта часть спектра соответствует обычным плазменным колебаниРис.
12 ям 1ср. 132.ог)). При больших )г 1кпр » й„но по-прежнему Ьк «рр) оказывается, что оо ьвр. Решая уравнение в~ = 0 последовательными приближениями, получим ГЛАВА 1У СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ й 41. Интеграл столкновений Ландау Изучение свойств плазмы с учетом столкновений ме кду частицами надо на~ать с вывода кинетического уравнения для функций распределения электронов и ионов. Специфика этого случая связана с медленностью убывания сил кулоновского взаимодействия между заряженными частицами.
При буквальном применении больцмаиовского интеграла столкновений это обстоятельство приводит к появлению расходимостей в интегралах ва больших расстояниях между сталкивающимися частицами. Это значит, что существеипую роль играют именно далекие столкновения. Но иа болыпих расстояниях частицы отклоняются лишь с малым изменением их импульсов.
Это обстоятельство позволяет придать интегралу столкновеиий вид, подобный тому, какой ои имеет в уравнении Фоккера— Планка. В отличие от последнего, однако, интеграл столкновений теперь ие линееи по искомым функциям распределения. Но относительная малость изменений импульса при столкновениях во всяком случае означает, что описываемый интегралом столкиовений процесс можно рассматривать как диффузию в импульсном пространстве.
Соотвотствеино этому интеграл столкновений может быть представлен в виде дв Вг1" = — г11гря = — —, дй. ' где в плотность потока частиц в импульсном пространстве; задача состоит в выражении этого потока через функции распределения. Запишем в виде число столкновений, испытываемых (в 1 с) частицей с импульсом р, с частицагии с импульсами р' в интервале дар', причем р и р переходят соответственно в р+ г1 и р — г1; здесь учтено ужо сохранение импульса при столкновениях. Аргументы 1, г в функциях распределения для краткости не выписываем. Частицы р и р могут относиться к одному и тому же или к различным родам частиц в плазме (электроны, ионы).
Функцию ш будем счи- 208 !"Голкноив ия В и !Аэмк тать выраженной через полусуммы импульсов каждой из частиц до и после столкновений и через передаваемый импульс с1: ( 2 2' ) она зависит, конечно, и от родов сталкивающихся частиц. В силу принципа детального равновесия (2.8), функция и! симметрична по отношению к перестановке начальных и конечных частиц; и! (Р+ —, Р' — —; Ч! = ш (Р+ —, Р' — —; — Ч) (41 1) Функция и содержит б-функционный множитель, выражающий сохранение энергии при столкновениях (сохранение импульса уже учтено). Рассмотрим единичную площадку, расположенную в некоторой точке р импульсного пространства (частиц данного рода), перпендикулярную оси р . По определению, компонента а плотности потока есть избыток числа частиц (данного сорта), пересекающих в единицу времени эту площадку слева направо, над числом частиц., пересекающих ее справа налево.
Перемещение в импульсном пространстве есть результат столкновений. Если при столкновении частице передается о-компонента импульса Ч (!2 > О)! то в результате таких столкновений через площадку пройдут слева направо те частицы, у которых до столкновения эта компонента лежала в пределах от р~ — д до р .
Поэтому полное число частиц, пересекающих площадку слева направо, есть Суммирование производится по всем сортам частиц, к которым относятся штрихованные величины 1в том числе, конечно, и по заданному сорту, к которому относятся величины без штрихов). Аналогичным образом, число частиц, пересекающих ту же площадку справа налево, !!ложно представить в виде д >о р -9 В силу 141.1), функции и! в обоих интегралах одинаковы. Поэтому разность этих интегралов содержит в подынтегральном выражении разность 209 14! ин"Гв!'РАл столкновений .НАНЛАу Воспользуемся теперь малостью передачи импульса с1 (точ- нее, малостью существенных в интегралах значений с1 по срав- нению с р и р').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
