X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ландау, 1936). Будем временно обозначать величины, относящиеся к ионам и электронам, буквами соответственно без штриха и со штрихом. Изменение энергии ионов (в 1 с в 1 сма плазмы) дается интегра- лом 4Е !1! — | е 81 ! Г!ВР = — | с !11гр в!!ЛР, или, интегрируя по частям, '!Е = !' в '~' !!зр = | вч,,:!р (42.1) 11,! ар (интеграл по бесконечно удаленной поверхности в импульсном пространстве, как обычно, обращается в нуль). В суммах (41.3), определяющих потоки влек"!ронов и ионов в импульсном пространстве, остаются лишь члены, соответству- ющие электрон-ионным столкновениям; электрон-электронные и ион-ионные члены для максвелловских распределений обраща- ются в нуль.
Подставив в эти остающиеся члены максвелловские распределения с температурами Т' и Т, получим для потока ио- нов: в„= ! ! ~ — в — — В" В„д Г!зр~. Но в силу (41.5) имеем В дев — — В дел; сделав эту замену и подставив поток в в (42.1), найдем — = ~ — — — ! | Ое еВВ дГ! рГ!'р. (42.2) 1е /1 11 ! з з 41 ~!т т) / Ввиду малости массы электронов, их скорости в среднем ве- лики по сравнению со скоростями ионов.
Поэтому в В д можно положить г' — е„= е' . После этого величины ВВВ уже не будут зависеть от г и в (42.2) можно произвести интегрирование по и р! 215 1 43 длинА пгоьегА члстиц В плАзме ПОЛУЧИМ 4Е 422'Ж'22е,/22еп27 ( (42.2) 44 442" 3 '2 Это же выражение с обратным знаком дает убыль энергии электронной компоненты плазмы, — а2Е'/Ж. Выразив энергию электронов в единице объема через их температуру согласно Е = ЗХ'Т'/2 и вернувшись к обозначению электронных и ионных величин индексами е и 2, напишем окончательно следуюпДее. выражение для скорости изменения электронной температуры: ат, т, — т, , т," м (42.5) е11 т,=, ее 8М,22е47.,(2пт)'22 Фигурирующий здесь кулоновский логарифм равен 1п~ — ') при >> 1, (42.6) 1.( ' ) щр.
„"-' « 1. Величина т,', представляет собой время релаксации для установления электрон-ионного равновесия. 8 43. Длина пробега частиц в плазме Мы видели из изложенного в 8 41 вывода, что характеристикой столкновений в кинетическом уравнении служит транспортное сечение ее2 (41.7). Поэтому именно это сечение должно фигурировать и в определении длины свободного пробега. Для электрон-электронных (ее) и электрон-ионных (е2) столкновений приведенная масса 12 ш, а поскольку скорости электронов много больше скоростей ионов, то р(у, — у,) ти1, Т,. Для длины пробега электронов получается поэтому оценка т,2 1е (43.1) 42ееАХ7., с Ь, из (42.6).
Множители в в оценках не пишем; предполагается,. что е; 1. Время свободного пробега электронов т, (или обратная ей величина частота столкновений 22е): 1 6 т, пьн (43.2) Р,, Вте 42ее41УА, Отметим, что 216 !"голкиовэиия В и !Азмя и в силу условия разреженности плазмы (27.1)! 1, » а,.
Соответственно этому частота столкновений мала по сравнению с плазменной частотой электронов: ! „« гт„1а« = П,. (43.3) Аналогичным образом, длина пробега ионов по отношению к ион-ионным (11) столкновениям: Л, = 1и( — '), (43.4) 7«Г« ст к!т!!«ь, ' (43.8) где А, кулоновский логарифм с ионными величинами вместо электронных. Соответствующее время пробега: т«г!м"' (43.5) и„4х«4МЛ Величина т«определяет, по порядку величины, время релаксации для установления локального теплового равновесия электронной компоненты плазмы, а т„такое же время для ионной компоненты.
Но хотя частоты Р««и мн ее- и е1-столкновений одного порядка величины, время т, отнюдь не является временем релаксации для установления равновесия между электронами и ионами; оно характеризует лишь скорость передачи импульса от электронов к ионам, по не скорость обмена энергией между ними. Время же релаксации для электрон-ионного равновесия дается определенной в предыдущем параграфе величиной г,'.г Сравнение всех этих времен показывает, что г«« .
'тз: 'г ! 1: (ЛХ!«и) 1 ! (М!!гп). !!43.б) С помощью длины пробега произведем оценку кинетических коэффициентов плазмы. Для оценки электрической проводимости !г воспользуемся известной элементарной «газокинетической» формулой. Частицы (носители тока) с зарядом е и массой гн в своем свободном движении в течение времени т приобретают под влиянием электрического поля Е «упорядоченную! скорость Ъ' теЕ1т. Плотность создаваемого этим движением электрического тока есть ! еХ$'. Проводимость же (коэффициент пропорциональности между у и Е) есть, следовательно, (43.7) т тигт причем под 1, и! и ит следует понимать величины, относящиеся к более легким частицам — электронам.
Оценивая с помощью этой формулы, имеем 217 лсн внцввл плазма Коэффициент тснлопроводности оценивается аналогичным образом с помощью газокинетической формулы (7.10); основную РОЛЬ ИГраЮт ЭЛЕКтрОНЫ. ИМЕЕМ 2Г 24'е1еотгее (ГдЕ Се 1 ЭЛЕК- тронная тенлоемкость), откуда 2 Н2 24 (43. 9) е42221/2 г В противоположность электро- и теплопроводности, .вязкость плазмы связана в основном с движением ионов, поскольку именно в ионной компоненте плазмы в основном сосредоточен ее импульс.
Сверх того, импульс иона мало меняется при столкновениях с электронами; но этой причине достаточно рассматривать одни лишь 22-столкновеиия. Согласно (8.11), коэффициент вязкости оценг4вается как 0 2у,М/,22т;, откуда и Пгтнг (43.10) Вычисление коэффициентов в выражениях (43.8) . (43.10) требует решения линеаризованного кинетического уравнения с интегралом столкновений Ландау, что возможно лишь приближенными численными методами. Так, для водородной плазмы (я = 1) коэффициенты в выражениях для гг, 22, 21 оказываются равными соответственно 0,6; 0,9; 0,4.
3 44. Лоренцева плазма При вычислении электронного вклада в кинетические коэффициенты плазмы надо, вообще говоря, учитывать как ег-, так и ее-столкновения. Если., однако, заряд ионов достаточно велик, роль е2-столкновений может оказаться преобладающей. Действительно, сечение ее-столкновений пропорционально (е ), а частота таКИХ СтОЛКНОВЕНИй нее - ЕЩЕ И ПЛОтНОСтИ ЭЛЕКТРОНОВ 2У,; аналог-ичным образом, частота ег-столкновений пропорциональна (яеэ)2М; = е4а2М„так что при з » 1 будет и ие, » 22 .
Плазму, в которой можно пренебречь ее- по сравнению с ег-столкновениями, называют лоренцевой. Хотя этот случай и не очень реалистичен, он интересен как в методическом отношении, так и но возможным применениям к другим объектам 4). Ввиду малости скоростей ионов по сравнению со скоростями электронов, в первом приближении можно ими пренебречь, т.
е. считать ионы неподвижными, а их распределение заданным. В задаче о поведении плазмы во внешнем электрическом поле ' ) Например, к слабо иопизовапному гк2у, где вместо ег-столкновений надо говорить о столкновениях электронов с нейтральными атомами. 218 С'1'ОЛКНОВННИЯ В Н, 1АЗМК ГЛ 1Ч Я$ ~ = — ми(е)б1", (44.1) где введена зависящая от скорости эг(гфек111иенал часглота столкновений () 41 ( (44.2) а 41, -- транспортное сечение рассеяния электронов на ионах. Взяв последнее из (41.7) и заменив вгч1 = Хо, получим 41Ч Т 1ПоиО (44 8) Ниже в этом параграфе мы будем писать просто м(е)1 опуская ИНДЕКСЫ Е1. Вычислим диэлектрическую проницаемость лоренцевой плазмы в пространственно-однородном (волновой вектор 1с = О) ПЕРЕМЕННОМ (С4ЗЕ '144) ЭЛЕКтрИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
ДОбаВКа б1 К раВНО- весному распределению будет зависеть от времени по тому гке закону, и кинетическое уравнение для нее имеет вид — 1а4бу — еŠ— + и(е)бТ = О. дно др (44 41) Заметив также, что д(о41др = — чЯ)Т, находим отсюда бТ = — — 'Е1 Т 44(о) — 1м (44.5) Диэлектрическая проницаемость определяется соотношением (29.4)1 — 1агР =1, или — ив — Е = — е 1 чбу 41~р. 441 (44.6) Подставив (44.5) и произведя усреднение по направлениям ч (со- гласно (и,„ид) = бн~е~/3), получим ( ) 1 4ко' 1 "7од'р ЗМТ / и -Ь нм(о) (44.7) имеется выделенное направление направление поля Е. Если электронная ф1нкция распределения мало отличается от равновесной, ( = (о(р) + б/', то малая поправка бг" линейна по полю, т.
е. имеет вид бг" = рЕ8'(р). В этих условиях электрон-ионный интеграл столкновений принимает тот вид, который был придан в 8 11 интегралу столкновений в задаче о диффузии примеси легкого газа в тяжелом: 219 .погенцевл плазма В предельном случае ы » и ) эта формула дает е(со) = 1 —," +1 '(и~и(и)), (44.8) где усреднение производится по максвелловскому распределению электронов. Вычислив это среднее для и(в) из (44.3), получим ( )=1 — — '+' ' —" (»р) (449) 3 ТЕ11п1П1 ыз Напомним, однако, что область справедливости этой формулы ограничена также и сверху общим условием (41.14) применимости логарифмического приближения в интеграле столкновений: щ « 11те/а, = Н, — частота должна быть мала по сравнению с плазменной частотой электронов ).
Формула (44.9) имеет особое значение, так как она справедлива при любых (а не только больших) значениях з. Действительно, при ц1» и роль столкновений сводится к малым поправкам; е1,— и ее-столкновения можно, следовательно, учитывать независимо. Но в отсутствие ионов однородное электрическое поле приводило бы лишь к перемещению всей системы электронов как целого и столкновения в такой системе не могут вызвать диссипацию (выражающуюся мнимой частью проницаемости сп); последняя обуславливается в этих условиях только е1-столкновениями, учтенными в (44.9). В обратном предельном случае, когда щ « и, проницаемость имеет вид (44.10) Величина и, фигурирующая в этом предельном выражении, есть статическая проводимость плазмы (см.
11Н1, 3 58), Вычисление с и(п) из (44.3) дает для нее сг = 4ъГ2 Т~11 (44.11) Этот результат можно было бы получить, конечно, и путем прямого вычисления плотности электрического тока 3 = — е1 ибу 11зр с о )' из (44.5) (при ы = О). ') Под и (без указания аргумента) подразумевается значение и(в) при 4тзе 11;Л о = вт, В данном случае Р = 3 2 .
РП ~ Х,"' 1) Вычисление ев при и» П, рассмотрено в 1 48. 220 столкноввпия в плазме гл ге Вычислим также и другие кинетические коэффициенты лоренцевой плазмы связанные с ее поведением под влиянием постоянного (ог = О) электрического поля и градиента температуры. Предварительно напомним определение этих коэффициентов (см. УП1, 2 25). Условия теплового равновесия требуют,как известно, наряду с постоянством температуры также и постоянства вдоль среды суммы /г+ Г, где /г химический потенциал частиц, а Г их энергия во внешнем поле. В данном случае речь идет о равновесии по отношению к электронам, так что под /г надо понимать их химический потенциал, а с/ = — есо, где сг потенциал электрического поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
