X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В этих усло- виях нет необходимости заново вычислять поток вр. Для него можно написать выражение 225 сходящийся интьггал столкновений эта величина играет в рассматриваемой задаче роль малого параметра, характеризующего степень приближения г). Решение уравнения (45.10): н у = и' — С.г' ) — ди, (45.11) о Е где г = ' ехр( — ( — — и )) (45.12) решение однородного уравнения. Нормировочный множитель в Р определен из условия, чтобы при и — ~ 0 функция з" переходила в максвелловское распределение При и — э оо функция Г неограниченно возрастает, между тем как ~(и) должна оставаться конечной. Отсюда получаем условие 71Г -+ 0 при и — у оо, из которого определяется постоянная С ): С= (2 яглТ, ) М е (45.13) ( Е,'г и б Хе"'ее(ете) ЕХР ) . у 4Е (45.14) Предэкспоненциальный ьшожитель написан здесь лишь по раз- мерности; более точное вычисление лежит вне рассмотренного приближения и требует решения кинетического уравнения с са- мого начала с большей точностью.
~ 46. Сходящийся интеграл столкновений Кинетическое уравнение с интегралом столкновений Ландау позволяет решать задачи физики плазмы лишь с логарифми- ) В частности, анализ угловой части кинетического уравнения показывает, что направления движения убегающих электронов лежат в области углов р ьн4 ~) Формулировка граничных условий здесь щеалогична формулировке в з 24. 8 Л.
Д. Ландау, В.М. Лифшиц, том Х Интеграл вычисляется методом перевала путем разложения показателя эксгюненты вблизи точки его максимума, и = 1. Таким образом, получается следующий закон зависимости числа убегающих электронов от напряженности поля Е: 226 столкноввния вплазмв гл г~ )ее ( йн„„ (46.1) Влияние, оказываемое диэлектрической средой на рассеяние частиц, наиболее ясным образом формулируется на языке диаграммной техники. В борцовском приближении рассеяние двух частиц описывается (в нерелятивистском случае) диаграммой ) Р+Ч Р'-Ч (46.2) Р Р' где штриховой линии отвечает функция 4я/с1~ компонента Фу- ') Как и в З 4Ц буквы без штриха и со штрихом относятся к двум сталкиваюшимся частицам (одного и того же или разных сортов). ческой точностью; большой аргумент кулоновского логарифма не вполне определен. Эта неопределенность связана с расходимостью интегралов на больших и малых углах рассеяния. Как уже указывалось, расходимость на больших углах не имеет принцияиального характера: она появляется лишь в результате нроизведенного при выводе разложения по степеням передаваемого импульса с1; в самом интеграле столкновений Больцмана эта расходимость отсутствует.
Расходимость же на малых углах возникает в результате неучета экранирующего действия плазмы на взаимное рассеяние частиц в ней. Для вычисления интеграла столкновений с более высокой, чем логарифмическая, точностью необходимо пош~едовательно учитывать экранирование с самого начала (а не только при определении области интегрирования в кулоновском логарифме). В 2 41 было уже указано, что условия применимости интеграла столкновений с экранированным взаимодействием между заряженными частицами требуют, чтобы функции распределения мало менялись за времена а/Ро,„и на расстояниях а.
Эти же условия нозволяют рассматривать экранировку зарядов макроскопическим образом как результат диэлектрической поляризации плазмы. Мы рассмотрим поставленную задачу в дву.х предельных случаях: 1) когда к столкновениям частиц применимо квантовомеханическое борновское приближение и 2) когда процесс столкновения квазиклассичен. Борновский случай. Начнем с первого случая, имеющего место при условии 227 схОдящиЙся и!!те!пал стОлкиОВИ!гиЙ рье кулоиовского потенциала единичного заряда (с1 передавае- мый при рассеянии импульс). Наличие среды сказывается лишь в 4х замене этой функции на компоненту потенциала в среде ч„Ч!4е.я ' где е д(со, 41,46) тензор диэлектрической проницаемости среды, причем !го! совпадает с передаваемой энергией (ср.
1Х, Ч 85), Со- ответственно и в амплитуде рассеяния гюявится дополнительный множитель, а в сечении - квадрат его модуля. Таким обч' гг !гз в разом, 4 41гг — 44!трез рсз ~е е!Г„, ~е Для простоты мы будем предполагать далее плазму изотропной. Для такой плазмы тензор е д сводится к двум скалярам (ег и ег)! причг.м в произведение е дс) у с вгг) 2 входит только один из них; ьиы будем опускать индекс 1! подразумевая под е продольную проницаемость. Таким образом, сечение рассеяния принимает вид сггт = !ГО И ',чФ)Р' (46.4) (46 г) где ьг скорость центра инерции сталкивающихся частиц ).
Величина же вектора с1 связана с углом рассеяния гс в системе центра инерции обы гной формулой = 2„~ — '~в1 х 2 (46.6) где р, = т ж т' ) Для рассеяния тождественных частиц 1на не малые углы) под !Гор,„ следует понимать сечение кулоновского рассеяния с учетом обменных аффектов (см. 111, ч 137).
~) В атом легко убедиться, выргюив скорости частиц ч и ч' через 4Г и скорость относительного движения ч — ч' и учтя, что при рассеянии 1г и ~ч — и ~ не меняются. где а!с!рея -- обычное резерфордовское сечение для рассеяния в пустоте ). Отметим также, что передаваемая при столкновении энергия связана с передачей импульса равенством 228 С"ГО!!К~ОВВПИЯ В П 1АЗМВ ГЛ 1И Интеграл столкновений, автоматически правильно учитывающий большие и малые уг.пы рассеяния и свободный от расходимости, получается подстановкой (46.4) в обьгшый больцмановский ийгеграл: ~!е(ы, я/й)( суммирование производится по всем родам частиц, к которым относятся штрихованные величины.
Кинетическое уравнение с !интегралом столкновений (46.7) очень сложно не только в силу невозможности разложения подыытегрального выражения по степеням Ч, но и ввиду того, что диэлектрическая проницаемость плазмы сама определяется через искомые функции распределения. Сууцественнос упрощение достигается лишь в случае слабого отклонения от равновесия, когда допустима линеаризация кинетического уравнения. Тогда проницаемость должна вычисляться с равновесными функциями распределения и! таким образоьл, не зависит от искомых поправочных функций.
Квазиклассический случай. Перейдем к обратному предельному случаю, когда (ее ( 61'ьо (46.8) и для рассеяния частиц применимо квазиклассическое приближение. В этом случае нельзя учесть влияние среды на рассеяние единым образом при малых и больших утлах рассеяния (как это было возможным в борновском случае); поэтому придется рассмотреть эти две области отдельно и затем !сшить» результаты при промежуточных углах.
Поле заряда е, движущегося со скоростью и в диэлектрической среде, определяется уравнением сйгР = 4хеб(г — и1). Б компонентах Фурье находим отсюда для потенциала поля '): (46.9) ') Вывод формулы (46.9) предполагает линейность связи между О и Е н тем самым достаточную малость поля. Это условие во всяком 1 лучае выполняется ув слабо неидеальном газе) на расстояниях 1' > а, от которых как раз и происходит расходимость интеграла, для устранения которой мы имеем в виду воспользоваться формулой 146.9). Этим расстояниям отвечают значения к < 11!а, для которых диэлектрическая проницаемость существенно отличается от 1.
229 сходящийся интвггал столкновений При малых углах рассеяния изменение импульса частицы дается (см. 1, 2 20) классической формулой (46.10) ,/ дг где 11 . энергия взаимодействия двух частиц, а интегрирование производится вдоль прямо, линейной траектории г = р+ ч 1 (р-- вектор прицельного расстояния) ). Выразив энергию Г = е'~р в ы виде интеграла Фурье е' г Г=4яее / ./ кзе(ы, ь) (2 г)е (причем оз = )с«) и подставив в (46.10), получим (46.11) И~И ( 1се' " 1 — ~к(» — «')е 1 ' / (2 -).
~ Ьзе( ,Ь) / Внутренний интеграл дает, где Й~, проекция вектора 1с 2яд(1с~~) )» — »') на направление ч — «'. Устранив затем д-функцию интегрированием до ей 0 найдем (46.12) ~» — «0 / ьее(~,к ) (2х)е где )сг (как и р) двумерный вектор в плоскости, перпендикулярной « — »'. При этом и частота со = 1с ь« = 1стУ. (46.13) Ниже в этом параграфе мы будем опускать индекс ), подразумевая везде под 1с указанный двумерный вектор. Вычислил1 теперь с полющью (46.12) величины В ч = — ) д дз\ч — »'~ с) р, (46.14) 2 входя|цие в интеграл столкновений, разложенный по степеням малого с) (сечение с1о в (41.4) написано здесь в виде прицельной площади с12р). Написав произведение двух интегралов (46.12) в виде двойного интеграла (по г) Й с) Й'), выполняема интегрирование по с1 р согласно ( е'д(й ьи ) лзр = (2зг)йд(1с + )с').
) Безразлично, как вычислять величину Ч: как изменение иьшульса каждой из сталкивающихся частиц, или как изменение импульса их относитольного движения. 230 гл !и с"го!!кноввпия в н !Аамв После этого интегрирование по с(~й' просто устраняет д-функцию и остается 2е~е'а / й йв с(зй (46.15) (ъ' я ! / Й (е(1св, Й)! (здесь использовано также, что согласно (28.9) е( — и!, /с) = е" (оз, Й)). Эти интегралы уже сходятся при малых Й (поскольку. (е) "— +0 пр ~, й-+О)'). В (46.15) входит проницаемость при отличной от нуля частоте о! = )сЪ', имея в виду это обстоятельство, иногда говорят, что эта формула учитывает эффект дпг!амического ок1иггирооаггггл. Обратим внимание на зависимость подынтегрального выражения в (46.15) от направления Ъ' через аргумент 1с'Ъ' функции е.
Эта зависимость исчезает при вычислении интеграла в логарифмическом приближении, ко!да интегрирование ограничивается областью от а 1/а до !с )зйз/~ее'~. Основную роль в интеграле играют значения )с, далекие от обоих этих пределов; в этой области значений имеем ~е~ = 1 и интеграл сводится к ) Й Йй !РЙ/Й . Усредняя подынтегральное выражение !ю всем направлениям 1с в плоскости, перпендикулярной тг — тг', мы вернемся к прежнехлу выражению (41.8) с 7 = ) гй1'к. Для устранения рагходимости при больших передачах импульса надо, как уже указывалось, произвести есшивкуе раэлжепного по степеням с1 интеграла столкновений с перазложенным интегралом (7.
Нзгббагг1, 1961: О. Аопо, 1962). Рассмотрим разность 81к: У вЂ” 81БУ, (46.16) где о( „есть искомый сходящийся интеграл столкновений. а 81н дается выражением (46.7)! которое в борновском случае представляет собой правильный интеграл столкновений, но здесь играет лишь вспомогательную роль. Разделим весь интервал изменения угла рассеяния на две области: 1) Х < Х!, П) Х > Х1, причем Х! выбрано так, что 3 «Х1«1. (46.17) рать ° При классическом рассеянии на малые углы в кулоновском поле, утол Х связан с прицельным расстоянием о соотношением 2(ее') р(ч — т')ах ) Устранение расходимости в интеграле столкновений Ландау, связанной с экранировкой кулоновского поля, принадлежит Балеску и Ленардр (В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
