X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Далее подставим в (49.16) полные выражения Е и 7' в виде (49.12) и (49.13) (с ук из (49.17)) и произведем усреднение по статистическому распределению волн с помощью (49.11). Все линейные по возмущению члены при этом исчезают, квадратичные же члены определят производную д)0/д1 в виде 249 з 49 КВАЗИЛИНЕЙИАЯ ТЕОРИЯ Заменив разность в квадратных скобках, согласно (29,8), на 2пб(го — )су), получим окончательно (49.
18) где п»ео р ) Она была развита А.А. Веденовым, Е.П. Велиховым и Р.З. Сагдеевьм (1961). Уравнения (49.14), (49.18) были независимо сформулированы также Ю.А. Романовым и ПФ. Филиппов»си (1961) и Драммоидом и Пайнсом (14г.Е. Веитпгопд, В. Р1пег, 196Ц. д»1 1д "д(р) = 2яе~ (Е )9 — — '" "оо(ог — 1су) —. (49,19) к-ко Уравнения (49.14) и (49.18) составляют искомую полную систему. Основанную на этих уравнениях теорию плазменных волн называют квазилинейной ) .
Уравнение (49.18) имеет вид уравнения диффузии в пространстве скоростей, причем Ю играет роль тензора коэффи- (в) циентов диффузии (индекс (н) напоминает о том, что эта «диффузия» связана с эффектами нелинейности). Эти коэффициенты как функции скорости электронов отличны от нуля в интервале А)тг вблизи уе, связанном с разбросом Ь)с согласно (49.3). В этой области скоростей и будет происходить диффузия и соответственно возникает искажение функции распределения (остающейся максвеллов- ской для всей остальной массы электронов). Характер этого искажения очевиден из общих свойств всяких диффузионных процессов: диффузия приводит к сглаживанию, т.
е. в данном случае — к возникновению в «хвосте» функции де(Р) (пРИ о — ИЕ» сре) плато шиРины Ьи, как это изображено схематически на рис. 13. Отметим, что при таком характере искажения изменяется главным образом производная д~е/др, а само значение 19 остается близким к максвелловскому. Оценим время релаксации этого процесса, т„. Поскольку речь ИдЕт О ВЫраВНИВаНИИ На ИНтЕрВаЛЕ г"1р = Пггхи, тО (49. 20) Для оценки коэффициента диффузии замечаем, что согласно (49.10) (Е )1с~ — ) (Е ). Наличие же в подынтегральном вы- 2п 250 гл 1с с толкноввпия в плазма ражении в (49.19) б-функ|щи эквивалентно, по порядку величины, умножению интеграла на 1/(пасха).
Таким образом, х)(н) г (Е ) е (Е ) (49. 21) се~й )са йе Наконец, выразив (Е2) через амплитуду 9зв колебаний потенциала ( к2'ррв~2) и подставив (49.21) в (49.20), найдем 1) тн . (49.22) йе(е)ре)/т)з В изложенном рассмотрении подразумевается, конечно, что время т„мало по сравнению со временем затухания Ландау: тн « 1/у; в противном слу.чае волны затухнут, прежде чем успеют проявиться эффекты нелинейности.
В то жс время применимость уравнения (49.14) предполагает малость времени 1/у по сравнению со временем свободного пробега электронов: 1/у « 1/ие, где ге средняя частота столкновений. Последнее условие, однако, не гарантирует еще законности пренебрежения столкновениями в рассматриваемом явлении (т. с. законности использования здесь кинетического уравнения в виде (49.16)): для конкуренции с нелинейными, эффектами существенно не общее время столкновительной релаксации, а лишь время столкновительной релаксации в интервале скоростей сзо; обозначим его как тот. Поскольку речь идет о релаксации в интервале Ьп, расположенном вблизи значения по» пте и в котором содержится лишь относительно малая доля всех электронов, то ситуация аналогична той, с которой мы имсли дело в задаче об убегающих электронах. Процесс представляет собой диффузию в импульсном пространстве с коэффициентом диффузии П(сг) = 2 ( ) 2 = ' ' "( г') Г' (4923) — гп мее и пте,,з ез (коэффициент при д//др в плотности потока в импульсном пространстве (45.5)).
Искомое время столкновительной релаксации в интервале ьхн отличается от (49.20) заменой .0(н) на О(сг); (49.24) )Змм ст,и„(вт ) у нг I При Ье (е)ре~/т)~~з, когда изложенная теория уже, строго говоря, неприменима (знак вместо знака» в (49.5)), зза оценка дает т„'к„(т/е~ззо0 ~ . Именно этот результаг и следовмю ожидать, когда разброс резонансных скоростей зс совпадает с амплитудой скорости электронов при их колебаниях в поле волны:по порядку величина т, совпадает с периодом этих колебаний.
251 Ь 50 хглвнвннк для Рвлятивис'гской плазмы При т„>) тт (49. 25) (т, е, Рб<1 « О<" ~) нелинейные эффекты не играют роли; столкновения успевают поддерживать максвелловское распределение вблизи згв, несмотря на возмущение от волнового поля; соответственно коэффициент затухания Ландау будет даваться обычным выражением,. отвечающим максвелловскому значению производной дД/др в окрестности нв. Таким образом, неравенство (49.25) есть условие применимости строго линейной теории затухания Ландау. Напомним в то же время, что излагаемая квази- линейная теория справедлива при гораздо более слабом условии (49.2). Условие (49.25) можно представить в виде где г1 = и 1ч' Д (Т параметр газовости. Малость множителя, заключенного в квадратные скобки, демонстрирует слабость условия (49.2) по сравнению с (49.25).
В обратном предельном случае, при т„« т,„нелинейные эффекты приводят к сильному уменьшению производной дД/др в указанной области, грубо говоря, в отношении П~"~/В~ ~. Соответственно уменьшается коэффициент затухания Ландау. й 50.Кинетическое уравнение для релятивистской плазмы Если скорости частиц (электронов) в плазме пе малы по сравнению со скоростью света, кинетическое уравнение должно быть записано с учетом релятивистских эффектов (С. Т. Беляев, ЕИ.
Ьудкер, 1956). Покажем предварительно, что функция распределения в фазовом пространстве, 1(Ь, г, р), является релятивистски инвариавтиой величиной. Для этого заметим, что пространственная плотность частиц и плотность их потока, т. е. интегралы зч' = )' у" дзр, з = ~зг~ дзр, должны составлять 4-вектор гь = (с<У, г) (ср. П, ~ 28) 1). Имев в виду, что в релятивистской механике скорость частицы с импульсом р и энергией и есть зг = рс /5, можно записать этот ') В этом параграфе латинскими буквами Ь, 1 обозначаются четырехмерные векторные индексы. Скалярное произведение двух 4-векторов а и Ь обозначается как (аЬ) = аэЬ .
252 столкноввния в плжлмв гл г~ 4-вектор в виде 1 =с (ру —, .Ь 2 Ь слр (50.1) где р~ = (е/с,р) 4-импульс. Но выражение с(~р/е является 4-скаляром (см. П, З 10). Ясно ьюэтому, что из 4-векторности интеграла (50.1) следует, что функция у" -- 4-скаляр 1). Переходя к выводу кинетического уравнения, замечаем, что произведенные в 2 41 вычисления остаются в силе и в релятивистском случае вплоть до выражения (41.3), (41.4) для плотности потока в импульсном пространстве. Необходимо лишь вычислить заново величины 1 Вод = —,~ ЧоЧвяотн с(п.
2' (50 2) Величияа лс„„здесь — по-прежнему относительная скорость двух частиц. Напомним, однако, что в релятивистской механике она определяется как скорость одной частицы в системе покоя другой и, вообще говоря, не сводится к разности тс — тс' (см. П, з 12).
Выясним, прежде всего, трансформационный характер этих величин. Произведение ,( Оь,(з„с(з„ь,(з есть число актов рассеяния, происходящих в объеме с(' х в течс- 3 ние времени сЬь' между двумя частицами с импульсами в заданных интервалах сь р и сь р', по своему определению это число есть инвариант. Переписав его в вьлде Е Е (50.3) образуют симметричный 4-тензор. Величины же (50.2) связаны с пространственными компонеььтами этого 4-тензора согласно в Вольв се (50.4) м ) Функция же распределения по одним лишь импульсам, т. е. интеграл д(й р) = Зс д(й т, р) а'т, уже не является 4-скаляром (именно такая функция рассматривается в 11, З 10).
и заметив, что последние пыль множителей (отделенных точками) инвариантны, заключаем, что и первый множитель, ее'и та сЬ, есть инвариант. Отсюда в свою очередь следует, что интегралы 253 увлвпяция для Рвлятивис'т'ской плазмы Вычислим сначала 4-тензор (50.3) в системе отсчета, в которой одна из частиц (скажем, частица е) покоится. Релятивистское сечение резерфордовского рассеяния частиц е на покоящихся (до столкновения) частицах е при малых углах рассеяния т имеет вид ) (50.3) Игоо = 2я(ее')~А(ц'~дав — н' ц~)тес —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
