X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 47
Текст из файла (страница 47)
1У, ~ 44). Поэтому полная энергия вынужденного излучения равна зз! '-="Т:/"-"- ' (2зГ) з е где у(р) -- функция распределения электронов. Ниже будем считать эту функцию максвелловской, зависящей только от абсолютной величины р. Усреднив по направлениял! р и р' и заметив, что ввиду монохроматичности поля 4»а Ь е(2 )з к е перепишем Я„!„В в виде Я = МчЕ ~ю~(р)б(с — е' — йю) ~~ар«1йр (48 5) Аналогичным образом вычисляется энерги»Г, поглощаемая при обратных переходах с изменением импульса электрона р — » р (неупрутое рассеяние электрона в электромагнитном поле). При этом, согласно принципу детального равновесия, функции вероятности ю! определяющие сечения прямого и обратного пРоЦессов, Равны межДУ собой.
ПоэтомУ ДлЯ Яее,л полУчаетсЯ выражение, отличающееся от (48.5) лишь заменой функции распределения ! (р) на ((р'). Диссипация Я = Я„е,л — Я„В; сравнив это выражение с (48.2), получим ел = — ' )! ю(~(р') — ~(р)зб(е — е' — йю) г(ар Г(ар'. (48.6) 243 НОРПОщепии В ВыООНОНАОтОтнозз птьдиле Ограничимся частотами, для которых (48.7) йое « Т. Тогда разность р — р мала и можно положить ~(р) ж т ~(р)' (48.8) где угловые скобки означают усреднение по максвелловскому распределению электронов. Применим эту формулу к двум предельным случаям квазиклассическому и борновскому. В первом случае, т, е, при — »1, йе (48.9) ограничим еще область частот аг» Пе более узким интервалом пгет, П зе- (48.10) (слева стоит величина, обратная ко времени пролета электрона на таком расстоянии от иона, на котором угол рассеяния становится Ц;,легко видеть, что из условий (48.9), (48.10) автоматически следует (48.7).
В квазиклассическом случае эффективное излучение на частотах (48.10) при столкновении электрона с неподвижным ионом дается формулой !Вогез зшез зс,,= 1и Зегсзтг умзег (48.11) где у = еп = 1,78..., С . постоянная Эйлера (см. П, (70.21)). Подставив в (48.8) и произведя усреднение, получим ') ез а !!г зз!гт ззг 3 7'Чггпнг мз тЧгоозегпй!г ' (48.12) ) При этом иснользуетсн значение интеграла 1 е *!Птди = — С. о а в остальных множителях р = р'. Подставив это в (48.6) и выра- зив и через гс согласно (48.4), находим окончательно следующее выражение для мнимой части проницаемости: столкновении В плАзме ГЛ 1Н В борновском случае, т, е.при — « 1, эффективное излуче- 2Е йе ние на частотах 114о «Т дастся формулой ) 24 = 1п 1622 е 2те~ 352сзп22 )к41 (48.13) Вычисление по (48.8) приводит к выражению Ад1 П2 4Т вЂ” ' 1и —, 3 1П112Т212 1,12 Злы (48.14) отличающемуся от (44.9) липзь аргументом логарифма. й 49.
Квазилинейная теория затухания Ландау Изложенная в 8 29-32 теория плазменных колебаний основана на решении кинетического уравнения в линейном приближении теории возмущений. Условие ее применимости состоит в малости поправки к функции распределения о1" (29.2) по сравнению с невозмущенной функцией Те. — "" «ь. Н9.1) Для слабозатухающих плазменных колебаний с частотой — йе и волновым вектором )с « 4'4,(пт, необходимо, таким образом, чтобы было еЕ дуо — — «Уо. П„др Для максвелловской плазмы это условие (после возведения обеих его частей в квадрат) можно записать так: — « М,Т,. (49.2) В таком виде оно имеет простой физический смысл: плотность энергии волнового поля должна быть много меныпс плотности кинетической энергии электронов плазмы.
Условие (49.2) обеспечивает малость поправки 111 для основной массы электронов. Но и при его выполнении существует относительно небольшое число частиц, для которых условие (49.1) может нарушаться, - частицы, движущиеся почти в фазе с волной (1сзг = а1) и тем самым принимающие участие в затухании ') См. 111, (92.16). При переходе от втой формулы к (48.14) учтено также, что при йьз « Т = гпезт, электрон тсриот при излучении лишь малую часть своей энергии. 245 КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ (Ьь.( Ь вЂ” ' — ')Ь1г(, зге = — ' — ~ (49 3) й йа ЕО КО тоже мал и расположен вокруг значения пс » ит,. В затухании Ландау будет, следовательно, участвовать сравнительно небольшое число электронов и их функция распределения может в результате сильно измениться.
Количественную теорию этого явления мы изложим для случая, когда возмущение представляет собой почти монохроматическую волну, амплитуда и фаза которой модулированы в пространстве по некоторому статистическому закону. Спектр значений к начального возмущения узок, (Ыс! Еа (49.4) но и в то же время (49.5) где ~ре - - порядок величины амплитуды потенциала электрического поля волн (смысл этого условия выяснится ниже); отметим, что в силу (49.2) (где Е йуе) выражение в правой части неравенства (49.5) мало: ~ ", << 1.
Мы будем также считать по- ЯЗ" а ле в среднем однородным по всему объему плазмы; это значит, Ландау (резонансные частицы); даже слабое поле может существенно изменить их функцию распределения. Это изменение будет нелинейным эффектом, и потому его характер существенно зависит от спектрального (по ы и по 1с) состава волнового поля; дело в том, что лишь в линейном приближении различные фурье-компоненты поля независимы в своем воздействии на частицы.
Мы будем рассматривать здесь электромагнитные возмущения в плазме, представляющие собой совокупность плазменных волн с волновыми векторами, пробегающими непрерывный ряд значений в некотором интервале Ь1с. Если начальное возмущение содержит широкий спектр волновых векторов й й,/ит„то затухание Ландау распространяется на большое число электронов, находящихся (в смысле воздействия на них поля) в одинаковых условиях. В результате искажение функции распределения окажется относительно малым при всех скоростях; линейная теория (при условии (49.2)) будет, следовательно, применима для всего хода эволюции возмущения. Напротив, если возмущение содержит волновые векторы лишь в узком интервале Ь1г вокруг некоторого значения Йс, для которого йо « Й,(пг„ то резонансный интервал скоростей элек- тронов Гл ьч 246 с"голкновнння в плазмв Е= Е1е Лсг (2х)з' (49.6) где в силу условия вещественности Е ь = Е~.
Прсдположеяие (49.4) о характере начального возмущения означает, что интегрирование в (49.6) фактически ведется лишь в окрестностях точек )с = ~)со. Условие же пространственной однородности возыущения легко сформулировать, написав квадратичный тензор ЕоЕд в виде двойного интеграла: йз) )зЕ д — ь аде (2х)е После усреднения по статистическому распредоленикд это выра- жение должно оказаться не зависящил1 от г ). Для этого сред- нее значение (Еь Еь д) должно содержать б-функцию б(1с+ )с').
Имея также в виду продольность плазменных волн, напишем ЯйоМд) = (2л.) " '(Е )йб(1с+ 1с'). (49.7) Это соотношение надо рассматривать как определение величин, обозначенных здесь символически через (Е )и. Отметим, что эти 2 величины вещественны. Выражение (49.7) отлично от нуля лишь при и = — и' и симметрично по отношению к перестановкам к и 1с'. Поэтому (Е2)а = (Е2) 1„а перемена знака 1с эквивалентна комплексному сопряжению. Средний квадрат (Е2) выражается через эти величины согласно ( 2) (. 2) Нзй (49.8) Интегрирование в (49.6), а потому и в (49.8), производится, как уже указывалось, по окрестностям точек 1сл и — 1со. Удоб- Для возмущений рассматриваеьюго типа интегралы Еа ) Е(г)е '~'ок~ фактически расходятся, поскольку Е(г) не исчезает на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для формальных выводов, имеющих дело с заведомо конечными средними квадратами.
что квадрат Е", усредненный по статистическому распредель нию фаз и интенсивностей волн, не зависит от координат (такое усреднение эквивалентно усреднению по у.часткам пространства с размерами Ьх» 1,1~Ь1с~). Представим поле Е в начальный момент времени в виде интеграла Фурье: 247 квазилиисииАя тиогия нее, однако, исключить из рассмотрения вектор — )сш представив (49.6) в виде ,1з© Е = Еье' " + к.с., (49.9) (2л)з 1сез1со где интегрирование производится уже только по окрестности точки 1с = )со, а к.с.
означает комплексно-сопряженное выражение. Соответственно (49.8) запишется как (Е~) = 2 (Е~)и — ' (49.10) а соотношения (49.7) — в виде )з(Ез) Й Ьв 1(~ (49.11) (Ц,.Я,,д) = 0. Дальнейшая эволюция возмущения (49.9) со временем пред- ставится выражением ,1зй Е = ейи" ыз)Е1,(1) — + к.с., (49.12) (2к)з 1с-1со где ог(1с) зз„-- частота плазменных волн, а коэффициенты Еи(4) медленно меняются за счет затухания Ландау. В аналогичном виде представим и функцию распределения электронов ~ = Д(1, р) + ~Й(1о р)ей"" ') ' + к.с..
(49.13) (2гг)з 1с 1со Выражение в фигурных скобках представляет собой быстро осциллирующую в пространстве и времени «хаотическую» часть изменения функции распределения; она исчезает при статистическом усреднении волн. Члсп гкс Го(з,р) мсдлсппо меняющееся, усредненное распределение 1З Наша цель состоит в получении системы уравнений, определяющих эволюцию усредненных характеристик состояния плазмы ".
функций (Е )1, и 1о(1,р). Для того чтобы такая система могла быть замкнутой, эти характеристики должны охватывать собой все электроны, участвующие в интересующих нас нелинейных эффектах. Для этого в свою очередь интервал скоростей (49.3), отвечающий разбросу волновых векторов 1УДс, во ) Не смешивать его с равновесным максвелловским распределением! 248 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ Гл. !ч всяком случае должен широко перекрывать амплитуду колебаний скорости электронов под влиянием поля резонансных с ними волн. Именно это условие и выражается неравенством (49.5); (е~сдо~/пг)~г~ порядок величины указанной амплитуды.
действительно, в системе координат, движущейся с фазовой скоростью волны, поле последней статично и представляет собой последовательность потенциальных горбов с высотой ~уо~. В этой системе резонансный электрон совершает колебания между двумя горбами, причем его скорость меняется в интервале между Ц2е ~ уо ~ /гп) '~2. Одно из уравнений, связывающих (Е2)к с 70, выражает собой затухание Ландау каждой из фурье-компонент поля: — (Е )и = — 2 ~к(Е )ю а (49.14) где пс = 2гг е ссо / — — е(ог — 1сч) сс р ГдУ.
и з о/ д ег (49.15) есть, согласно (32.6) и (30.1), амплитудный коэффициент затухания волн; множитель 2 в правой части уравнения (49.14) связан с квадратичностью величины (Е2)и. Второе уравнение получим, исходя из кинетического уравнения бесстолкновительной плазмы: — +ч — — еŠ— =О. (49.16) д8 дг др Применим его сначала в линейном приближении к отдельной фурье-компоненте возмущения. В последнем члене уравнения, уже содержащем малую величину Еиейк' ~'), полагаем Г" В первом же пренебрегаем медленной зависимостью ук от ~. В результате получим для 1к обычное выражение сеЕК дго Лс = и — йч др' (49.17) дно 2дУо д /' Ь.Ь, ° 2, ~ с — =е ) 1с д1 дре др .~ ег ~ог — 1сч + со и — 1сч — с01 (2я)г причем, как всегда, в дальнейших интегрированиях надо понимать ог как ог + гО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
