X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(19.13)). Как и всякая одновременная корреляционная функция, начальный коррелятор должен содержать д-функционный член, выражающий те случаи, когда всего одна частица находится в совпадающих элементах фазового пространства: ова З (Р) о (Г1 — Г2 ) о (Р1 — Р2 ) (СМ. (19.6)). ФурЬЕ-ОбраЗ ЭТОГО ЧЛЕНа ЕСТЬ баа 1(р)д(р1 — РЗ). Та- ким образом, в (51.13) надо положить (б,~ й(О,Р)б,~ы (О,р)) = = (2зт)' б(1с + 1с') [Б,ау',(р)Б(р — р') + рй(р, р')), (51.14) где пь(р,р') есть произвольная гладкая (без особенностей при вещественных р и р') функция — фурье-образ некоторой функЦии Д(Г1 Гз~ Р1~ Рз)., стРемягдейси к НУлю пРи ~гз Гз~ ~ со.
' ) Лишь для упрощения записи последующих формул будем считать, что функция Д(р) изотро1тпа, так что соответствующий ей тензор диэлектрической проницаемости е З сводится к скалярам е~ и еь 260 гл !у с'толкноввпин в п,!Азмя При подстановке в (51.13) член с этой произвольной функцией н (51.14) дает 4(зя) "б()с + )с') ~ч / ря (р, р') !1»р !Гзр' (51 15) Йз е! (а!, к) е! (ас', /с') / г()су — а!) г()сч' — ат) а,б Покажем, что это выражение отвочает во временном представлении функции, быстро затухающей с увеличением 1 или ~'.
Переход от лапласовского (см. примеч. па с. 173) образа (б!р и Жр,~,,) к функции времени 1г и 8! = 4г + г, осуществляется формулой обращения (д!рк(1!)б~рй (1з)) = е '"'" '"' "(доз „)Жр~,,~,) ",. (51.16) где интегрирование производится по путям в плоскостях комплексных переменных о! и оз', проходящим выше всех особых точек подынтегрального выражения. Нас интересует асимптотика выражения (51.16) при 1у, 1з — » со. Для ее нахождения надо смещать контуры интегрирования вниз до тех пор, пока они не «зацепятся» за особые точки; так! особенность в точке !и =о!с приведет к асимптотической зависимости интеграла по Й ! от времени вида ехр ( — внс1). Легко видеть, что выражение (51.15) имеет ! особенности лишь в нижних полуплоскостях оз или оз (но не на вещественных осях этих переменных) и потому асимптотика интеграла (51.16) с (51.15) в качестве (5!р без,,„,) содержит только (~-) затухающие члены.
Рассмотрим, например, интеграл по и!. Множитель 1у!е!(о!, Й) в (51.15) имеет полюсы в нулях функции е!(оз! Й), расположенных лишь в нижней полуплоскости и!!). Таким же свойством обладает и интеграл по !1зр в (51.15). Действительно, этот интеграл имеет вид где я = р проекция вектора р на направление 1с, причем (согласно прсдположенным свойствам функции )»к(р,р')) множитель ур(з) мог бы иметь особые точки лишь при комплексных значениях я. Интеграл такого вида был уже рассмотрен в конце ~ 29 и было показано, что он может иметь полюсы лишь в нижней полуплоскости о!.
) Подразумевается, что распределение т(р) отвечает устойчивому состоянию плазмы, так что плазменные волны затухают. Очевидно, что только в таком случае имеет вооб!це смьпл постановка задачи о стационарных флуктуациях. 261 ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМВ Таким образом, интересующая нас незатухающая часть коррелятора возникает только от вклада от первого члена в (51.14) в интеграл (51.13)( (5Р. бды ) = М М 4(2я)' д()сч- 1с') ~ ' 2 / Г (Р) (1'Р ( )ббе((ш,'к)е((ьа,й ) ~-а ~./ (ьб — )су+ бО)(ьб'+ )ту 4-(0) а Преобразуем подынтегральное выражение, написав ((об — 1су+10) (об'+1стг+гО)) ~ — ~ + При дальнейшем интегрировании по об' в (51.16) незатухающий при 1 — у оо вклад возникает от вычета в полюсе об~ = — цб — 10б который обходится контуром интегрирования, как это показано на рис.
14; в этом смысле множитель 1/(сц + цб') надо понимать как — 2бгЫ(об + об'). Смыс.( же множителей 1(б(об ж 1стг) при последующем интегрировании по цб определяется формулой (29.8), согласно которой 2нЫ(об — )стб) ю — )су — (0 ю — )сУ+ бО (это обозначение подразумевает, что интегрирования по цб и цб' производятся уже по вещественной оси). Таким образом, для вычисления коррелятора в асимптотическом пределе больших времен 4, в интеграле (51.17) надо заменить [(цб — 1съ"+10)(со'+1си+10)) — > — (2бг)~о(об+об')б(цб — 1стг). (51.18) В рсзулыате получим ) (Мр~~~~б1(р~~б ~,) = (2я)~о(об+ об')б(1с+ 1с)(б(бз~) ю (51.10) гдг' (бе( =,, Е,) б.(б(б( — ь (б Р.
(бббб( ьб~ („й)В ) Во избежание недоразумений напомним, что зто — не все выражение, а только его особая по об+об' часть, определяющая асимптотическое поведение коррелятора. В полном выражении отнюдь не все члены содержали бы б(ьб -г ьб'), поскольку соответствующая функция от ьо ьб зависит от разности Г = 4( — Ге лишь асимптотически, при больших Г(, Гб. 262 столкновении В плАзме ГЛ. 1Е Из определения (51.19) видно (ср. (19.13)), что величины (51рз) ь представляют собой искомый фурье-образ корреляционный функции -- спектральный коррелятор.
Таким образом, формула (51.20) решает поставлен® ную задачу для флуктуаций потенциала. Аналогичным образом определяются и другие корреляторы. Так, выравив иЗ (51.11) б~,„, чЕрЕЗ б1р, „ (-г) . Ж умножив на Б~р,„,', из (51.12) и усред- 1РЬ) нив, получим коррелятор потенциала и функции распределения ): (51. 21) Напомним, что порядок, в котором написаны оср и оу, в символе (Йрб)' ) ю существен: по определению (ср. Ъ', (122.11)), (51.21) есть фурье-образ пространственно-временного коррелятора (б1р(й, г)б~„(0, О)). Если же определить коррелятор как (оуа(й, г)без(0, О)), то будет УХаМи1с = (51Р5Ха) — м — 1с = УР5Ха)м1с (51 22) (ср.
У, (122.13)). Наконец, спектральный коррелятор функций распределения (4а51ь)м1с = 2поаьо(Р1 Рз)Уа(Р1)о(сс1 1сн1)+ е.еь(64') в (~ дт„') (~ Юь ') (м — 1се1-Ь10)(м — 1счз — 10) 1, др1/ 1 дрз/ "оя е,еь ) ) ~ дУ„'1 т 6(а1 — 1счз) ~ ~1с — ") 1ь сс ~ ( др1 1) Е1(са, й) (а1 — ссъ'1 -Ь 10) 1 дрз/ "е,"(са,1с)(са — 1счз — 10) 1 ') Обратим внимание па обратное правило обхода в первом члене (а1 — 10 вместо а1 + 10), Оно возникло из-за того, что при са = — се', 1с = — 1с' (1с'ъ — се' — 10)"' = -(1сч — м -~-10) 263 ФлткттАции В плАзме (51.25) д ( дб(г(й г) оу.
( )) (51. 29) ) Это выражение получается из 1Х, (75.20), если разделить последнее на поперечную и продольную части и заменить е в зтих частях соответственно на ег((з,(г) и е((и, Й), Это фурье-образ коррелятора (б,7' (1: г р1)Ць(0г О, р2)). Если в формулах (51.20) (51.23) выбрать в качестве у, максвелловские функции Д„получим корреляторы флуктуаций в равновесной бесстолкновительной плазме. Рассмотрим, например, флуктуации потенциала.
Для максвелловской плазмы мнимую часть продольной диэлектрической проницаемости можно представить в виде 4 ( ,г) = ; Е . '1' .(г)г( — 1 ) гЪ (г1 гг) в (см. (30.1); обобщение на несколько сортов частиц очевидно). Введя это выражение в (51.20), получим (6 2, а уре('(ы,е) о((г )мь = ьг(е,(,„(г)(г ' Коррелятор же напряженности продольного электрического поля (Е Е) ьг, ьг, (5 2) (51. 26) Этот результат можно было бы, конечно, получить и из общей макроскопической теории равновесных электромагнитных флуктуаций, изложенной в 1Х, 3 75-77. Согласно этой теории, спектральный коррелятор напряженности электрического поля выражается через запаздывающую гриновскую функцию формулой, которая в классическом пределе (у(п) « Т) принимает вид (ЕоЕЗ) ), = — — 1п(О~~д(о),Ы) (51.27) асг (см.
1Х, (76.3), (77.2)). В среде с пространственной дисперсией гриновская функция ) рл ( 1 ) 4хгг (5 Й ьз ) + 4яу)с ь'газ (51 26) од ' (вге (сг ьг ( о)г Ьг / ьгге Ьг Подстановка продольной части этой функции (второй член) в (51.27) и даст (51.25), (51.26). Наконец, вернемся к уравнению (51.4) и покажем, что стоящее в его правой части выражение ГЛ. 1М СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ действительно совпадает с известным выражением интеграла столкновений в плазме. Величина (51.29) получается из корреляционной функции (ббр(г,г)бра(010)) дифференцированием по г, после чего надо положить в ней г = О. Таким образом, найдем ( — ~61 ) =~1666661,6,, =-) 61 66661,6.„"' " (51.30) (в последнем равенстве учтено (51.22)).
Но из (51.21) имеем (используя также (51.20) и (51.24)) 3 а 11П (дбрб ~а),д, = — ЗГ1С вЂ” а(ббпр )6.,1,. — 1а Еабббббб — 1гса) = дР й ~З~ ь х д(ьб — 1стбА) 61зрь б(ьб — 1сча). Подставив это выражение в (51.30), легко приводим (51.29) к виду интеграла столкновений Балеску — Ленарда 13 47). В связи с приведенным выводом может показаться странным, что для вычисления интеграла столкновений оказалось достаточным рассматривать флуктуации в бесстолкновительной плазме.
Этоб однако, связано с тем, что при столкновениях в плазме сутцсственны компоненты Фурье электрического поля с к > 166а» 1661, что и позволяет пренебречь столкновениями. Ситуация здесь вполне аналогична той, которая имела место при выводе кинетического уравнения Больцмана в ~ 16. Действительно, уравнение (16.10) как раз и означает пренебрежение влиянием столкновений на парную корреляционную функцию. ГЛАВА Ъ' ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛК й 52. Диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной холодной плазмы Эта глава посвящена изучению свойств плазмы, находящейся во внешнем магнитном поле; такую плазму называют магнитоактиьной.
Заставляя заряженные частицы двигаться по спиральным траекториям вдоль силовых линий, магнитное поле оказывает глубокое влияние на поведение плазмы. Оно влияет, в частности, и на ее диэлектрические свойства. Напомним предварительно некоторые общие свойства тензора диэлектрической проницаемости в присутствии магнитного поля с индукцией В (см. Ъ'1П, 2 82). Как и в отсутствие поля, имеет место равенство (28.6): е д( — и, — 1с; В) = е*д(ш,1с; В). (52.1) Оогласно же принципу Онсагера, этот тензор симметричен при условии одновременного изменения знака поля и волнового вектора: е я(ог,1с;В) = ея (и, — 1с; — В). (52.2) Если среда инвариантна относительно пространственной инверсии, что во всяком случае справедливо для равновесной плазмы, то е д являются четными функциями )с и (52.2) принимает вид е,~(оэ,1с; В) = ед (ш,1с; — В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
