X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Уравнение (39.23) имеет вид уравнения Шредингера, в котором функция — а(1, () играет роль потеш1иальной энергии, зависящей от 1 как от параметра. Пусть функция а(1, с) в некоторой области ( положительна и стремится к нулю при ~ — 1 ~ОС. Тогда уравнение (39.23) будет обладать собственными значениями с, отвечающими Вфинитному движению в потенциальной яме — а(1, ~)»; в силу зависимости функции а от 1, эти собственные значения, вообще говоря, тоже зависят от 1. Покажем, что собственные значения В не будут зависеть от 1, если функция а(1, ~) удовлетворяет уравнению КдВ (39.4). Выразив из (39.23) а в виде 198 ГЛ 1П ньсстолкнопитнльнля пллзмл Покажем теперь,. что уравнение (39.23) имеет всего одно дискретное собственное значение в случае стационарного «потенциала» а(~) вида (39.13), отвечающего одиночному солитону.
С этим «потенциалом» уравнение (39.23) имеет вид 4л+ «+я 4=0, (39.26) причем , 112 77о= —, с«= ) бг 1 12л (39.27) Дискретные собственныс значения уравнения (39.26) даются формулой с„= — а (в — и), в = — — 1+ 1+ ', п = 0,1,2,..., причем должно быть п ( а (см. П1, 8 23,:задача 4).
Со значениями параметров из (39.27) в = 1, так что имеется всего одно собственное значение Я =— 12Л (39.28) Если же «потенциал» а(1, ~) представляет собой совокупность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от друга (так что «(взаимодействие» между ними отсутствует), то спектр собственных значений уравнения (39.23) будет складываться из «уровней» (39.28) в каждой из потенциальных ям., причем каждый из них определяется амплитудой п1 соответствующего солитона. Поскольку скорость распространения солитона растет с увеличением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды.
Произвольная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов после процессов взаимных «столкновений» в конце копцов превратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, описываемые уравнением КдВ., распространяются в одну сторону!). Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать интеросное заключение: начальная и конечная совокупности соли- тонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов, отличаясь лишь порядком их расположения.
Это следует непосредственно из того, что каждый из изолированных солитонов соответствует одному из собственных значений с, а эти значения от времени не зависят. Вообще, всякое положительное (а > О) начальное возмущение, занимающее конечную область пространства, в ходе своей 199 ООЛИТОПЫ Б СЛАБО ДИСПВР1'ИРУ1ОЩЕй СРВДЕ эволюции, согласно уравнению КдВ, в конце концов распадается в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых уже пе зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов можно в принципе найти путем определения спектра дискретных собственных значений уравнения (39.23) с начальным распределением п(0, ~) в качестве «потенциала».
Если же начальное возмущение содержит в себе также и участки с а ( Оо то в ходе его эвозпоции возникает еще и волновой пакет, постепенно расплывающийся, не распадаясь на солитояы. Во избежание недоразумений надо, однако, уточнить, что именно подразумевается под начальным возмущением в у.равнении КдВ. Реальное возмущение, возникающее в среде в некоторый момент времени, в ходе своей эволюции (описываемой полным волновым уравнением второго порядка по времени) распадается, вообще говоря, па два возмущения, распространяющиеся в обе стороны оси ач Под «начальным» возмущением для уравнения КдВ надо понимать одно нз этих двух возмущений сразу после распада. Задача Определить коэффициенты О и д в уравнении (39.
2) ошя ионна-звуковых волн в плазме с Т, «Т,. Р е ш е и и е. Коэффициент дисперсии д получается из СЗЗ.4) разложением по малой величине Йа,о д= а,ио, 1 где ие = СгТ:)Ю ~ При определении жс коэффициента нелинейности о можно пренебречь дисперсией вовсе, т. е. рассматривать предельный случай 11 — 1 О. В этом пределе плазму можно во всяком случае считать квазннейтральной и соответственно описывать ее гндродинамическими уравнениями изотермического идеального газа г38.3), ог38.7). Положив Ло = Лсо Ч-бЛ', пишем эти уравнения с точностью до членов второго порядка по малым величинам бЛ' и г. При этом в членах второго порядка можно положить и = иобЛоооЛое, как это имеет место а линейном приближении для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х Сио — скорость волн в линейном приближении). Тогда уравнения примут вид дбЛ ди д 2ио дбЛо -~- Лоо — = — — (11 бЛо) = — — бЛо дс д, дх лоо д ди ио дбЛ' ио,дбЛо дг — -~- — — = —,, бЛ' — — и — = О.
д« Юо дх Л'оэ дх дх Дифференцируя первое уравнение по й второе гю х и исключив д»иоодг дх, находим С той же точностью заьоеняем производную д1одг в правой части уравнения н в разности доодг — иод,одх в его левой части на — иодоодх. Наконец, вычеркнув в обеих частях дифферспцирования д1одх и сравнив получившееся уравнение с (39.2), найдем О = иооЛое. 200 ВЬСС1ТОЛКНОВИ'1КЛЬНЛЯ ПЛХЗМЛ ГЛ 1П й 40.
Диэлектрическая проницаемость вырожденной бесстолкновительной плазмы При вычислении в 3 29, 31 диэлектрической проницаемости бесстолкновительной плазмы полностью пренебрегалось всеми квантовыми эффектами. Полученные таким образом результаты ограничены, прежде всего, по температуре условием отсутствия вырождения; для электронов это условие гласит: 616,1!з Т»ЯР- т (40.1) (40.2) 6йп « Т. Наконец, частота должна удовлетворять условию (40.3) 6ш « сн квант энергии поля должен быть лзал по сравнению со средней энергией:электрона (это условие, впрочем, обычно не играет роли). Теперь мы рассмотрим диэлектрические свойства плазмы, отказавшись от выполнения условий (40.1)- (40.3) для ее электронной компояенты; иозпзая же компонента может оставаться невырождснной.
Мы будем вычислять электронную часть диэлектрической проницаемости. При этом будет по-прежнему предполагаться выполненным условие, обеспечивающее возможность пренебрежения взаимодействием частиц плазмы: е Х,~ <<с; (40.4) где аз = — ', рк .
граничный импульс распределения Ферми при Рг 21п, Т = 0, связанный с плотностью числа электронов равенством з Рв Зл' 61 Кроме того, сама возможность применения к плазме во внеш- нем поле классического уравнения Больцмана связана с опреде- ленными условиями, наложенными на волновой вектор 1с и ча- стоту Вз поля. Характерные расстояния изменения поля ( 1® должны быть велики по сравнению с дс-бройлевской длиной волны электронов (6/р), а связанная с этой неоднородностью неопределенность импульса ( 66) должна быть мала по сравне- нию с шириной ( ТЯ области размытия теплового распределе- ния электронов. Для невырожденной плазмы р Т/зз (ьчТ) 12, так что оба эти условия совпадают.
Для вырожденной плазмы р рн, о пл = рв(тп, но поскольку Т < еР, то Т(й < р. Такити образом, достаточно потребовать в обоих случаях 201 1 40 ПРОннцлемОс'гь ныРОждгнзнОЙ нллзмы 26 — = (Н! — Нг)Р! д! (40.5) где Й --. гамильтопиан электрона во внешнем поле, а индексы 1 или 2 указывают переменные (г! или Г2), на которые действует оператор (см. П1, 8 14). Это уравнение заменяет собой классическую теорему 41иувилля (е(г/Ж = О) для классической одночастичной функции распределения. Будем (как и в 8 29) вычислять продольную диэлектрическую проницаемость. Соответственно этому рассматриваем электрическое поле со скалярным потенциалом !Р(го г), так что гамильтониан электрона аз Н = — — л! — е!Р(1, г).
2т (40.6) Считая поле слабым. полагаем Р = РО(г! — гз) + ОР|А г4, гз), (40.7) где ро матрица плотности невозмугценного стационарного и однородного (но не обязательно равновесного) состояния газа; в силу его однородности, ро зависит только от разности К = г! — гэ. матрица плотности ро(44.) связана с (невозмущепной) функцией распределения электронов по импульсам по(р) формулой по(р) = 22!е РО(ЮС егн'2н 11з (40.8) где Л1е -- полное число электронов (см. 1Х, (7,20)). Здесь п(р) определяется как числа заполнения квантовых состояний электронов с определенными значениями импульса и проекции спина.
Чисто состояний, приходящихся па элемент импульсного про- 2,42 страпства 44эр и с двумя значениями проекции спина, есть (2„а)з ' 1/3 те е ПрИ Е Ер ЭтО УСЛОВИЕ ПрИНИМаст Внд 1'З!е ' » ! ПЛИ « 1 зз (ср. У, 8 80, 1Х, 8 85). Отказ от условия (40.2) требует применения с самого начала квантовомеханического уравнения для лзатрицы плотности. Поскольку взаимодействием мекду электронами пренебрегается, можно писать замкнутое уравнение сразу для одночастичной матРПЦы плотнОсти Ре!Р2(8,Г4,гз) (О'2, 1!я спиповые индексы). Будем считать распределение электронов независящим от спина; другими словами, зависимость матрицы плотности от спиновых индексов отделяется в виде множителя д 1ез, который мы будем опускать.
Независящая от спина матрица плотности р(Х,гз, Г2) удовлетворяет уравнению 202 вьсотОлкнОвитвльцая плаэмл гл ш Поэтому п(р) связано с использовавшейся ранее функцией распределения у (р) соотношением ~(р) = ""' (40.9) (2яй)з ' Подставив (40.7) в (40.8) и отбросив члены второго порядка малости, получим линейное уравнение для малой добавки к матрице плотности: 16 — + — (схг — гх2)] 5р(1, гг, г2) = д 6' д4 2т = — е(р(1, гг) — ~р(1, г2))ре(г1 — г2). (40.10) Пусть ) И1,г) = р. с""" "'.
(40.11) Тогда зависимость решения уравнения (40.10) от суммы г1 + гй (и от времени) можно отделить, положив др = ехр [г)с ' ' — иг1] 8 1,(г1 — г2). (40.12) Подставив это выражение в (40.10), получим уравнение для 8 й(в): ! йв 2 йв 2) 6ш+ — (17+1 — ) — — (47 — 4 — ) ~ я й(К) = '(6оэ — е (р + — ) + е (р — — )] 8', 1 (р) = =- — "" ~" ( -7) -" ("7)] (где е(р) = р21(2т)), или еЭэ и по (р + йк/2) — пе (р — йк/2) Кый(Р) ш — кг (40.13) Значение матрицы плотности при г1 = г2 = г определя- ) Гамильтониан (40.6) должен быть эрмитовым, а потому функция 1г в нем (и, следовательно, в уравнении (40.10)) — вегцественной. Но после того как уравноние (40.10) написано, ввиду его линейности можно его решать для каждой иэ комплексных монохроматических компонент поля в отдельности. гйВ.,~2 — нйн/2) (8) Теперь можно перейти в этом уравнении к фурье- разложению по В.. Умножив обе его части на ехр( — грК1'6) и проинтегрировав по сРТ, получим (с учетом (40.8)) 203 1 40 НРОНИЦАЯМОО'ГЬ ЯЫРО:КЛЯННОЙ ПЗ!АЗМЫ ет плотность числа частиц в системе: ЛС = 2Лгр(1, г! г) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
