X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Гордеевым (1964). Для самых длинных волн, при условии Йае « 1, закон дисперсии (33.4) сводится к соотношению ') — ьпг « (33.5) )г 33' Частота оказывается пропорциональной волновому вектору как в обычных звуковых волнах. Волны с этим законом дисперсии называют воино-звуковыми. Фазовая скорость этих волн со/и (Те/лв)'г2, так что условие (33.2) действительно выполняется. Учитывая в следующем приближении мнимую часть еп легко найти декремент затухания -,=Ю, --.
8ЛХ (33.6) Это затухание обуиювлено электронами. Вклад же ионов в т Т,1 экспоненциально мал: оп содержит множитель ехр( — — ') . 2Т,)' Для меньших длин волн, в области 1ггае « й « 1/а, (существующей в силу предположенного неравенства (33.1)), из (33.4) имеем просто со — Нь (33.7) Это -" ионные волны, аналогичные электронным плазменным. Легко проверить, что и здесь выполняются условия (33.2), а затухание мало. При дальнейшел~ уменьшении длин волн, однако, затухание возрастает, и при Йа, > 1 ионный вклад в декремент затухания l сравнивается с частотой, так что говорить о распространении волн становится нсвозможныы. На рис.
8 схематически изображен спектр (закон дисперсии) для рассмотренных здесь низкочастотных колебаний (нижняя кривая) в сравнении со /уа, спектром высокочастотных электронных плазмеппьгх волн (верхняя кри- Рис. 8 вая). Штрихами намечены области, в которых затухание становится большим. 172 ввсстолквовиткльплл пллзмл Гл гп и уравнения Пуассона гагр = 4яе ) оу" г1ар (34.4) (равновесный электронный заряд компенсирован зарядом ионов). Поскольку эти уравнения линейны и не содержат координат в явном видсг то искомые функции б7' и гр можно разложить в интеграл Фурье по координатам и написать уравнения для каждой из их фурье-компонент в отдельности.
Друтими словами, достаточно рассматривать решения вида оу (й г, р) = Я1, р)е' ', гр($, г) = д,(1)е' Для таких решений уравнения (34.3), (34.4) принимают вид — + г1ст 7к + геггга1с — = О, дЬ .. дно д1 да> (34.6) йз~рк = — 4гге ) ~в г1зр. (34. 7) Для решения этих уравнений удобно воспользоваться односторонним преобразованием Фурье, определив образ )' ь (р) (л-) функции ~к(1, р) как 7" г ' г(р) )' ек"гу" (~ р) г11 (34.8) о (Л.Д. Ландау, 1946). Мы ограничимся случаем чисто потенциального электрического поля (Е = — 'гугд) при равном пулю магнглтном поле и предположим, что возмущению подвергается только электронное распределение при неизменном распределении ионов. Будем также считать, что начальное возмущение мало: начальная функция распределения электронов 1(0, г, Р) = 1о(Р) + 8(г, Р), (34.1) гДе 1о(Р) Равновесное (ыаксвалловское) РаспРеДеление, а (< )о.
Возмущение остается, конечно, малым и в дальнейшие моменты времени, так что уравнения можно линеаризоватьб ищем функцию распределения в виде 1'(1,г, Р) = (о(Р) + о1(1,г, Р). (34.2) Для малой поправки б1 и для потенциала самосогласованного поля гр(г, г) (величина того же порядка малости) находим систему уравнений, составленную из кинетического уравнения дот + хдот + ег~ д~о 6 (34.3) д1 д. "др РКХ1ЛКСЛЦИЯ ПЛЧЛЛЬПОГО ВОЗМКЩВПИЯ Обратное преобразование дается формулой со-Р1ьт ,)к(1 Р) = ) е '~~~ к (Р) —, (349) — ж -~-1а где интеграл берется в комплексной плоскости 1о по прямой, параллельной вещественной оси и проходящей над ней (1г ) О), выше всех особенностей функции у" ь 1). Умножаем обе части уравнения (34.6) на е '~' и интегрируем по й Заметив, что — Е Ю = )'ЬЕ ' — 1О1 1,)'ЬЕ '<И = — Н1к — ИО1) дЬ'с М дс о / М11 о о (где 6~ (Р) — = А (О Р)) и разделив обе части уравнения на 1(1ск— — ю), находим р — зед 1с— Ю 1 1 .
ГР) дтпл ) 1(1ск — м) ь1к др Аналогичным образом, из (34.7) получим Р р~ '„) = — 4яе )' 1" „) (Р) о)зр. (34.11) Подставив )м~, из (34.10) в (34.11), получим уравнение уже бь) длЯ одного только оз„к; из него найдем бе). '.о,л 4те / як(р)1) р л к2 1(м, к) / 1( — ы) где введена продольная диэлектрическая проницаемость е1 согласно (29.9). Снова (как и в 8 29) введя составляющую импульса р = ток вдоль направления )с, перепишем эту формулу в виде 4те / а„(р,) 1)р (34.13) й'е1 (и, Й) / 1(йо„— Ь1) (34.10) (34.12) где Ви(Р*) — ) йк(Р) пРу г)Р .
') Преобразование (34.8), (34.9) ес>ь не что иное, как известное преобразование Лапласа )Р = ); )Яе "1М, о Я) = — ) Дгее Ир 2Я1, е в котором переменная р заменена па -1ко и соответственно изменен путь интегрирования в формуле восстановления функции З'(1) по ее образу Д„. 174 ГЛ !!! весстолкновита!!ы!Ая пллзмл Для дальнейшего определения временной зависимости потенциала по формуле обращения !ра(1) = — ) е 'и !д !, дь! — оо-~-гс! (34.14) необходимо предварительно установить аналитические свойства !!! а как функции комплексной переменной ы. Выражение вида ,Ю 1',, (1),, ! <11 о как функция комплексной перемеш!ой ы имеет смысл лишь в верхней полуплоскости.
'1о же относится соответственно и к выражению (34.13). Интегрирование в (34.13) производится по пути (вещественная ось р ), проходящему ниже полюса р. = гпь!/Й. Мы видели в з 29, что определяемая таким интегралом функция переменной ы при се аналитическом продолжении в нижнюю полуплоскость имеет особенности лишь в точках, совпадающих с особыми точками функции йа(р„..). Будем считать, что йа(р.
) как функция комплексной переменной р есть целая функция (т. е, не имеет никаких особенностей при конечных р ); тогда и рассматриваемый интеграл определяет целую функцию ы. В 3 31 было отмечено, что проницаеь!ость е! максвелловской плазмы . тоже целая функция ы. Такихл образом, аналитическая во всей плоскости ы функция !р„,а ость частное двух целых функций. Отсюда следует, что единственными особенностями (полюсами) функции !р, ь являются нули ее знаменателя, т.
е. нули функции е!(ь!, А). Эти соображения позволяют установить асимптотический закон убывания потенциала ~ра(1) при больших временах 1. В формуле обращения (34.14) интегрирование производится по горизонтальной прямой в плоскости ы. Однако, понимая под !д !, определенную указанным образом во всей плоскости аналитическую функцию, мы можем сместить путь интегрирования в нижнюю полуплоскость так, чтобы не пересечь при этом ни одного из полюсов функции.
Пусть ь!ь = ыь~, + гь!~~~ тот из корней уравнения е!(ь!, й) = О, который обладает наименьшей по величине мнимой частью (т. е. ближайший к вещественной оси). Будем производить интегрирование в (34.14) по пути, смещенному достаточно далеко под точку ы = ыь и огибающему эту точку (а также и другие полюсы, лежащие сверху от него) указанным на рис. 9 образом. Тогда в интеграле будет существен (при больших 1) только вычет относительно полюса ыь, остальные части интеграла, в том числе интеграл по горизонтальной части пути, будут экспоненциально малы по сравнению с указанным выче- 175 Ря:!Аксация нА'!А»!ы!о!'О возмущения том благодаря наличию в подынтегршгьном выражении множителя е ' ', быстро убывающего при увеличении ~ 1!по!~.
Таким образом, асимптотический закон убывания потенциала дается выражением ~рк(1) е ' !'е»п, (34.15) т. е, с течением времени возмущение поля затухает экспоненциально с ДекРементом 'Уь = ~о!а~ ). Для длипноволновых возмущений (кп, « 1) частота о!~~ и декремент уь совпадают с таковыми для плазменных волн и даются форл!улами (32.5), (32.6). Декремент затухания таких возмущений экспо- О ненциально мал.
В обратном же случае коротковолновых возмущений, когда г;ас 1, затухание становится очень сильным; декремепт 71, даже <вь велик по сравнению с о!ь ! 2! Наконец, остановимся на свойствах самой функции распределения электронов. Искомая функция 1к1г, р) получается подстановкой (34.10) в интеграл (34.9). Помимо полюсов в нижней полуплоскости! происходящих от !р !,! подынтегральное выражение имеет также полюс в точке о2 = 1сзг на вещественной оси. Именно этот полюс и будет определять асимптотическое поведение интеграла при больших 1. По вычету в нем находим ук(г,р) с!зе ' "'. (34.16) Таким образом, возмущение функции распределения не затухает с течешлек! времени.
Распределение становится, однако, все более быстро осциллиру ющей функцией скорости (период ос- ') Егли начальная функция я„1р,) имеет особенность, то в число конкурирующих значений !в входят наряду с нулями функции е!(ы, и) также и особые точки функции !д ю возникающие от особенности интеграла в (34.13). В частности, осли д„(р,) имеет особенность (например, излом) на вещественной оси, то и у!,а будет иметь особенность при вещественном значении ш = ке,.
Такое возмущение (в бесстолкновительной плазме!) вообще не будет затухать. ) Может возникнуть вопрос о том, откуда возникает болыпое затухание, если «фазовая скорость» ыЯЙ лежит вне основного интервала тепловых скоростей. В действительности, однако, при З ) ш' об отношении !в'!!й вообще нельзя говорить как о фазовой скорости. Если снова разложить функцию вида е ' 'е ы в интеграл Фурье, то в нем будут присутствовать компоненты с частотами во всем интервале от О до з и соответственно с «фазовыми скоростями» от О до 7!!й. 176 Гл зп весстолкновиткльнля пллзмл 11г, г, р) = 8(р)ей ' (34.17) есть решение кинетического уравнения свободных частиц — +» — =0 дт" дт" дг дг (34.18) при заданном начальном (г = О) распределении по скоростям и периодическом ( сзз е'~г) распределении по координатам.
й 35. Плазменное эхо Термодинамически обратимый характер затухания Ландау проявляется в своеобразных нелинейных явлениях, называемых плазменным эхом. Эти явления возникают в результате тех незатухающих осцилляций функции распределения (34.16), которые остаются после бесстолкновительной релаксации возмущений плотности (и поля) в плазме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
