X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 32
Текст из файла (страница 32)
задачу). Для анизотропных распредЕЛЕНИй, ОдНаКО, Сь1 МОжЕт ОКаэатЬСя ОтрИцатЕЛЬНОй ВЕЛИЧИНОЙ электроны будут в среднем отдавать энергию волне, а не получать ее ). Такие случаи тесно связаны с возможной неустойчивостью плазмы (см. 3 61), и., таким образом, условие Я > 0 (а тем самыв1 и ел > О) является результатом лишь устойчивости состояния плазмы. С точки зрения описанной выше физической картины затухания Ландау.
наличие производной 112 /г1р,. в формуле (30.6) можно наглядно интерпретировать следующим образом; в обмене энергией с полем участвуют частицы со скоростями пт, близкими к и/й, причем частицы с п < о1,1'Й получают энергию от волны, а с и > о1/й -- отдают энергию волне; волна будет терять энергию, если первых несколько болыпе, чем вторых. Задача Показать, что для изотропной плазмы бесстолкновительная диссипация Я всегда положительна. Р е ш е п и е.
В изотропной плазме 1 — функция только от р = р, +р„ ,,1 1 1 (р,, и рт составляющие р, продольная и поперечная по отношению к 11). Пишем ~(Р*) = —,(У( ,'+ ') 3( ') = *(У'(.'+ ')3( '), 1гр. Лр, о а ) Произведенный вьппе наглядный вывод формулы (30.0) не связан с изотропиой распределения. Не связано с ней также и выражение (30.2)— см. ниже 3 32. пгооицлемость млксвклловской плазмы и поскольку у(р~) э 0 при рз — э ж, то = -2яр,Д(р~), ггр так что гО')ер ( 0 при р = ш1к ) О. 3 31.
Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы Применим формулу (29.10) к электронной плазме с равновесным (максвелловским) распределением электронов где 1е температура электронного газа (имея в виду включить ниже в рассмотрение также и ионную компоненту плазмы, будем сразу же отличать индексом е величины, относящиеся к электронам). Находим е1 (оз, й) = 1 + 1 + г (31. 2) где функция тг(х) определена интегралом ~ ) (31.3) зги з' и х 70 и'Я,1 з х и введены параметры (31.4) птс= ~ ее= ВЕЛИЧИНа Оте ЕСТЬ НЕКОтОРаЯ СРЕДНЯЯ тЕПЛОВаЯ СКОРОСТЬ ЭЛЕКТРО- нов; ае дебаевский радиус, определенный по заряду и плотности электронов.
Предельные выражения функции г'(х) для больших и малых значений х легко найти непосредственно из определения (31.3). При х » 1 пишем ') Различные формы представления функции Е(х) и ее подробные числеииые таблицы даны в книге: В.н. Фаддеева, 11.Ы. Тереигпьее. Таблицы значений интеграла вероятностей от комплексного аргумента. — у1.: Гостехиздат, 1954. Табулироваииая в этой книге функция ш(х) связана с Р(х) согласно К(х) = 1зУЯхш(х). б Л. Д. Ландау. Е.М.
Лифшиц, том Х 162 1'Л 1П ВесотолкВОВите2!ьпля пллзмА / 44 2 (И )2 Ии 'К/ Ы Здесь введен параметр е2 хте 4ЛЛ,ех 24е— а, ~~ т (31. 8) так называемая плпзл1еннал (или ленгмюровскал) частота для электРонов. Как и слеДовало, в слУчае 4П(фиге)» 1 ПРостРанственная дисперсия приводит лишь к малым поправкам в диэлектрической проницаемости, причем мниллая часть г4 оказывается экспоненциально малой — результат того, что в ллаксвелловском распределении лишь экспоненциально малая доля электронов имеет скорости е = и4/й» ет,.
Нсзавися1цее от е предельное значение диэлектрической проницаемости ( ) 1 141 1 )2 (31.9) Это выражение относится как к продольной, так и к поперечной проницаемости (см. (28.8)). Его легко получить с помощью простых рассуждений, без использования кинетического уравнения. Действительно, при к — + О поле волны можно считать однородным, и тогда уравнение движения электрона т2х = — еБ дает и =, так что создаваемая электронами плотность тока еЕ 3= Е Х2 21им Интегралы от нечетных по т членов обращаются в нуль, а остальные дают .г(т) +1 — — — — — +ел2яте ', т » 1.
(31.5) 2х2 4х4 При х « 1 производим сначала зал1ену переменной интегрирования г = и+ я:, после чего разлагаем по степеням:с: 2 2 х е 122 хе — и2 — эих44и х л1 — ие /1 и л1» 42'Л 2 — Х,/К и л47 '4 и ( Главное значение интеграла от первого (нечетного по и) члена обращается в нуль, а с учетом второго члена находим 1г(т) 2т2 + 1 42кт т. « 1 131 6) С помощью этих формул можно написать предельные выражения диэлектрической проницаемости.
При больших частотах имеем пвонвцлвмооть млксввлловскоя плввмы С другой стороны, имеем 3 = — АР = — ив Е. 4л Сравнение обоих выражений и приводит к формуле (31.9). В обратном предельном случае малых частот имеем с~ = 1+ ( — ') 1 — ( — ) +гй — — при — << 1. йит ( йпт. у 2 йпт ~ йпт, (31.10) Обратим внимание на то, что пространственная дисперсия устраняет полюс при ы = О, который имеет диэлектрическая проницаемость обычной проводящей среды. Отметим также, что мнимая часть проницаемости оказывается относительно малой (хотя и пеэкспоненциально) и при малых частотах., на этот раз в результате малости фазового обьсма электронов, в котором удовлетворяется условие 1сч = ы.
В 3 29 было показано, что функция с~(ы), определяемая интегралом (29.10), не имеет особых точек в верхней полуплоскости ы, а ее особые точки в нижней полуплоскости определяются особыми точками ф(р„) ~с1р„как функции комплексной переменной р . Но для максвелловского распределения функция ) сэр.,ехр ( — ' ) Лр 2тТ вообще не имеет особых точек па конечных расстояниях во всей комплексной плоскости р, (т.
с. является целой функцией). Поэтому и диэлектрическая проницаемость максвелловской бесстолкновйгельной плазмы является целой функцией ы не имеет вовсе особенностей при коне рных ы До сих пор мы рассматривали вклад в диэлектрическую проницасмостчь происходящий только от электронной компоненты плазмы. Вклад ионной части вычисляется точно тем же способом и оба вклада в е~ — 1 просто складываются, таким образом, приходим к очевидному обобщению формулы (31.2): ьл — 1 =, (г'( ) +11+ (г" ( ) +1~. (31.11) Индексы е и 1 отличают величины, относящиеся к электронам и ионам; (31.12) (М и ве масса и заряд иона).
Выражение (31.1Ц относится к «двухтемпературной» плазме, в которой каждая из компонент 164 Вьсггтолкнови'1вльнля плазмл ГЛ 1П имеет равновесное распределение, но с различными температурами, так что друг с другом электроны и ионы в равновесии не находятся. Такой случай возникает естественным образом ввиду того, что большая разница в массе затрудняет обмен энергией при столкновениях электронов с ионами.
Обычно приходится иметь дело с ситуацией, когда Т, < Т,; ПРИ ЭТОМ Гтг « Ьте. УЧИ1ЫВаЯ таКжЕ, ЧтО ВСЕГДа йг « Йег ЛЕГКО заключить, что в случае ог» йпт, » йпт, вклад ионов препебрежим, так что справедлива формула (31.7). В обратном предельном случае имеем сг — 1= + +1, 1 'уйо,)г (йо,)г )гг 2 яа,)ейет, ' (31.13) Ог « йггт; « йище. Случай же йпт; « цг « йпт, будет рассмотрен в 8 32. Все вычисления в этом и предыдущем параграфах произведены для продольной части диэлектрической проницаемости. Вычисление поперечной проницаемости представляет меньший интерес.
Дело в том, что поперечное поле обычно сводится к обычным электромагнитным волнам, для которых частота и волновой вектор связаны соотношением ог/й = с,г геь При этом цг,г'й > > с» ит„т. е. Вг» йоте, поэтому пространственная дисперсия мала и диэлектрическая проницаемость дается формулой (31.9). Для этих волн отсутствует также и затухание Ландау; поскольку фазовая скорость волны превышает скорость света, то в плазме нет частиц, которые могчли бы двигаться в фазе с волной (строго говоря, доказательство этого утверждения требует релятивистского рассмотрения — см.
задачу 4). Задачи 1. Найти потенциал электрического поля, создаваемого покоящимся в плазме малым точечным сторонним зарядом ег. Р е ш е и и е. С учетом поляризации плазмы, поле определяется уравнением ббге11 = 4яега1г). Для постоянного поля компоненты Фурье индукции и потенциала связаны соо сношением 11к = ег(0, й)Еа = — 11сег(0, й)угк.
1!оэтому для Эга находим уравнение 11111к = йэег(0, й)уак = 4яег. Взяв ег(0. й) из (31.13), имеем 41гег г -г о =о, Эа, йг+ а г' Соответствующая координатная функция уа = — е таким образом, диэлектрическая проницаемость (31.13) описывает экранирование статического заряда в согласии с У, 3 78. Условие малости заряда: ег « гуа' е, — ег должно быть мало по сравнению с зарядом частиц плазмы з в объеме а . з 165 пгоницлвмость ыаксвклловской плазмы 2. Вычислить поперечную диэлектрическую проницаемость плазмы.
Р е ш е и и е. Вычишзив электронную поляризацию Р = — 3/(гиш) с 4 из (29.3), получим дпя тснзора проницаемости '): 4яе / и д/ з в в=б в — — ( — Нр. ./ 1съ — вв — 10 дрв Поперечная часть выделяется из в В как 1) Й Йв) е~ = — е — в в Й ! и дается интегралом 2вгеэ / д/ аар ев=1 — — / Ат дрт Ет — ш — 10 (2) где рт = титл — поперечная по отношению к к компонента импульса. Для максвелловского распределения / после интегрирования по а рз находим окончательно е,— 1= — 'Р~ (3) ш' г,э/2Йит / с функцией Е из (31.3); ионы вносят в вв — 1 аналогичный вклад. В предельных случаях (4) шэ ~ ~, ш ) ~ )~ 2ввйа, 1, 2Йзитэ,/ ( в » Йит, » Йит,), /х П, в,— 1=— — + г~) —— (Йа,)э (Йа;)э У 2 ввйа,. з /(р)= ',е 8я7'а Для продольной проницаемости находим 4яе~с ~ ~ /(р) сов В 2яр ВрдсовВ ~ — 1= ЙХ, Йс сов  — шl — 10 (б) ( — угол между 1г и и).
Интегрирование / по 2вгрв др дает 7э',/2, после чего интегрирование по асов В с обходом полюса сов В = ш/1Йс) снизу приводит к ы ) В этом выражении плазма еп1е не предполагается изотропной. Ов « Йит « Йит ). 3. Определить диэлектрическую проницаемость ультрарелятивистской электронной плазмы; теътература Х, » тсэ (В.П. Силин, 1960). Р е ш е и и е. Кинетическое уравнение сохраняет свой вид (27.9) и в релятивистском случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
