X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Соответствонно сохранятся такие формулы, как (29.9) и (2) из задачи 2. В ультрарелятивистсколг случае скорость электронов и с, их энергия есть ср, а равновесная функция распределения 166 весотолкновитель~ля пллзмл гл 1п результату (8) ы(),э 1 ) тс ~ 1 эяго -эргр '( г. (,т-руку ')) „=,Г Этим определяется закон обращения е)' в нуль при ы/(сй) э 1. 9 32. Продольные плазменные волны Пространственная дисперсия приводит к возможности распространения в плазме продольных электрических волн.
Зависимость частоты от волнового сектора (илн, как говорят, закон дисперсии) для этих волн определяется уравнением Е1(со.,й) = О. 4хХ,е ( ьр ы — сй ) ~,'(~,й) — 1 = ' )1+ — 1 йвТ ) 2йс ытсй ) (7) ( хы)(2йс) при и(й ( с, е~ (ы,й) = О при ы/й > с. Аналогичным образолц исходя из (2), находим для поперечной прони- цаемости , (,„й) ( ~(1 — '1'(сэйэ)] щуи ы/й < с, О при ы/й > с. 4.
Найти мнимую часть е~ для перелятивистской (Т, << тсв) электрон- ной плазмы при ы/й с » ст, (В.П. Силин, 1960). Р е ш е н и е. Из формулы (29.9) (справедливой при любых скоростях электронов) после интегрирования по д сов В находим р 8хзе~ы !" ((Р)Рэ тол (9) р (полюс совВ = ы/(йо) лежит на пути интегрирования по сов В лишь при шайс) ( 1; поэтому нижний предел интегрирования по др отвечает значе- нию ь = ьу/й). Функция распределения при Т, (( гпс, справедливая для всех скоростей электронов, есть Х, ~(Р)'У ° В Ц ((р)= ' ехр( — — — ), с=с(р +т с ) (2хтТ„)МР 1, Тр Т, ) ' (значоние нормировочного интеграла определяется областью е — про 2 р 7(2п~) — Т„<( ьчсз). В интеграле (9) при и/й с >> ст,, суп1ествен- на область значений р вблизи нижнего предела. Полагая в экспоненте Йе Ю е р) — г(р ) ч- — (р — р,„) = с(р ) ч- — (р — р, ) др р=р й (а в предэкспоненциальном множителе р р„„ с ыуй) и интегрируя по р — р„, от О до оо,получим 167 пРОДОльпык п тазмвнныа ВОлны 132.4) Йа, «1, как это следует при о> = Г)е из 132.2).
Для определения зависящей от к поправки в веюественной части частоты, достаточно положить а! = Йе в поправочном члене в в', тогда получим г) (1+ о~2 2) 132.5) ( А. А. Власов, 1938) . Мнимая же часть частоты при этом о> = — -Й,в! 1со, Й) 132.6) и экспоненциально мала вместе с вс . Для ее определения Свыестс! с предэкспонснциальным множителем) надо подставить в в!с' уже подправленное значение 132.5). В результате получим l к >1, ~ 1 81 8 Сна,)э 21Ьа,)э 2" 132.7) ) Учет колебаний ионов привел бы лишь к малому сдвигу этой частоты: 11э + Ое Действительно, при в! = О для продольного электрического поля Е имеем 1д = О.
Положив также В = О, мы тождествешю удовлетворим второй паре уравнений Максвелла 128.2). Р1з первой же с>ары остается уравнение госЕ = О, выпо:снение которого обеспечивается продольностью >юля: гос Е = г)1сЕ) = О. Корни уравнения 132.1) оказываются коьлплексныкли Ссо = о>'+ со!Л). Если мнимая часть проницаемости в~~' ) О, то эти корни лежат в нижней полуплоскости комплекснспо переменного со, т. е. П>л < О. Величина у = — сол представляет собой дскремент затухания волны, происходящего по закону в '!. Говорить о распространяющейся волне можно, конечно, лишь если у « со' - . дскремент затухания должен быть мал по сравнению с частотой. Мы получим такой корень уравнения 132.1), предположив, что О> )) опте )) ос!ГЬ 132.2) Тогда в колебаниях участвуют лишь электроны и функция ссссо, й) дается формулой 131.7).
Рс!шение уравнения в! = О осуществляется последовательными приближениями. В первом приближении, опустив все зависящие от к члены, найдем, что ') о> = Й„132.3) т. е. волны имеют постоянную, не зависящую от Й частоту. Эти волны называют г>лавменнымс>, или лепгмюровскими !'1. Вап8тиск В. ТопЬ, 1926). Они являются длинноволновыми в том смысле.
что 168 Гл ш Весстолкнопитвльнля пллзмл (Л.Д. Ландау, 1946). В силу условия йа, « 1 декремент затухания плазменных волн действительно оказывается экспоненциально малым. Он возрастает с уменыпением длины волны и при Ва» 1 (когда формула (32.7) уже неприменима) становится того же порядка величины, что и частота, так что понятие о распространяющихся плазменных волнах теряет смысл. Проведенное рассмотрение относится, строго говоря, лишь к изотропной плазме, в которой тензор диэлектрической проницаемости сводится, согласно (28.7), к двум скалярным величинам е~ и гп В анизотропной плазме (т, е, при зависящей от направления р функции распределения 1(р)) не существует строго продольных волн. При определенных условиях, однако, в ней могут распространяться «почти продольные» волны, в которых поперечная по отношению к вектору 1с составляющая поля, Е~О, мала по сравнению с продольной составляющей ЕО): ЕО1 «ЕЮ (32.8) Для выяснения этих условий замечаем прежде всего, что в пренебрежении Е10 из уравнения г11г 1Э = 0 следует, что ИЭ = й е дЕ, = — *к ИуеадЕ' = О.
Ю 1,.(0 1 Это равенство, определяющее закон дисперсии волн, можно снова записать в виде (32.1), если определить «продольную» проницаемость как е~ = —.,й )чу д; 1 (32.9) подчеркнем, что эта величина зависит теперь от направления 1с. Однако из условия е~ = 0 уже пе следует равенство 1Э = 0; величина 1Э„= е„дЕд — — е„л — Е = еВЕ 10 — кв (О = (О й отлична от нуля (в изотрошюй же плазме е„= 0 при е~ = 0). Далее, из уравнения Максвелла гоСВ = с 1д1Э/д1 находим оценку магнитного поля в волне:  — аЕ01 ВВ и затем из уравнения го$ Е = — с 'дВ/д1 — оценку поперечного электрического поля (32.10) ВК ~сй/ Таким образом, условие «почти продольности» (32.8) удовлетворяется, если волна является Вмедленной» в том смысле, что м/Й « с lт(е.
(32.11) 169 ПРОДОлы!ыв п,ллзманныь ВОлны Отметим, наконец, что формула 129,10) остается справедливой и для определенной согласно 132.9) величины е! в случае анизотропной плазмы, как это ясно из ее вывода из выражения 1«Р = — Я а ВЕ(~ — 1«Е) 4я с продольным полем Е. При этом существенно, что в кинетическом уравнении 22ожно пренебречь лоренцевой силой е~згВ1~с по сравнению с еЕ охот!! ее произведение с д~/др и не обращается теперь . при анизотропной функции 11р) - - тождественно в нуль).
Действительно, с оценкой 132.10) имеем йиВ) ! Ысп сВ!О йсз Это отношение мало как в силу условия «медленностиа волны 132.11), так и в силу й « с. Задачи 1. Определить закон дисперсии поперечных колебаний плазмы. Р е ш о н и е. Для поперечных воли закон дисперсии дается соотношением и!~ = сзк22!е!. Высокочастотные колобания 122 >> кит,) соответствуют обычным электромагнитным волнам. С е! из 131.9) 1сз!. также задачу 2 3 31) находим ш =с~к +йз. Это выражение справедливо для любых значений /г; затухание Ландау отсутствует, как уже было указано в конце 2 31.
Для низкочастотных колебаний 1ь2 «йиг,) движение ионов тоже оказывается несущественным. Для длинных волн 1ЙВ, (( 1) главный член в законе дисперсии 2 кзсзит «2 = — ! = Г "," я. йз чисто мнимое и2 означает апериодическое затухание, так что о распространении волн вообще нельзя говорить. 2. Найти закон дисперсии плазменных волн в ультрарелятивистской электронной плазме 1В.И.
Силин, 1960). Р е ш е н и е. При ы » «1 из полученной в задаче 3 3 31 формулы имеем !22 )х «22 ( ' где 4ле2Х,с 3Т, Приравняв это выражение нулю, получим закон дисперсии «22 = йе „„-Р -с!й' ась « й, „, ) При увеличении к эта формула становится неприменимой, но всегда остается и2 > сй 1и поэтому. затухание Ландау отсутствует). В предельном случае 170 гл п1 вксстолкновиткльпля плазмл болыпих й частота ы стремится к сй по закону ы = сй ~1 -~- 2 ехр ( — — 2) 1 .
3. 'Го же для поперечных волн. Р е щ е н и е. С помощью выражения е~(ы,й), полученного в задаче 3 3 31,находим закон дисперсии =й,р,„+ — с Й при ы»сй. 2 е б в е о Предельное выражение при болыпих й; 2 И здесь всегда остается ы > сй,и потому затухание отсутствует. й 33. Ионно-звуковые волны Наряду с плазменными волнами, связанными с колебаниями электронов, в плазме могут распространяться также и волны, в которых испытывают существенные колебания как электронная, так и ионная плотности.
Эта ветвь спектра колебаний имеет слабое затухание (и потому можно говорить об их волновом распространении) в случае, когда температура газа ионов в плазме мала по сравнению с температурой электронов: Т, «2ю (33.1) Как будет подтверждено результатом вычисления, фазовая скорость этих волн удовлетворяет неравенствам пр1 « оч' й « н7'е (33.2) Малость затухания Ландау в этих условиях заранее очевидна: поскольку фазовая скорость лежит вне основных интервалов разброса тепловых скоростей как ионов, так и электронов, лишь малая часть частиц может двигаться в фазе с волной и тем самым участвовать в обмене энергий с ней.
Вклад электронов в диэлектрическую проницаемость в условиях (33.2) дается предельной формулой (31.10), а вклад ионов формулой (31.7) (с заменой электронных величин ионными). С нужной точностью: е~ = 1 — — '+ 1+(с — — . (33.3) (йа„)е ( ~( 2 йат,~ Пренебрегая сначала относительно малой мнимой частью, из уравнения ез = 0 получим 2 -2 Йа,, в7, Й (ЗЗА) ' 1 Э- й'а,' ЛХ 1 Э- Йзаз (в последнем выражении использовано, что Хе = кХ;). 171 Релаксация иачлггьпого возмущения lду 8 34. Релаксация начального возмущения Рассмотрим задачу о решении кинетического уравнения с самосогласованным полем при заданных начальных устовиях ') Закон (33.6) найден Леигмгором и Тоиксом (1926), а ивобходилюсть условия (33.1) указана Г.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
