X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ландай (1946). К обоснованию правила (29.6) можно подойти также с другой точки зрения, путем введения в кинетическое уравнение бесконечно малого интеграла столкновений, представленного в виде Ю у = — ио)". Добавление такого ч.лена в правую часть уравнения (29.1) эквивалентно замене ш — ~ ш+ гм в члене дб~/д6 = = — и ~бу"; устремляя затем и — > О, получим снова правило (29.6) 1). При интегрированиях с правилом обхода (29.6) мы имеем дело с интегралами вида г" (с) дх х — 66 В таком интеграле путь интегрирования в плоскости комплексной переменной я проходит под точкой я = гб; при 5 — э 0 это эквивалентно интегрированию вдоль вещественной оси с обходом полюса я = 0 по бесконечно малой полуокружности снизу.
Вклад в интеграл от этого обхода определяется полувычетом подыптегрального выражения, и в результате получим дя =,г' ~( ) де+ мту"(0), (29Л) -ю 2 где перечеркнутый знак интеграла означает, что интеграл берется в смысле главного значения. Эту формулу можно записать и в символическом виде = Р— + Ыб(я), (29.8) я — 60 я 5) О ) В изложенных рассуждениях содержатся по существу два перехода к пределу: к малым полям (липоаризация уравнений) и к и -э О.
Обратим внимание на то, что первый производится до второго. Необходимость именно в таком порядке предельных переходов связана с необходимостью соблюдения ус ювия Ц « Го при линеаризации:, при и = О добавка 6у обращалась бы в бесконечность при йч = ьь 156 ГЛ 1П ньс11толкнопн'1кльнля пллзмл 4ле / д7 др (29.9) Во / др 1сч — о1 — 10 Выберем направление 1с в качестве оси х. В подынтегральном выражении в (29.9) от рю р, зависит лишь 1. Поэтому формулу (29.9) можно переписать в другом виде, введя функцию распределения только по р, = те,1 10*) = байр) 1ррдр' Тогда 411ео ф(р,.) др„ е1=1— К 11р,, ое„— м — 10 (29.10) В изотропной плазме 1(р ) . четная функция р, .
Сразу жс отметим важный результат; диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплексной величиной; мнимая часть интеграла (29.10) определяется формулой (29.7). К обсуждению этого важного результата мы возвратимся в следующем параграфе, а здесь рассмотрим аналитические свойства функции частоты ее, определяемой интегралом (29.10). Уже из общих свойств диэлектрической проницаемости известно, что эта функция может иметь особые точки только в нижней полуплоскости комплексной переменной ее (см.
ЛП, 5 62); это является следствием уже самого определения (28.5). Полезно, однако, проследить за тем, как это видно непосредственно из формулы (29.10), .и выяснить связь между этими особыми точками и свойствами функции распределения 1'(р,). Изменив обозначение переменной интегрирования, напишем интеграл в (29.10) в виде Г ф(е) ~Ь 11е е — оо,% с (29.11) где символ Р означает взятие (при дальнейших интегрированиях) главного значения. Вычиш1им продольную часть диэлектрической проницаемости плазмы. Воспользуеллся для этого первым из соотношений (29.4), подставив в него бр из (29.3) и (29.2)1 дз 11~Р 12Е / о / др 1(11ъ. — оо — 10) Пусть поле Е (а с ним и Р) направлено вдоль 1с; тогда 4ЛР = = (е~ — 1)Е.
Мы приходим, таким образом, к следующей формуле для продольной п1>оницаемости плазмы с произвольной стационарной функцией распределения 1(р) (индекс 0 у которой ниже опускаем): 157 эАтухлние ллндлу Интегрирование производится в плоскости комплексной переменной в вдоль вещественной оси, с обходом точки в = ь7ф снизу (рис. 7а). Тем самым интеграл (29.11) определяет аналитическую функцию и во всей верхней полуплоскости ал для всех таких значений ы полюс л = ь7,71' обходится, как и следовало, снизу. При ана- О литическом же продолжении этой функции в нижнюю полуплоскость ы необходимость обхода полюса снизу требует каждый рэз соответствующего смещения ч пути интегрирования (рис. 7 б). Но функс ь ция ф(в)/дэ, регулярная при вещественных в, имеет, вообще говоря, особые точ- о ки при комплексных значениях в (назовем их ьв), в том числе в нижней полуплоскости в.
Увод пути интегрирования С от но- рис. 7 люса г = ы/Й оказывается невозможным, когда этот полюс сближается с какой-либо из особых точек ло и контур С оказывается зажатым между этими двумя точками. Таким образом, функция (29.11) имеет особые точки в нижней полуплоскости ю при значениях ю/к, совпадающих с особыми точками функции ц('(в),7сЬ. га 9 30. Затухание Ландау е~' — — — 4х~е I — У вЂ” б(м — 1съ ) ~1зр / дрй' (30.1) или л 4х'с4т 47(р„) е~ ~г (30.2) Как известно, комплексность диэлектрической проницаемости означает наличие диссипации энергии электрического поля в среде. Напомним формулы, определяющие среднюю диссипируемую (в единицу времени в единице объема) энергию Я монохроматического электрического поля.
Если это поле представлено в комплексном виде цыг — мО) Уже было отмечено, что диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплексной величиной (е1 =е~~+4е1~'). Отделив мнимую часть с помощью формулы (29.8), имеем 158 ГЛ. П! весстолкиовительиАИ плАзмА то в общем случае апизотропной среды ') Я = — — '(ЕЗ (оз,1с) — воз(оз,1с)~ Е*ЯЗ; (30.3) диссипация определяется антиэрмитовой частью тензора е 3.
Если этот тензор симметричен, то антиэрмитова часть сводится к мнимой части и тогда (сл = Е В (ОЗ )С)Ео ЕЗ. (30.4) В случае продольного поля здесь остается только мнимая часть продольной проницаемости: (,) = — е~")Е)~. (30.5) Подставив скзда (30.2), находим в данном случае д ~Е~2кще ш ву(рг) (30.6) 2ае ор, е, =м1к Таким образом, диссипация возникает уже в бессголкповительной плазме; это явление было предсказано Л.Д.
Ландау (1946) и о нем говорят как о затухании Лин()иу. Не будучи связано со столкновениями, оно принципиально отличается от диссипации в обычных поглощающих средах: бесстолкновительная диссипация не связана с возрастанием энтропии и потому представляет собой термодинамически обратимый процесс (к этой стороне явления мы вернемся еще в 3 35). Механизм затухания Ландау тесно связан с пространственной дисперсией. Как видно из (30.6), диссипация возникает от электронов, скорость которых в направлении распространения электрической волны совпадает с фазовой скоростью волны (п = оз/Й); о таких электронах говорят, что они движутся в фазе ') Это выражение получается из общей формулы с) = (еР)г'4л, где угловые скобки означают усреднение по времени (см.
У111, 3 6Ц. Здесь подразумевается, что Е и 11 вещественны. Если же Е представлено в ком- плексном виде, то в формулу надо подставить вместо Е полусумму (Е+ -'; Е")/2. Соответствующий вектор Р имеет компоненты 1 — (в,в( ЫЕв -Л в.в( —, — ЫЕ,"з), а вектор 11— лгв — ( — ве в (ш, 1с)ЕЕ -Ь в ( — ш, — 1с)ЕЗГ ) Усреднив произведение Е11 и воспользовавшись свойством ( 28 . 6), получим (30.3) (ср. ниже примеч. на с, 169). 159 э за ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ с волной ). По отношению к этим электронам поле стационарно и поэтому оно может производить над электронами работу, не обращающуюся в нуль нри усреднении по времени (как это имеет место для других электронов, по отношению к которым поле осциллирует).
Поучительно проследить за этим механизмом более детально, выведя формулу (30.6) прямым образом, не прибегая к кинетическому уравнению. Пусть электрон движется вдоль оси х в направленном по этой же оси слабом электрическом поле Е(1, х) = Пе )Еае'(в йем); (30.7) множитель е снова описывает медленное включение поля от времени 1 = — оо.
Будем искать скорость ат: — ю и координату х движущегося электрона в виде и0 = иза + Йод х = ха + бх, где бю, дх — поправки к невозмущенному движению ха = и>ай, происходящему с постоянной скоростью ю~. Линеаризованное по малым величинам уравнение движения электрона: т = — еЕ(1, ха) = — е Ке)Еаее"'(ме (в~ем) Ж Отсюда дю = — — Ке (30.8) бх = — — 'Ке ш И( Π— ю!й) -Ьб)2 Средняя работа, производимая полем над электроном в единицу времени, есть д = — е(и)Е(1,х)) = — е(ша+ йи)Е(1,ха + бх))— I дЕ = — еша (, бх 1 — е(бш .
Е((, ха)), (1д0 ) или, в комплексном виде ), л = — -КЕ1таабх — +дш Е ь. е ( дЕ* 2 дяе ) Отметим в этой связи, что разность 00 — ку есть частота поля в системе отсчета, движущейся вместе с электроном. в) Если две периодические по времени величины А и В представлены в комплексном виде (Сзэе ' ), то (КеА йеВ) = — ((А-ь А )(В -ь В")). 1 При усреднении произведения АВ и А*В*, содержащие е и"' и ев' ', обращаются в нуль и остается (КеА йеВ) = -(АВ* -~-А" В) = — Ке(АВ*).
1 „„1 4 2 160 ГЛ 1П вьс11толкноои'1кльнля пллзмл Подставив сюда Е, дх, дп1 из (30.7), (30.8), после простого приведения получим ~Е~2 о шод 2т Ни1а 31 + ке(шо — ы11Ь)в Теперь остается просуммировать д по электронам со всевозможными начальными импульсами р, = тш01 2 ./ де -Ь Ь'(ш11 — ~//с)е 4р (произведено интегрирование по частям). Переход к пределу осуществляется с помощью формулы 1пп = 1гд(я) (30.9) 3 †31 -~- сз и непосредственно приводит к выражению (30.6).
В соответствии с обратимым характером бесстолкновительной диссипации, термодинамические условия не требуют положительности величины ь,1 (как это имеет место для истинной диссипации). Выражение (30.6) всегда положительно при изотропном распределении 1(р) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
