X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Резуль- тат (23.15) соответствует, конечно, общей формуле Найквиста для равновесных флуктуаций тока (см. 1Х, '8 78). Действительно, рассмотрим цилиндрический вдоль оси х объем газа. Поскольку плотность тока уже усреднена по объему, то полный ток 7 = у Я, где Я вЂ” площадь сечения цилиндра. Из (23.15) имеем тогда ( 72) 2Таое 2Таа 2Т (23.16) 'р ь 1с (23.15) где А = )Усср длина образца, а Л = ТссссЯ вЂ” его сопротивление ).
При Е ф 0 уравнение (23.9) решается последовательными приближениями, подобно тому, как решалось уравнение (22.6). Но в го время, как уравнение (22.6) определяло скалярную функцию, уравнение (23.9) написано для векторной функции. Первые члены разложения такой функции (зависящей от двух векторов .- постоянного Е и переменного р) напишем в виде ~~ У)(са,р) = Ь(ш,р)и+ е/до(са1р) + пе81(ш,р)), (23.17) причем 81 « 8о (здесь п = рсср, е = Е,СЕ).
Функция же 7(р) есть у (Р) = у о(р) + пе11(р) (23.18) с вычисленными в предыдущем параграфе /о и 71 = еЕЦ~,(п. 5 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х ' ) При сравиепии с 1Х (78.1), надо учесть, что Ьс 1 « Т и что в силу условия штр « 1 дисперсия проводимости отсутствует, так что а = й. 130 диФФуоио!!Нов пгивли!канин ГЛ !1 Подставим (23.17), (23.18) в уравнение (23.9) и отделим в нем члены, нечетные и четные !ю р. Снова полагая шг, « 1, получим, собрав нечетные члены: — (бп+ 8!е(пе)) — е ~е — ) сЕ = —: о дя, Хо~, др) здесь опущены члены, заведомо малые (в отношении г!!1М) по сравнению с написанными.
Отсюда Ь(р) = — )о(р))! К!(ь! р) = ~' 'Р (23 19) Что касается четных по р членов, то они должны удовлетворять уравнению (23.9) лишь после усреднения по направлениям р в соответствии с тем, что выражение (23.17) дает лишь первые члены разложения искомой функции. После несложного вычисления (с использованием выражений (23.19)) получается следУютцес УРавнение длЯ фУнкции 8 о(ш, Р): — гш8о+ —,— (р Я) = — ) еЕЬ1о+ — р1о (23.20) 1д 2 1 2еЕ1 д р'др У ~ Зр др где 1, 2 + , 7 дяо ' Е 1!и дяо — — Р 8о+ ьвР 1ЛХ ( др Зр др Это уравнение надо решать при дополнительном условии Х Ко(о! Р) !! Р = " (23.21) к которому сводится (23.11) при подстановке в него (23.17).
По известной функции 8( ь1 искомый коррелятор тока определяется формулой (23.12). При подстановке в нее разложения (23.17) и простого преобразования с использованием (23.19) получается 2е'1 1 з („).=Б.,— ' А1— ЗР ./ — ЕаЕБ Ъо(о! р) + 8о( — ш, р)) — Р. (23.22) Член — гь!до в уравнении (23.20) становится существенным при ш г!!и1М1, т. е. при шт, 1, где т, — - врет!я релаксации по энергияъл злектронов. С таких частот начинается, следовательно, дисперсия флуктуаций тока.
В общем слу гас уравнение (23.20) очень сложно. Ограничимся, для иллюстрации, случаем малых частот, ь!т, « 1! и сильных полей, удовлетворяющих условию у» 1, где у параметр 131 1 24 РККОМБИНАЦЯЯ И ИОНИЗАЦИЯ (22.13). В силу последнего условия, функция Д(р) дается выражением (22.18). Вычисление интеграла в первом члене в (23.22) дает ЗЗМГ(3/4) Р' т т Во втором члене в (23.22) ограничимся буквенной оценкой. Из уравнения (23.20) (без члена — цояо) находим оценку еЕ) М~ Ко -,, то.
р Интеграл оценивается затем как еэ1ЯЯЯрз р В результате находим для коррелятора тока выражение (~'„уд),„= ' ( — ) ( — ) ~0, бд„р — Д "' ~, (23.23) где )3 1 — численная постоянная. 3 24. Рекомбинация и ионизация Установление равновесной степени ионизации в частично ионизованном газе осуществляется путем различных элементарных актов столкновительной ионизации и обратной рекомбинации сталкивающихся заряженных частиц. В простейшем случае, когда в газе имеется (помимо электронов) лишь один сорт ионов, процесс установления ионизационного равновесия описывается уравнением вида (24.1) ' =,3 — озУ,Х,.
<й Здесь ~3 число электронов, образующихся в 1 с в 1 сл4З (при столкновениях нейтральных атомов или путем ионизации атомов фотонами); это число не зависит от наличных плотностей электронов Л', и ионов зУь Второй же член дает убыль числа электронов благодаря их рекомбинации с ионами; величину и называют ко~~~ициентом рекомбинации.
Процесс рекомбинации обычно весьма медлен по сравнению с остальными процессами установления равновесия в плазме. Дело в том, что образование нейтрального атома при столкновении иона с электроном требует уноса освобождающейся энергии (энергии связи электрона в атоме). Эта энергия может излучиться в виде фотона (радиационная рекомбинация); в таком случае 132 диФФузионыов пгивли»канин медленность процесса связана с малостью квантовоэлектродинамической вероятности излучения.
Освобождающаяся энергия может быть также передана третьей частице -- нейтральному атому; в этом случае медленность процесса связана с малой вероятностью тройных столкновений. Все это приводит к тому, что рекомбипацию часто имеет смысл изучать в условиях, когда распределение всех частиц можно считать л1аксвелловским. В равновесии производная 111»1«»»Ж обращается в нуль. Отсюда следует, что величины ст и 13 в (24.1) связаны друг с другом соотношением 11 = с« ~О«.й 011 (24.2) где ХО« и 1"»!О; . равновесные плотности электронов и ионов, определяк»щиеся соответствующими термодинамическими формулами (см. У, ~ 104) ').
Коэффициент радиационной рекомбинации вычисляется непосредственно по сечению рекомбинации пре при столкновении электрона с неподвижным ионом (скоростью иона можно пренебречь по сравнению со скоростью электрона): ст (пепрек) ! (24.3) где усреднение производится по максвелловскому распределению скоростей электрона ье (см, задачу 1). Радиационная рекомбинация существенна, однако, лишь в достаточно разреженном газе, когда тройными столкновениями частиц можно вовсе пренебречь. В монсе разреженном газе основным механизмом является рекомбинация с участием третьей частицы -- нейтрального атома.
Именно этот механизм мы и рассмотрим теперь подробнее. При столкновении с атомами энергия электрона изменяется малыми порциями. Поэтому процесс рекомбинации начинается с образования сильно возбужденного атома, а при дальнейших столкновениях этого атома происходит постепенное «опускапие» электрона на все более низкие уровни. Такой характер процесса позволяет рассматривать его как «диффузию по энергии» захваченного электрона и соответственно применить к нему уравнение Фоккера-Планка (Л.П. Питпаееск11й, 1962). Введем функцию распределения захваченных электронов по их (отрицательным) энергиям е.
Основную роль будет, естественно, играть «диффузия» по области энергий ~е~ Т. Напомним в этой связи, что температуру надо во всяком случае считать здесь малой по сравнению с иопизационным потенциалом атомов 1; при Т 1 газ был бы уже практически полностью ионизованным (ср. Ъ', 3 104). ') Б случае радиационной рекомбинации равновосность состояния предполагает также и равновесность излучения в плазме. 1 24 РЯКОМБИЯАЦЯЯ И ИОНИЗАЦИЯ Уравнение Фоккера — Планка; Я = —  — — А)'. (24.4) дб дг дг Как обычно, коэффициент А можно выразить через В из условия в = О при 2 = 2 ш где 2 о — равновесное распределение. После этого поток в примет вид а = — В2о — —. (24.
5) дг ~о «Коэффициент диффузии» В(е) определяется по общему правияу как 2 2 7о(р,г) = (2ятТ) з~~е *7г, е = 2 — — ' (24.7) 22Я (о ее нормировке см. ниже); движение электрона при ~е~ Т << 1 квазиклассично, что и позволяет использовать для энергии е ее классическое выражение. Функция же распределения по е есть, следовательно, 2о(е) с1е = (2я2пТ) ~~~с'~72 т(е) де, (24. 8) обьем фазового пространства, отвечающий иитерва- где т(е) лу Жж ( ) =/Б(~ ~А — — — ) б'*2Ъ. 22и (24. 9) Заменив сРтд~р = 4ятвд2 4ярвйр и произведя интегрирование, получим Д 2( 2)2 222 (24.10) (Р(М2 Для формулировки укшовий, определянпцих нужное нам решение уравнений (24.4), (24.5), удобно считать, что наличная плотность электронов в газе 2У, » 2УЯ,, тогда в (24.1) можно пренебречь скоростью ионизации )1, так что убыль 2У, будет определяться одной лишь рекомбинацией.
В этих условиях постоянное значение потока я в стационарном решении уравнения (24.4) В(,) Е(~Р)2 (24.6) 2б2 где 2Ае — — изменение энергии возбуждения атома при его столкновении с невозбужденным атомом; вычисление В(е) по этой формуле сводится к решению механической задачи о столкновении и последукяцсму усреднению по скорости невозбужденного атома (см, задачу 2). Для нахождения функции 2о(е) замечаем, что равновесное распределение по импульсам и координатам для электрона в кулоновском поле заряда ве (заряд иона) дается формулой Больц- мана 134 диФФузиоиыое цеивлизквнии Гл н И вЂ” = сопв$ / — + 1. 1 1!1Ц уо В ус о Константа будет совпадать с — ст, если определить ее так, чтобы удовлетворилось условие (24.12). Таким образом, находим окон- чательно — д)е).
1 )' с(~е) 2Тз!! 1 е-! Пт ~а~'П! сз,/ В1е !тв!'(ве')в / В( — !ф 0 о (24.13) Эта формула относится к процессу! в котором роль «третьего тела» играет невозбужденный атом. Если газ уже сильно ионизован (что, однако, еще совместимо с условием Т « 1) и достаточно плотен, основная роль может перейти к рекомбинации с участием второго электрона в качестве третьего тела. Скорость рекомбинации становится тогда пропорциональной зт'2%„зак что коэффициент рекомбинации, определенный по-прежнему согласно (24.1), будет сам пропорционалея Хе. Поскольку релаксация по энергии при электронных соударениях происходит быстро, изложенный метод вычисления коэффициента рекомбинации в этом случае неприменим.
Задачи 1. Найти коэффициент радиационной рекомбинации с захватом электрона на основное состояние атома водорода при температурах Т << 1 (1 = = е~т((21!') . потенциал ионизации атома водорода). прямо дает значение коэффициента рекомбинации (я = сопя( = = — ст), если только функция 1(е) должным образом нормирована. Именно, на самых верхних уровнях (И « Т) электроны находятся в равновесии со свободными электронами; это значит, что должно быть )'(е)/Д(е) э 1 при ~е~ — э О, (24.11) причем нормировка Д(е) должна отвечать одному свободному электрону в единице объема (что и выполнено в (24.7)). Для нахождения второго граничного условия (при г — э — сс) замечаем, что распределение на глубоких уровнях возбужденного атома пе возмущено наличием свободных электронов и не зависит от их числа; оно пропорционально равновесному числу Мое, а НЕ фаКтИЧЕСКОМу Хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
