X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Уже в следующем приближении появляется зависимость от плотности вида >! = >Го(1+о774 ), Ч = >1о(1+ 1~11 ), (181) где а! . параметр порядка величины молекулярных размеров, а о! Д безразмерные постоянные. Эти первые поправки имеют двоякое происхождение, отраженное в поправочных членах Ы') 12) и 81 в кинетическом уравнении.
Тройные столкновения (частота которых пропорциональна Х ) приводят к уменьшению длины пробега. Нелокальность же парных столкновений приводит к возможности передачи импульса и энергии через некоторую поверхность без ее фактического пересечения сталкивающимися частицами: частицы сближаются па расстояние д и затем расходятся, оставаясь по разные стороны от поверхности; этот эффект приводит к увеличению потоков импульса и энергии. Решение задачи о теплопроводности и.ли вязкости с уточненным кинетическим уравнением (17.12) должно строиться по той же схеме, которая была описана в 8 6 8.
Ищем функцию распределения в виде г = Д(1+ Х(Т), где Д локально-равновесная функция, а х(Т 1/1 малая добавка. Интеграл тройных столкновений Ы~1, как и 8$в, обращается в нуль функцией )ш Поэтому в нем надо удержать член с >Г, в результате чего интеграл Ы~! оказывается по отношению к больцмановскому интегралу Ы ~ поправкой относительного порядка (Г!7г) . В ин(г> теграле >ке о1, содержащем пространственные производные функции распределения, достаточно положить Г = Д; в этом (2) смысле член 81~! должен быть отнесен к левой части уравнения, в которой он дает поправку того же относительного порядка (ЫЯз.
Таким образом, оба дополнительных члена в ки- 103 ВИРИАЛЫ10В РАЗЛОЖКНИЬ г2) нетичсском уравнении, Ы ) и 511, дают вклады одинакового порядка ). Приведем здесь, для справок, результаты решения уточненного кинетического уравнения для теплопроводности и вязкости газа в модели твердых шаров (диаметра г1): хг = зсо(1+ 1,2й1с12), г) = г)ю(1+ 0,3ОМг)з), (18.2) где хго и г)о .. значения, полученные в задаче 3 3 10 (з. Г Бенде з, 10бб) 2) Вводя дальнейшие поправки в кинетическое уравнение (связанное с четверными и т. д, столкновениями), можно было бы в принципе определить и следующие члены вириального разложения кинетических коэффициентов. Существенно, однако, что эти члены уже не будут просто целыми степенями гзг: функции зг(11г) и г)(М) оказываются неаналитическими в точке 11г = О.
Для выяснения происхождения этой неапалитичности проанапизируем вопрос о сходимости интегралов, фигурирующих в излагаемой теории (Е.С. Сойеп, з.Л. Вогутап, з'. Кеггм1ой, 1963). Рассмотрим интеграл в (17.10), определяющий вклад тройных столкновений в двухчастичную функцию распределения. Характер сходимости интеграла оказывается различным для различных типов процессов столкновений, учитываемых оператором А122. Рассмотрим для примера процесс типа рис.
5 б. Интегрирование производится по фазовому обьему г1тз при заданных фазовых точках т1 и г2. В качестве переменной, по которой интегрирование производится последним, оставим расстояние гз частицы у (в момент времени 1) от точки, где произошло столкновение 8.3. Перед этим последним интегрированием подынтегральное выражение будет содержать следующие множители; 1) элемент обьема по переменной гз, гзг)тз, 2) если шгедить за движением частицы 3 назад по времени, то будет ясно, что направление ее импульса рз должно лежать в определенном элементе телесных углов для того, чтобы могло произойти столкновение Я й угол, под которым область соударения видна с расстояния га, отсюда возникаег множитель с1,1гз, 2 2.
3) еще один такой множитель возникает в результате дальней- 11 1 Эти соображения разъясняют недоумение> которое могло бы возникел путь в связи с тем, что интеграл ЯФ( ~ содержит производные дУ,Гдг 121Л, которых иет в интеграле ЯСМ1, и потому, казалось бы, зти два члена представляют собой поправки различного порядка величины. Изложение хода соозветствуюп1их, весьма трудоемких вычислений можно найти в статье Зеиаерса в книге: Еесепгеа Ра СЬеогейса1 рЬуагся, У. 1Х С, К1пеь1с ТЬеогу (ег))ьег) Ьу 1112 Впсйп) — 1Ч.'1".: ь огг)оп а. ВгеесЬ, 1967. 104 КИНЕТИ ГЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ.
! шего ограничения возможных направлений импульса рз, требуемого условием, что «отскочившая» частица 2 должна попасть в сферу соударения с частицей 1. Таким образом, получается интеграл вида 1'Нгз/гзз, который должен быть взят от расстояния Н до ОО; мы видим, что этот интеграл сходится. Аналогичным образом можно показать, что для процессов столкновения других типов сходимость интеграла оказывается даже более быстрой. Вклад четверных столкновений выразился бы в (17.10) интегралом аналогичного вида, взятым по фазовому пространству частиц 3 и 4 (снова при заданных т1 и тз). Рассмотрим четверное соударение изображенного на рис.
6 типа. Мы снова оставим расстояние гз в качестве переменной последнего интегрирования. Отличие от предыдущей оценки связано с наличием интегрирования по ЙГ4 в подьГнтегральном выражении. Очевидно, что это интегрирование дает вклад, пропорциональный сечению рассеяния 1 — 4, т.е.
Г д . (Второе столкновение 1-2, как и 2 прежде, может быть обеспечено ограГ ничением области интегрирования по направлениям рз.) Из соображений размерности очевидно тогда,что интегрирование по ГГт4 вносит дополнительный вклад порядка рзгзс42. Интеграл по 4 1 в 3 Йгз оказывается вида 1' Г4гз1гз, т, е, ло- гарифмически расходится на верхнем Рис. 6 пределе. Обрезая интеграл на некото- ром расстоянии Л, получим вклад в функцию ~~2~, содержащий болыпой логарифм 1п(Л1'д).
Этот логарифм войдет соответственно и в поправку к кинетическим коэффициентам, которая окажется пропорциональной не (ЛГЫ ), а (А~с~э)' 1щЛ1Г1). Появление расходящихся членов означает, что четверные столкновения нельзя рассматривать отдельно от столкновений всех более высоких порядков (пятерных и т.
д.). Действительно, расходимость показывает, что существенны большие Г4. Но уже при г4 1 частица ~ может столкнуться с какой-либо частицей 5, и т. д. Отсюда становится ясным путь устранения расходимости: в выРажении длЯ фУнкции ~~ ~(8, тм тз) надо Учесть члены со столкновениями всех порядков, оставив в каждом порядке наиболее быстро расходящиеся интегралы. Такое суммирование может быть произведено и приводит к результату, который можно было ожидать: произвольный большой параметр Л 105 1 19 ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕОНОМ ГАЗЕ под знаком логарифма заменяется на величину порядка длины пробега 1 1/(ЖГ1г) 1).
Таким образом, разложение кинетических коэффициентов имеет вид Ас= тса '(1+о1)У4 +стг()17п ) 1п, +...1 (18 3) (и аналогично для Г)). 9 19. Флуктуации функции распределения в равновесном газе Определяемая кинетическим уравнением функция распределения (которую мы будем обозначать в этом и следующем параграфах как 7) дает средние числа молекул, находящихся в элементах фазового объема дзх с)Г; для статистически равновесного газа функция ДГ) есть независящая от времени и (если нет внешнего поля) от координат г больцмановская функция распределения До (0.7). Естественно возникает вопрос о флуктуациях, испытываемых точной, микроскопической функцией распределения 1(1, г, Г) в ходе ее изменения со временем при движении частиц газа по их точным уравнениям движения ). Введем корреляционную функцию флуктуаций (или, как говорят короче, коррелятор) (б~(11, г1, Г1)б~(1г, гг, Гг)), (19.1) где б1 = д — 7".
В равновесном газе эта функция зависит только от разности времен 1 = 11 — бг, усреднение производится по одному из моментов 11, 1г при заданном значении их разности. Ввиду однородности газа, .в виде разности г = г1 — гг входят в коррелятор также и координаты точек г1 и гг. Поэтому можно, условно положив 1г и гг равными нулю, представить коррелятор в виде (бд'(1, г, Г1)бДО, О, Гг)). (19.2) Ввиду изотропии газа, зависимость этой функции от г фактически сводится к зависимости от абсолютной величины г. Если функция (19.2) известна, то ее интегрированием можно найти также и коррелятор плотности числа частиц: (бй1(1, г)бМ(0, О)) = / (бД1, г, Г1)б~(0,0, Гг)) Г1Г1дГг. (193) ') См, Камаевы К,, ОррепЬегт Б — Р11уе.
Рсеу. 1965. У. 139А. Р. 1763. ) Этот вопрос впервые рассматривался Б.Б. Кадомцевмм (1957). 100 1>Я 1 КИИИТИЧЕ1'КЛЯ 'РЕОРИЯ ГАЗОН Для расстояний г, больших по сравнению с длиной пробега 1, коррелятор плотности можно вычислить с помощью гидродинамической теории флуктуаций (см. 1Х, з 88). На расстояниях же ~ 1 требуется кинетическое рассмотрение. Йепосредственно из определения !'19.1) очевидно, что (бай,г!Г!)б1(О,О,ГЗ)) = (б1( — ~,— г,ГИ)б)(О,О,Г!)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
