X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 20
Текст из файла (страница 20)
С учетом статистической независимости частиц перед ) В противоположность первому приближению (ср. примеч. на с. 90) теперь вто предположение несколько ограничивает общность рассмотрения, поскольку в тройных столкновениях могли бы проявляты:я и тройные взаимодействия (т. е. члены в функции Гамильтона вида О (ге — гп гх — г1 )), не сводящиеся к парным. 96 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН 1'Л 1 столкновением решение уравнения (17.1) есть 1~ )11, т1, тз, тз) = У~ )(го, т1о)1~ )(го, тзо)1~ )(1о, тзо). 117 2) га — 1 га = гао + — (1 — 1о) 1П Ра 1ра =РаО ° (17.3) Аналогичным образом, оператор 313 будет производить такую же замену в функциях переменных т1, тз, относящихся к двум частицам в задаче двух тел.
Важное свойство преобразовании (17.3) состоит в том, что при временах 1 — го » с)11о опо перестает зависеть от времени. Действительно, при таких 1 — 1о частицы находятся далеко друг от друга и движутся свободно с постоян- ПЫМИ СКОРОСТЯМИ Ч О = Р„О!ГП; ПРИ ЭТОМ ЗиаЧЕНИЯ Гав ЗаВИСЯт от времени как сопв$ — иао(1 — 3о) и временная зависимость в (17.3) выпадает. Заметим также, что если частицы вообще не взаимодействовали бы, то преобразование (17.3) сводилось бы к тождеству; при свободном (в течение всего времени) движении правые части преобразований (17.3) тождественно совпадают с левыми. По той же причине, если одна из частиц, скажем, частица 1, нс взаимодействует с частицами й и 3, то О133 О33, операторы же У13 и У13 в этих условиях сводятся к единице.
В силу этих свойств очевидно, что оператор сх123 = О133 О12 О13 О33 + 2 (17.4) обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не взаимодействует с двумя другими. Другими шювами1 этот оператор вы- ') Фактически, конечно, аналитическое решение задачи трех тел ыожет быть осуществлено лишь в редких случаях 1налриыер, для твердых шариков). Величины 1о, тао (и = 1,2,3) имеют здесь такой же смысл, что И В (16.11); ТаО = таО(1,1О, т„тз,тз) -- ЭтО ЗН31ЕНИя КООрдниат И импульсов, которые частицы должны иметь в момент Йо для того, чтобы к моменту 1 попасть в заданные точки т1, тз, тз фазового пространства. Отличие от (16.11) состоит лишь в том, что теперь тао = (г,о,р,о) являются начальными значениями координат и импульсов задачи трех (а не двух) тел, которую будем считать в принципе решенной ).
Для записи и преобразования дальнейших формул целесообраз»о ввести оператор У133, действие которого на функцию переменных т1, тз, та (относящихся к трем частицам в задаче трех тел) заключается в замене этих переменных согласно 97 уРлинвиие с учетОм ТРОЙных ОТОлкнОВВний дсляет из функций ту часть, которая связана со взаимодействием всех трех частиц (между тем как в задачу трех тел входят, как частные случаи, также и парные столкновения при свободно движущейся третьей частице).
С помощью оператора оггз формула (17.2) запишется в виде (З,ТЫ Т2.,ТЗ) = Ягггг (1, оО, Тг)г (о. оа, Тг)( ~(1, ЗО, ТЗ), (17.5) где У~ г(з,зо, т) = уг( ~ (За г — — И вЂ” зо); р) (17 6) (сдвиг аргумента г в Г~ ) введен для компенсации сдвига, производимого оператором О12з). Двухчастичное распределение (~ ) получим, проинтегрировав функцию г ° по переменным тз., а интегрирование по тг и тз (з) дает функцию распределения г (г), .1 (г,тмтг) = ) 1Н(г,тмтг,тз) птз (17.7) у'( ) (1, тг) = ) ~~~~(1, тм тг, тз1 г1тг г1тз. (17.8) Цель дальнсйгпего вычисления состоит в том, чтобы из этих двух равенств (с ('(~~ из (17.5)) путем исключения ~(И с нужной точностью выразить ~~~) через 1(~). Подставив затем это выражение в уравнение (16.7) (само по себе точное), мы получим искомое кинетическое уравнение.
Для осуществления этой программы, прежде всего, преобразуем интеграл (17.8), выразив в (17.5) оператор багга через Сг з согласно (17.4). Имея в виду очевидные (в силу сохранения полного числа молекул) равенства Г 1~ ~(1 Зо, т) г1т =,(Пг(10 т) дт = 1, | 312 г (2, 10, т~)~ (З, оо, тг) ггт1 Йтг = 1, получим ~~ г(г,тг) = = у~ ~(З,зо.,тг) +2 ((Яи — 1)у~ ~(~,зо,тг)г~'~(2,1о,тг)) Птг+ + (С~Ы( )(1,20, тг) (( г(2, Зо., тг~~~ )(1,10, тз)) йтг йтз.
(17 9) 4 Л. Д. Ландау. Е.М. Лифшиц, иом Х кипе'тичегкля теОРия 1'Азов 1'Л 1 Это уравнение можно решать относительно 7 ° последователь!1\ ными приближениями, имея в виду, что (О12 — 1) первого, а С!23 второго порядка малости (ср. оценку правой части (16.9)). В нулевом приближении: 711)(з,ге, т1) = 7(1)(1, т1). В следующих двух приближениях получим РПМе, 1) = = ~~1)(1,т1) — 2 ф12 — 1)~П)(Х,Т1)~)В(1,Т2))с)Т2— — (С!211 — 4%2 — 1)(513 + Н23 — 2)1 (З, Т1)1 (З, т2) х 1 П х 71 ) (11тз) ) 11Т2 г1ТЗ. Теперь остается подставить это выражение в (17.5) и затем в (17.7), сохранив при этом лишь члены не более чем второго порядка малости (члены (У12 — 1) и С!23).
В результате получим окончательно (е, Т1, Тг) = О!21 (ь, Т1)1 (1! Т2) + + (Л123У~ )(1, Т1)1~') (1, Т2)Х~') (1, тз)) 11тз! (17.10) где э!123 = О123 — О12О13 — О12О2Л + О12. (17.11) Подчеркнем, что !юрядок следования О'-операторов в их произведениях существен. Оператор ой12У23, например, сначала заменяет переменные т1! тз, тз -+ т1, т2(тз, тз), тз(тз!тз), причем функции тз3(тз, т1) определяются по уравнениям движения взаимодействующих частиц В и 3', а затем переменные т1, тз, тз подвергаются преобрьузованию т1, тэ, тз — + т1(т1, тз), т2(т1, т2), тз, где теперь функции т1д(т1, тз) определяются задачей о движении пары взаимодействующих частиц 1 и 9.
Подставив теперь (17.10) в (16.7) и перейдя везде от функций 14 ) к функциям 1 = Л171 ), найдем кинетическое уравнение в виде ) аг(е,т,) +,, Оу(1,т,) В,р) г+ В1~3) т д1 дт! ') Путь для вывода поправочных членов к уравнению Больцк1ана был намечен уже Н.Н. Боголюбооым (1946). Приведспио этих членов к окончательному виду осуществлено впервые Грином (М.Я.
Сгееп, 1966). 1 17 уРлвнвнив с учвтОм ТРОЙных стОлкнОВвний где 2 (ь т1) (О122 (ь 71)Е(2~ т2)) ст2, (17.1З) дг1 др~ Ыз~у(2,т,) = — (Е11222(2, т1) Е(2, Т2) Е (7, тз)1 гЕТ2 гЕтз. (17.14) Л 7 д.,др, Первый из этих интегралов есть интеграл двойных, а второй .-- тройных столкновений. Рассмотрим их структуру детальнее. В обоих интегралах в подьштегральных выражениях фигуриругот функции Е, взятые в различных точках пространства. В интеграле двойных столкновений эффект этой Внелокальностиг надо выделить в виде поправки к обычному (больцмановскому) интегралу.
Для этого разложим в нем медленно меняющиеся (на расстояниях гЕ) функции Е по степеням ра:шости г2 — г1. Поскольку эти функции стоят в подынтегральном выражении под знаком оператора о'12, рассмотрим сначала величины О12Г1 и О12Г2, в которые этот оператор преобразует переменные г1 и гз. Центр инерции двух частиц (г1 + Г2)/2 движется (в задаче двух тел) равномерно; поэтому оператор 312 эту сумму не меняет.
С учетом этого обстоятельства пишем Я12Г1 = 512 ( + = Г1 + — — 512(Г2 — Г1), 2 2 l 2 2 гг — г1 1 Я12Г2 = Г1+ + -512(Г2 — Г1). 2 2 Разложив теперь функции У,2Е(2.Г1.р1) = Е(2,У12 „р10), О12Е(7, Г2, р2) = Е(2, О12Г2, р20) по г2 — г1 с точностью до членов первого порядка, получим В1(2) т В2Р) 7+В,(2> т (17.15) где Я$0 Е(2, Г1~ р1) = = — (1 (2,Г1~р10)1 (2, Г2~ р20)1 РЕТ2~ (17.16) кн!!втичвс'кля твогия !Азов 811 7'(1, Г1, р1) = (2! 1 1'И7!в д ( д — ) (Г2 — Г1) — 1 (1, Г1! Р10)1 (», Г2! Р20) + 2 / дг! др! ). дг! + ~.)(1!ГПР10) —.,Пб Г1,Р20) — У(1 Гмрйо) — У(1 Г! Р10)] х д д дг!' ' дг! х 3~2(Г2 — Г1) ) !172 (17.17) (дифференцирования по г1 производятся при постоянном р10 или Р20) Интеграл (17.16) совпадает с (16.12) 1); в 2 16 было показано, каким образом (путем выполнения одного из трех интегрирований по пространственным координатам) этот интеграл приводится к обычному больцмановскому виду.
Обратимся к интегралу тройных столкновений (17.14). Учет в!нелокальности» в этом интеграле был бы превышением над принятой здесь точностью., так как сам этот интеграл уже является малой поправкой. Поэтому в аргументах трех функций у в нем надо положить все радиус-векторы г1, Г2, гз одинаковыми (совпадаюп1иыи с г1) и, сверх того, считать, что оператор А!22 на эти переменные вообще не действует 2): 811З! 7"(1,г1,Р1) = 1 (дП Д 1- = — / ) т»12З|1Ч Г1 Р1)~И~ Г1 Р2)у (»! Г1 РЗ)) П7211ТЗ ° / „д„1 (17.18) Рассмотрим несколько более детально структуру оператора А12з с целью уяснения характера процессов столкновений, учитываемых интегралом (17.18).
Прежде всего, оператор Л12з (как и оператор С12з (17.4)) обращается в нуль, если хотя бы одна из трех частиц не взаимодействует с остальными. В число процессов, для которых Л12з у'= О, входят, однако, не только тройные (в буквальном смысле этого !шова) столкновения, но и совокупности нескольких двойных. ') Выражение (17.16) отличается от (16.12) заменой 1е на 1 в аргументах функций 7.
После такой замены, однако, правое равенство (16.13) все равно имеет место, поскольку зависимости от г!, гз, р!, рв входят только через р!о, рве, являющиеся интегралами движения. з! Подчеркнем, во избежание недоразумений, что зти упрощения отнюдь не означают, что подынтегральное выражение вообще перестает зависеть от гю г»; зависимость от »тих переменных остается через посредство Я-операторов, которые превращают импульсы р в функции р, (г!, гз, гз, р!, рв, рз).
1 17 углвнение с у 7ьтом тгойиых сстолкновьний 101 В истинных тройных столкновениях три частицы одновременно вступают в «сферу взаимодействия», как это схематически изображено на рис. 5 а. По оператор А122 отличен от нуля также н для таких процессов «тройных взаимодействий», которые сводятся к трем последовате71ьным двойным столкновениям, причем одна из пар частиц сталкивается между собой дважды; пример такого процесса схематически изображен на рис.
5 б (для этого процесса У12 = 1, так что оператор А122 сводится к У122— 1' — Я12522) ). Более того, оператором Л122 учитыванзтся также и случаи, когда одно (или более) из трех столкновений является «воображаемым», т. е. возникающим, лишь если не учитывать влияния на траекторию частиц какого-либо из реальных столкновений.
Пример такого процесса изображен на рис. 5 е: столкновение 1 3 имело бы место лишь в отсутствие искажения траектории частицы 3 ее столкновением с частицей й ) (для этого процесса У122 = У12Угз, но У12 ф 1, так что Л125 сводится к ы12513 + ы12). г з г з г 3 1 г з Рис.
5 Подобно тому, как преобразовывался в 9 16 интеграл Яй (2) может быть выполнено одно нз шести интегрирований по координатам в интеграле тройных столкновений; при этом потенциал взаимодействия 5712 в явном виде исчезает из формул'). 1) 1 В то же время оператор Вы» 1в противоположность оператору Сыз!) обращается в нуль для последовательности всего двух столкновений. Ч'ак, для процесса, составленного из столкновений г-з и 1 "г, было бы 5ыз = вылез, О1з = 1, так !то Лыз = О. ) Напомним, что по смыслу действия Я-операторов надо следить за траекториями частиц по направлению назад во времени! з) Проведение этого преобразования — см. Сгееп М.о.
— РЬув. Нет. 1964. УД 136А. Р. 905. 102 1'Л 1 КИИВТИЧЕГ'КЛЯ "ГЕОРИЯ ГАЗОН 8 18. Вириальное разложение кинетических коэффициентов В 8 7, 8 было уже указано, что независимость коэффициентов теплопроводности и вязкости от плотности (или давления) газа является следствием учета одних только парных столкновений молекул. Именно для таких столкновений их частота (т. е. число столкновений, испытываемых в 1 с заданной молекулой) пропорциональна плотности Я, длина пробега 1со1>!Х, а поскольку >1 и и пропорциональны М, они оказывая>тся независящими от >у. Получающиеся таким образом значения (обозначим их через !1в и >Ге) ЯвлЯютсЯ, конечно, лишь пеРвыми членами РазложениЯ этих величин по степеням плотности (эти разложения называют вириалш1ыми).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
