X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2 направлении. Рис. 2 ЯВЛЕНИЯ В СЛЛВО РЛЗРЕ2КЕПНЫХ ГЛЗЛХ 75 3. Определить силу г, действующую на шар (радиуса Л), погруженный в газ, в котором поддерживается постоянный градиент температуры 11Т = А. Р е ш е н и е. Распределение температуры внутри шара дается формулой 3хэ Т = Аг сов 0, хг 4-2хг где эгг н хэ . коэффициенты теплопроводности шара и газа; г и О .. сферические координаты с началом в центре шара и направлением А в качестве гюлярной оси Гскг.
У1, 3 50, задача 2). Отсюда находим для градиента температуры вдоль поверхности шара: 1 дТ 3212 А в)п а. Л дд хг + 2хэ Возникающее благодаря тепловому скольжению ламинарное движение газа определяется всего одним вектором А. Поэтому соответствукгщее решение уравнения Папье-Стокса можно искать в тшом же виде, как и в задаче об обтекании жидкостью движущегося в ней шара Гсм. 1г, 3 20): А+ п(Ап) Зп(Ап) — А и= — а 4- Ь г гз где и = гггг Гадцитивной постоянной в и не пишем, так как должно быть и = 0 при г — 2 оо). Постоянные а и Ь определяются из условий р дТ и, =О, ие = — — прис =Л Л, д11 и равны ЗхэЛ12 Л2 2(хг + 2хэ) Действующая на шар сила: Г 3 оцА 12 цд~ зуут хг + 2 хе Для того чтобы рассмотренные в задачах поверхностные эффекты были действительно малы по сравнению с объемными, температура должна мало меняться — в задачах 1 и 2 на радиусе трубки> а в задаче 3 на радиусе шара.
4. Два сосуда, соединенные длинной трубкой, содергкат газ при одной и той же гемпературе и давлениях Рг и Рэ. Определить тепловой поток между сосудами, сопровождающий пуазейлевское течение по трубке (мехаггакаларический эффект). Р е ш е н и е. Согласно формулам (14.14), (14.16) тепловой поток вдоль стенок трубки г)1г а = 2кЛа„„, = 2кЛТ2111 —. дг С другой стороны, из уе.човия механического равновесия жидкости при стационарном течении имеем 11'г' 2 г)Р 2 Рг — Рг 2кЛ21 — = ггЛ вЂ” = кЛ д г)к д Отсюда окончательно Г1 = кЛ, ТЯР2 — Рг)!1. 76 КИНЕ"1'ИЧЕОКАЯ ТЕОРИЯ ГА'1ОЕ 1'Л 1 й 15. Явления в сильно разреженных газах Рассмотренные в предыдущем параграфе явления представляют собой лишь поправочные эффекты, связанные с высшими степенями отношения длины свободного пробега 1 к характеристическим размерам задачи Л; это отношение по-прежнему предполагалось малым.
Если же газ настолько разрежен (или размеры Л настолько малы), что 1,1'ь > 1, то гидродинамические уравнения становятся вовсе неприменимыми, даже с исправленными граничными условиями. В общем случае произвольного 1/Л требуется в принципе ре1пать кинетическое уравнение с опредеиеннь1ми грани п1ыми условиями на соприкасающихся с газом твердых поверхностях. Эти условия определяются взаимодействием молекул газа с поверхностью и связывают функцию распределения частиц, падающих на поверхность, с функцией распределения частиц, покидающих ее. Если это взаимодействие сводится к рассеянию молекул (без их химического превращения., ионизации или поглощения поверхностью), то оно описывается вероятностью ш(Г', Г) дГ', т. е.
вероятностью того, что молекула с заданными значениями Г, столкнувшись с поверхностью, отразится от нее в заданный интервал 11Г', функция ш нормирована у0ловием ) ю(Г', Г) 11Г' = 1. (15.1) С помощью ю граничное условие для функции распределения ((Г) записывается в виде ш(Г'1Г)пъ" 1(Г) дГ = — пч11(Г') при пч' ) О. (15.2) пч<0 и1(Г',Г)пче '1 ' дГ = — пч'е пч<0 (15.3) Интеграл в левой части представляет собой число молекул, падающих в 1 с на 1 см поверхности и попадающих в результате 2 рассеяния в заданный интервал дГ~; интегрирование производится по области значений Г, отвечающей молекулам, движущимся по направлению к поверхности (и единичный вектор внешней нормали к поверхности тела). Выражение же в правой части условия (15.2) есть число молекул, покидающих поверхность (за то же время и с той же площади); значения Г' в обеих частях равенства должны отвечать молекулам, движущимся по направЛЕНИ10 ОТ ПОВЕРХЕ10СТИ.
В равновесии, когда температура газа совпадает с температурой тела, функция распределения как падающих, так и отраженных частиц должна быть больцмановской. ОТ01ода следует, что функция и1 должна тождественно удовлетворять равенству 77 янляния н сильно РлзРьжннных глзлх получающемуся подстановкой в (15.2) ДГ) = сопя~ ехр( — е/Т~), где Т1 температура тела. В описанной общей постановке решение задачи о движении сильно разреженного газа, конечно, весьма затруднительно. Задача может быть поставлена, однако, более простым образом в предельных случаях настолько сильного разрежения газа, что отношение //А» 1.
Большая категория таких задач относится к ситуациям, когда значительная масса газа занимает обьем, размеры которого велики как по сравнению с размерами Т погруженных в газ твердых тел, так и по сравнению с длиной пробега Е Столкновения молекул с поверхностью тел происходят тогда сравнительно редко и несущественны по сравнению со взаимными столкновениями молекул. Если газ сам по себе находится в равновесии с некоторой температурой Тя, то в этих условиях можно считать, что равновесие не нарушается погруженным в него телом. При этом между газом и телом могут существовать произвольные разности температур. То же самое относится и к скоростям макроскопического движения. Пусть т = Тз — Т1 есть разность между температурой газа и температурой некоторого участка Н7 поверхности тела, а лг ..
скорость движения газа относительно тела. При отличных от нуля т и Ъ' возникает, во-первых, обмен теплом между газом и телом и, во-вторых, на тело действует со стороны газа некоторая сила. Обозначим плотность диссипативного потока тепла от газа к телу через ц. Силу же, действующую в каждой точке поверхности тела по направлению и внешней нормали к пей (и отнесенную к единице площади), обозначим как Р— Рп. Здесь второй член есть обычное давление газа, а Р интересующая нас дополнительная сила, связанная с т и Ъг.
Величины ц и Р являются функциями от т и Ъ', обращающимися в нуль вместе с ними. Если т и Ъ достаточно малы (первое по сравнению с самими температурами газа и тела, а второе - по сравнению с тепловой скоростью молекул газа), то можно разложить д и Р в ряд по степеням т и Ъ', ограничившись линейными членами. Обозначим символами Г„и 1лн компоненты Р и Ъ по напра~злению нормали и, а символами Рм п~ их тангенциальные составляющие; последние являются векторами с двумя независимыми компонентами. Тогда указанные разложения будут иметь вид Г„= ут+ Яl„, (15.4) Р =ВЪ", д = от+ ~Л~„, где СР, 11, 7, д, 0 -- постоянные (вернее, функции температуры и давления), характерные для каждых данных газа и вещества твердого тела.
«Скалярные» величины и и г„' не могут, в силу соображений симметрии, содержать членов, линейных по векто- КИИЕ"1'ИЧЕОКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН 1'Л 1 ру Уь По такой же причине в разложении вектора Р1 отсутству- Ют ЧЛЕНЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ПО «СКаЛЯРаМЕ т И Рю Величины Гт,. д, 0 положительны. Так, если температура газа выше температуры тела (т > О), то тепло будет переходить от газа к телу, т. е. соответствующая часть потока и будет положи- тельна; поэтому с1 > О. Далее, действующие па тело силы Х'„, Рб обусловленные движением газа относите11ьно тела, должны быть направлены в ту же сторону, куда направлены Ре и Ъ'б поэтому должно быть д > О, 0 > О.
Что касается коэффициен- тов 1~ и у, то их знак пе следует из общих термодинамических соображений (хотя, по-видимому, фактически опи, как прави- ло, положительны). Между ними имеется простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических ко- эффициентов. Для вывода этого соотношения вычислим производную по времени от полной энтропии всей системы, состоящей из газа вместе с находящизлся в пем телом.
В единицу времени тело по- лучает от газа через каждый элемент поверхности И1 количество тепла 11П1. При этом энтропия тела О1 испытывает приращение: 5~=1 ~ф, -1т, где интегрирование производится по всей поверхности тела. Для вычисления увеличения энтропии газа выбираем такую систему координат, в которой газ (в месте нахождения тела) по- коится; в этой системе скорость каждой точки поверхности тела есть — Ъ'. Для целей доказательства искомого соотношения бу- дем считать, что форма тела может меняться при его движении; тогда скорости Ъ" различных точек его поверхности будут яв- ляться произвольными независимыми переменными величина- ми.
Согласно термодинамическому соотношению 11Е = ТГ1Б— — Р дУ изменение энтропии газа в единицу времени равно О2 = '1Е2 + В2 Р2) 1 ХЗ (величины с индексом 2 относятся к газу). Производная Е2 рав- на, в силу сохранения полной энергии системы, взятому с обрат- ным знаком изменению энергии тела. Последнее складывается из количества тепла уды и произведенной над телом работы, равной интегралу ~( — Аг)(Р— Рп) Г11'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
