X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Коэффициент вязкости В надо определить теперь так, чтобы было ~ = О~'/б1 (15.15) где Г сила трения, испытываемая движущейся пластинкой (отнесенная к единице ее площади), а 1' скорость движения одной пластинки относительно другой. Написав в (8.11) расстояние б вместо длины пробега 1, получим В пзпХА ЛР1 (15.16) УТ' т, е, вязкость разреженного газа тоже пропорциональна давлению.
Задачи 1. В на 1альпый момент г = О газ занимает полупространство х < О. В пренебрежении столкновениями определить распределение плотности в последую1дие моменты времени. Р е ш е н и е. В пренебрежении столкновениями кинетическое уравнение сводится к уравнению ОУ аУ вЂ” -~- и — = О., дс дг общее решение которого есть У = 1(г — ай ч). С учетом поставленного начального условия получим в данном случае У = уе(о) при с,, ) хд, У = О при о„< х11б где )о — максволловское распределение.
Плотность газа где а Хе начальная плотность. Ввиду пренебрежения столкновениями, написанные формулы фактически справедливы лишь в области ~х~ << б 2. Опреде11ить силу, действующую на шарик радиуса Л, движущийся со скоростью Ъ' в разреженном газе. Р е ш е н и е. Полная сила сопротивления движению шарика равна Г = — — Ъ1йз(6 -~- 2О), 3 3. Определить скорость, с которой будет двигаться в разреженном газе невесомый плоский диск, стороны которого нагреты до различных температур Т1 и Те. Р е ш е н и с. Скорость г' движения диска (в направлении, перпендикулярном к его плоскости) определится из условия равенства нулю суммы 1'Л 1 КИИЕ'1'ИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ сил, действующих на обе его стороны.
Диск будет дви» аться менее нагретой стоРоной впеРРД со скоРостью., Равной (считаем, что Тг > Т») = — (Т* — Т' ). 7 26 4. Вычислить значение Оо коэффициента О при полной аккомодации. Р е ш е н и е. Количество энергии, приносимой в единипу времени молекулами, сталкивающимися с единицей площади гюверхности тела, есть 1'уго е»4Г, где »г — больцмановская функция распределения с температурой Тг газа (е — энергия молекулы, а ось х направлена перпендикулярно к поверхности тела). Количество уносимой Этими же молекулами энергии получится отсюда (при полной аккомодации) просто заменой Т на температуру тела Т,.
Поток тепла »у = ) (~г —.»'1)ео »й' (интегрирование по о„— в пределах от О до со). Энергию молекулы пишем в виде е = е„, + тог,У2, где е„-. внутренняя энергия. Вычисление дает для каждого из интегралов значение -)= ~ -) уео, »(Г = и(е „Ч- 2Т) = и [ й Ч- — ) = иТ [с,. Ч- — ), 2») [, 2) где й = г.„Т вЂ” средняя энергия молекулы, а и = Р)»»г2хтТ вЂ” число молокул, сталкивающихся в 1 с с 1 см поверхности. Тепло»у равно разности энергии прихОдящих и уходящих мОлскул при Одипакевем числе тЕх и других, т.
е. одинаковом и. В результате находим для коэффициента в 4 = о(Тг — Т») значение »Г2~ттТ ( 2) (разность Тг — Т» предполагается малой, так что полагаем Т» Тг е— э Т). 5. То же для коэффициентов»г и у. Р е ш е н и е. Нормальная составляющая импульса, приносимого молекулаь»и, сталкивающимися в 1 с с 1 см поверхности тела, равна половине давления газа. Выражая давление через и, имеем Взяв разность значений этой величины при температурах Т» и Тг и одинаковых и, получим дополшпельную силу Ро, обусловленную ра:»постыл температур. Считая Тг — Т» мш»ой, найдем 'уо = Р(4Т. Для коэффициента »4 имеем согласно (15 6) Зо = Р14. 6.
Го же дчя коэффициентов»» и и. Р с ш е н и е. Выбираем систему координат, в которой тело покоится, а газ движется со скоростью»»'; ось х направлена по нормали к поверхности, а плоскость ху выбрана так, чтобы»»' лежало на ней. Функция распределения в этой системе есть 1" = сопэс ехр — — — — [(о — 1»„) Ч-(ег — 1'„) Ч- о.| Т 2Т '1то касается отраженных молокул, то при полной аккомодации они имеют функцию распределения с Ъ = О; г считаем равным нулю. 85 явльния в сильнО РАзРвжвнных РАзлх При вычислении касательной силы Еэ полагаем $~, = О.
Приносимая падающими на поверхность тола молекулами полная р-компонента импульса есть 1 гвн, ч~.„~ ЛГ = т Рэ ~ н, У й1Г = тп~'„Р (по н,, интегрирование производится везде в пределах от О до оо1. Уносимая все ими у-компонента импульса исчезает. Таким образом, Рэ — — ши1гэ, так что Но = Рпч = Рч У 2э.Т Пусть теперь 1' ф О, 1'„= О. С точностью до членов первого порядка по Ъ;„имеем гпн 1=~эЭ-~: 1э, Х где уа — функция распределения с У = О. Число молекул, сталкивающихся в 1 с с 1 см поверхности, есть Р= ГР,.ИГ= Р Рр; + мг2ятТ 2Т Приносимая этими молекулами х-коьчпопента импульса есть тн, 1 г1Г = — + Р1г, чу1 —. .С Р 12ш 2 УяТ Отраженные от стенки молекулы имеют функцию распределения с 1' = О, нормированную таким образом, чтобы интеграл 1 унч ОГ был равен числу Р падающих молекул, определенному выше.
Уносимая этими молекулами ткомпонента импульса равна — — Н2 Т= — —— и, Р Р1' Гппъ 2 2 2 2Т' Дополнительная к давлению нормальная сила ость Р,, = бе1;, где б =Рэ~ ~2"- — ~ = — (4ч-я'Р 'ч' 2НТ ч, 2) 2 7. В прелположении по.чной аккомодации определить температуру пластинки, движущейся со скоростью р в разреженном газе параллельно самой себе. Р е ш е н и е.
Поступая как в задаче 4, имеем для приносимой энергии: (АОРТ + — + — ), а Лля уносимой: РТч (с„т — ) . Приравнивая эти потоки, находим Тч — Тг = 2с„ -~ 1 8. Определить количество газа, протекающего в единицу времени через поперечное сечение цилиндрической трубы (радиуса РА1 под влиянием градиентов давления и температуры.
Гэз настолько разрежен, что длина сво- 86 КИИЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 1'АЗОВ 1'Л 1 ди !>1я) = и10) -!- з— дя =а / / / ! 1 1 1 1 ! ! \ ! / !0А/ / / 1 А 1 У! тч'! / / Интеграл с Р!О) обращается, очевидно, в пуль, так чтО Й О. = 2>гЛ вЂ” 1 !' з соя д/1одз. дз ==о// Для проведения интегрирования вводим в плоскости рассматриваемого сечеРис.
3 ния ~рубы координаты т и у>, где т — рассгояние переменной точки А' от некоторой заданной точки О на окружности сечения, а у> — угол между отрезком ОА> и радиусом сечения 1рис. 3). Молекула, отраженная от стенки в точке А 1лежащей на одной образующей с точкой 0) и проходящая затем через точку А', должна иметь скорость под углом д с нормалью к поверхности трубы в точке А. для которого О т соз !Р созд = ь/7' + з ) О потоке газа в таких условиях говорят как о свобод>>омолекуляр>>ом. бодного пробега !» 2! '). При столкновениях молекул с ее стенками имеет место полная аккомодация.
Р е ш е н и е. Распределение молекул по скоростям при отражении их от стенки при полной аккомодации имеет вид с / д р, где /' . максвелловская з функция распределения, а ось х перпендикулярна к поверхности. Обозначая через д угол между скоростью молекулы и осью х, найдем, что распреде- лениЕ отраженных молекул по направлсниям их движения (независимо от аосолютной величины скорости) имеет вид — соэ д до 1эта функция нормирована так, что ее иптогрэ ! Ио всем телесным углам по одну сторону плоскости равен Р). Выбираем ось по оси трубки, а начало коор,чннат - в рассматриваемом ее сечении. Через это сечение проходят молекулы, испытавшие последнее отражение от различных участков поверхности трубы.
Из числа молекул, рассеянных от некоторого элемента д/ поверхности стенки на расстояние я, пройдут через заданное сечение те, которые отражены по направлениям, лежащим внутри телесного угла, под которым видно это сечение из рассматриваемой точки ца поверхности трубы, т. е.
д/' Р)'совддо,/я молекул (интегрирование производится по указанному интервалу углов). Этот интеграл, очевидно, одинаков для всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии т от заданного сечения. Поэтому полное число молекул, проходящих !в ! с) через это сечение, получится заменой д/ на кольцевой элемент поверхности 2яВдз и интегрированием по всей длине трубы; умножая еще на массу ти молекулы, получим расход массы газа через сечение трубы: О. = 27пй ) Р и соз д до) дж Чишю Р, будучи функцией давления и температуры, меняется вдоль длины трубы. Если градиенты давлопия и температуры вдоль длины не ш!ишком велики, то можно написать 87 ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНО РАЗРВЛКЮ!НЫХ ГАЗАХ Элемент телесного угла можно написать в виде г Йг ч(у! с(о = гз -Р лз ч/гз+ ло и дает 8х)лз о)и Ю= — —.
3 ч(з Наконец, подставив и = Р/ч/2хтТ, получим окончательво где в скобках стоит разность значений величины Р/ч/Т на длине Т трубы (замена производной разностью допусчима ввиду постоянства 1,), а потому и втой производной, вдоль длины трубы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
