X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ландау, Е.М. Лифшиц, тцм Х кинети 1ВОКАя ТВОРия ГА3ОВ ГЛ. 1 до +1. Выражение (13.22) отличается от соответствующего члена в магнитном случае лишь заменой В на Е. Поэтому остаются в силе и все написанные выше кинетические уравнения и следствия из них ). Некоторое отличие возникает, однако, в связи с тем, что электрическое поле Е " истинный (а не псевдо) вектор и что оно нс меняется при обращении времени.
В силу последнего обстоятельства принцип Онсагера для тензоров теплопроводности и вязкости выразится теперь равенствами м д(Е) = эгдо(Е), г1оэ.,й(Е) = 41.„йод(Е) (13.23) вместо (13.11) и (13.16). Соответственно в выражениях (13.10) и (13.18) (где теперь Ь = Е,1Е) будет хсэ. = О, г1з = 414 = О ). В то же время перекрестные эффекты оказываются возможными не только в газе стереоизомерного вещества (где выражение (13.21) остается в силе целиком), но и в газе из нестереоизомерных молекул: выражение (13.21) с а4 = О является теперь истинным тензором. й 14.
Явления в слабо разреженных газах Гидродинамические уравнения движения газа с учетом процессов теплопроводности и внутреннего трения содержат тепловой поток с1' (диссипативная часть потока энергии с1) и тензор вязких напряжений сг„'й (диссипативная часть потока импульса П д). Эти уравнения приобретают реальный смысл после того, как с1 и о д выРажены чеРез гРадиенты темпеРатУРы и скоРости газа. Но обычныс выражения, линейные по этим градиентам, представляют собой лишь первые члены разложения по степеням малого отношения 1/Т -. длины свободного пробега к характерным размерам задачи (его называют числом Кнудсена К). Если это отношение не очень мало, может иметь смысл введение поправок, учитывающих члены следующего порядка малости по 1/Л.
Такие поправки возникают как в самих уравнениях движения, так и в граничных условиях к ним на поверхности обтекаемых газом тел. ) Двухатомные молекулы вращаются в плоскости, перпендикулярной М; поэтому для двухатомной полярной молекулы о = О. В таком случае влияние электрического поля на движение молекул проявляется в кинетическом уравнении лишь в квадратичном по полю приближении.
24 ) 4В газе из нестереоизомерных молекул отсутствие членов с мэ, Чз, Ч4 в электрическом поле требуется и условием инвариантности по отнопзению к инверсии. яВления В слАВО РАВРеженных ГА3Ах ПослеДовательные члены Разложений потоков с1' и и' д выражаются через пространственные производные температуры, давления и скорости различных порядков и в различных степенях. Эти члены должны вычисляться в принципе путем перехода к следующим приближениям в решении кинетического уравнения. В Нулевому В приближению соответствует локально- равновесная функция распределения /о, .этому приближению отвечают гидродинамические уравнения идеальной жидкости. Первому приближению соответствует функция распределения вида / = до(1+ ХП)/Т), рассматривавшаяся в ~ 6-.8, и ему отвечают гидродинамическис уравнения Навье-Стокса и уравнение теплопроводности.
В следующем, втором, приближении функцию распределения надо искать и виде У = // [1+ — Х'"'+ — Х'"] и линеаризовать кинетическое уравнение по поправке второго порядка Х1~~. Получающееся уравнение имеет вид — — Гн уо1 [Х Х1 Х Х~ ] пГ1пГ'ГГГà —— — т(Х ), (14.2) где 1 --. прежний линейный интегральный оператор (6.5).
Производныс по времени от макроскопических величин, получающиеся в левой части уравнения от дифференцирования (/ВХ)/Т, должны быть выражены через пространственные производные с помощью гидродинамических уравнений первого ГГриближения. Символ (д/д~)1 во втором члене слева означает, что исключение временных производных должно производиться с помощью уравнений, в которых опущены члены нулевого порядка и оставлены только члены первого порядка, т. е, содержащие Г1, ~ или к.
Мы не будем выписывать все многочисленные члены в с( и ГГ'д, возникающие во втором приближении (эти члены называют барнетптовск Ами; Р. ВитпеП, 1935). В большом числе случаев эти члены вносят в решение вклад, малый по сравнению с поправками в граничных условиях, о которых речь будет идти ниже.
В таких случаях учет поправок в самих уравнениях был бы неоправданным превышением над допустимой точностью. Ограничимся рассмотрением лишь некоторых типичных поправочных членов и оценим их для движений различных типов. Отметим прежде всего, что малый параметр К = 1/Ь определенным образом связан с двумя параметрами, характеризующими гидродинамическое движение, — числом Рейнольдса К и числом Маха М. Напомним, что первое из них определяется как 68 кинетическая теогия газов (14.6) ') Такие члены в вязких напряжениях впервые рассматривались Максвеллом П 879). К 1ГЬГги, где Р" -.
характерный масштаб изменения скорости течения, а гг - — кинематическая вязкость; число же Маха М Ъ"гги, где и — скорость звука. В газе порядок величины скорости звука совпадает со средней тепловой скоростью молекул о, а кинематическая вязкость гг (И). Поэтому гс '»ГЬгг(Рд), М»ггп, а число Кнудсена к - м!к. (14 8) Отсюда видно, что условие гидродинамичности движения, К « 1, накладывает определенное ограничение на относительный порядок величины чисел гт и М. Рассмотрим сначала «медленные» движения, в которых К<1, М«1.
(14.4) Рассмотрим какой-либо из барнеттовских членов в тензоре вязких напряжений, содержащих произведение двух первых производных от скорости, например 12др дггр. (14.5) написанный здесь коэффициент р1 (р плотность газа) оценка по порядку величины. Этот член дает в о д вклад и г (2) р1~'Р'~/Ь~. Порядок же величины основных (навье стоксовых) членов в вязких напряжениях: ггП) г)(дЪ'/дх) р)о1гггЬ, и отношение сгг~),гоП) Л1,Г(Ьо) (1~11~)й.
Поскольку й < 1, то мы видим, что члены (14.5) вносят в вязкие напряжения поправку относительного порядка < ®1), между тем как поправка в граничных условиях (см. ниже) вносит в движение поправки относительного порядка 1,ГЬ, т. е, значительно большие. Еще меньше будут поправки, происходящие от членов вида ~ ) рР дТ дТ тзпз дх дхр Но если перепады температуры задаются «извне» (скажем, погруженными в газ нагретыми телами), то барнеттовские члены вида (14.6) могут привести к возникновению стационарного движения с характерными скоростями, определяющимися условием д(о + сг д)ггдхя = дР(дх, . Оценка скорости движения дает 1 1д.т)в (14.7) Л тсгТ (М.Н.
Коган, В.С. Галкин, О.Г. Фридлендер, 1970). 4 14 ЯВЛЕНИЯ В СЛАЬО РАЗРЕХ«ЕННЫХ ГАЗАХ При оценке следует учесть, что лапласиан температуры можно выразить с помощью уравнения теплопроводности «))н (к1«')Т = О через квадрат ее градиента, а также, что движение вызывается только непотенциальной частью силы д«т ««дяр. (2) Потенциальная же часть силы уравновешивается давлением. Аналогичные соображения относятся к поправочным членам в тепловом потоке с1'.
Из производных одной только температуры вообще нельзя составить поправочного члена второго порядка; первый (после — »Г'«1Т) такой поправочный член имеет вид сопВФ х х Р'ААТ (АА —. оператор Лапласа), т. е. третьего порядка. Члены же, содержащие наряду с производными от температуры еще и производные от скорости, например — «)1пг 'Ч ГУТ, снова приводят к поправкам относительного порядка 1 «ь Перейдем к «быстрым» движениям, в которых К»1, М<1. (14.8) В таких случаях картина гидродинамического движения газа складывается из двух областей: объемной, в которой вязкие члены в уравнениях движения вообще несущественны, и тонкого пограничного слоя, в котором скорость газа быстро убывает. Пусть, например, речь идет об обтекании газом плоской пластинки; направление обтекания выберем в качестве оси х.
Толщина б пограничного слоя на пластинке: б ( — *) ( — *") где л расстояние от ее передней кромки (см. Ъ"1, ~ 39). Характерный размер для изменения скорости вдоль оси х дается самой координатой х, а вдоль перпендикулярного пластинке направления оси у — толщиной пограничного слоя б. При этом $«у Ъ',б/л, как это следует из уравнения непрерывности. Главнйй член в навье-стоксовом тензоре вязких напряжений: дК И)« о, Р1 — * Р—. ду б Среди барнеттовских же членов в «г'„, однако, нет члена, который бы содержал квадрат (д1Г ««ду)2 легко сообразить, что из производных д1«««длр нельзя составить квадратичного по ним тензора второго ранга, лу-компонента которого содержала бы этот квадрат. Самыми большими членами в «г,у могут быть лип1ь (г) члены вида 12 * г)11, '1г р« ду еб 1'Л 1 КИНЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН их отношение к с>~ау~: о>й>>>>т>з> й'/(хп) (1,>б)х, т.
е, снова второго порядка. Покажем теперь, что поправочные члены в предельных условиях на границе между газом и твердыми телами приводят к эффектам первого порядка по 1>>Л. Поэтому .заметные явления, обусловленные разреженностьк> газа, имеют место именно вблизи твердых поверхностей. В неразреженных газах граничным условием на поверхности твердого тола является равенство температур газа и тела. В деиствительности, однако, это условие приближенно и имеет место лишь постольку, носко.льку длину свободного пробега можно считать сколь утодно молой. При учете же конечности длины свободного пробега на поверхности соприкосновения твердого тела и неравномерно нагретого газа имеется некоторая разность температур; эта разность обращается в нуль, вообще говоря, лишь при полном тепловом равновесии, когда температура газа постоянна ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
