X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вблизи твердой поверхности (на небольших, по и не на слишком малых расстояниях от нее) градиент температуры газа ьюжно считать постоянным, так что ход температуры как функции расстояния изображается прямой линией. Однако в непосредственной близости от стенки (на расстояниях 1) ход температуры, вообще говоря., более сложен и ес градиент непостоянен.
Примерный ход температуры газа вблизи поверхности изображен на рис. 1 сплошной линией. Однако этот истинный ход температуры в непосредственной близости стенки, относящийся к расстояниям, сравнимым :т Ф с длиной свободного пробега, несуществен при рассмотрении распределения темперая туры во всем объеме газа. При изучении распределения температуры около твердой Рис. 1 стенки нас интересует по существу только прямая часть кривой на рис. 1, простирающаяся на расстояния, болыпие по сравнению с длиной свободного пробега. Уравнение этой прямой определяется углом ее наклона и отрезком, отсекаемым ею от оси ординат.
Таким образом, нас интересует пе истинный пристепочный скачок температуры, а скачок, получающийся экстраполированием температуры газа ') Когда речь идет о температуре газа в участках, размеры которых порядка длины свободного пробега, необходимо, строго говоря, определить, что именно подразумевается под понятием температуры. Хез>пературу будем определять в этом случае по средней энергии молекул в данном месте газа, причелг функция, определя>ощая температуру по средней энергии молекул, полагается той >к, какой она является для больших объемов газа.
71 яВлеиия н Оз!лво РАВРеже!!Вых 1"лзлх бТ = ив 0Т дп (14.9) (производная берется по направлению нормали к поверхности, направленной внутрь газа). Коэффициент я мсокно назвать коэффиц!Зентом тел!г!ератдрного скачки Если температура газа растет по направлению внутрь его объема (дТ/дп > О), то должно быть и бТ > О, следовательно, коэффициент е положителен. Аналогичные явления имеют место на границе между твердой стенкой и движущимся газом. Вместо того чтобы полностью еприлипатьВ к поверхности, разреженный газ сохраняет около нее некоторую конечную, хотя и малую скорость, происходит, как говорят, скольжение газа у поверхности. Аналогично формуле (14.9) имеем для скорости оо этого скольжения: д Р1! по=4 —, дп (14.10) где 1'! касательная составляющая скорости газа вблизи стенки.
Как и я, коэффициент скольжения ~ положителен. К величине оо относятся те же замечания, которые были сделаны по поводу температурного ока !ка 6Т, определяемого (14.9). Эта скорость является, строго говоря, не истинной скоростью газа у сал!ой стенки, а скоростью, экстраполированной в предположении постсьчнства градиента с!Ъ!(дп в пристеночном слое газа. Коэффициенты е и г, имеют размерность длины и по порядку величины совпадают с длиной свободного пробега: (14.11) Самые скачок температуры и скорость скольжения являются, следовательно, величинами первого порядка по 1,!1. Для вычисления коэффициентов я и б надо было бы решать кинетическое уравнение для функции распределения молекул газа вблизи поверхности.
В этом уравнении должны были бы быть учтены столкновения молекул со стенкой, и потому должен быть известен закон! по которому происходит их рассеяние при таких столкновениях. до самой стенки, считая ее градиент постоянным вблизи стенки вплоть до равного нулю расстояния (штриховая прямая на рис. Ц. Под бТ мы будем понимать именно такой экстраполированный скачок температуры, причем определим его как температуру газа минус температура стенки (на рис.
1 температура степки условно принята за нуль). При равном нулю градиенте температу.ры скачок бТ тоже исчезает. Поэтому при не слишком болыпих градиентах темпе- ратуры 72 1ЗЯ 1 КИИЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Если продолжить на рис. 1 штриховую прямую до ее пересечения с осью абсцисс, то она отсечет от этой оси отрезок длины я. Другими словами, можно сказать, что распределение температуры прн наличии температурного скачка такое же, каким оно было бы при отсутствии скачка, но со стенкой, отодвинутой па расстояние я . То же самое относится к скольжению газа, причем стенка отодвигается на расстояние Г'. Разумеется, при таких заменах в решениях гидродинамических задач должны сохраняться только члены первого порядка по я или ~.
Поскольку учет скачков температуры или скорости эквивалентен смещению границ на расстояния порядка величины 1, то вызванные этим поправки в решениях задач имеют порядок 1д,1'дл 1/1 первый по величине 1>>Л. Наряду с рассхлотренпыми поправками к граничным условиям существуют еще и другие эффекты того же порядка по 1/Л, которые во многих случаях являются более важными, поскольку здесь возникают некоторые качественно новые явления. Один из них состоит в возникновении движения газа вблизи неравномерно нагретой твердой поверхности так называемое те>1ловое скольжение. Этот эффект в известном смысле. аналогичен термодиффузии в смеси газов.
Подобно тому как при наличии градиента температуры в газовой смеси столкновения с молекулами «чужого» газа приводят к появлению потока частиц, в данном случае поток возникает в результате столкновений с неравномерно нагретой стенкой молекул в узком (с толщиной 1) приповсрхностном слое газа. Обозначим тангенциальную скорость, приобретаемую газом вблизи стенки в результате теплового скольжения, символом Ъ'м а тангснциальнук> составляющую градиента температуры К>Т.
В первом приближении можно утверждать, что»Г> пропорциональна >7>Г, т. е. для изотропной поверхности (14.12) ч, = ~л,т. Коэффициент >и должен быть пропорционален длине пробега (поскольку он связан с частицами в слое газа такой толщины). Тогда из соображений размерности ясно, что р 1((пт). Выразив длину пробега через сечение столкновений и плотность газа, имеем 1 1/(№>) Т((1>Р) и окончательно ,- — ',,Г (14.13) ИР>> т Знак коэффициента р не определяется термодинамическими требованиями; согласно опытным данным обычно д > О.
Наконец, еще один эффект первого порядка заключается в появлении в движущемся газе дополнительного поверхностного (т. е. сосредоточенного в пристеночном слое толщины 1) теп- ЯВЛЕНИЯ Н С«!ЛЬО РЛЯРЕ'КЕПИЫХ 1"ЛЗЛХ лового потока Ч„„„пропорционального нормальному градиенту тангенциальной скорости: (14.14) д (этот поток имеет размерность эрг/сы с). Коэффициенты р, и 1д связаны друг с другом соотношением, следующим из принципа Онсагера. Для вывода этой связи рассмотрим «поверхностную» часть возрастания энтропии, Я„~„, связаннук! с пристеночным движением газа (и отнесенную к единице площади поверхности стенки). Это возрастание складывается из двух частей. Во-первых, наличие теплового потока «1'„„ дает в производную о'„о, вклад (ср.
аналогичное выражение для возрастания энтропии, связанного с объемным тепловым потоком, 1!1! 8 49; 1Х, З 88). Во-вторых, на обтекаемую газом стенку действует сила трения, равная (будучи отнесена к единице площади) — цдК1(д«1. Диссипируемая в единицу времени энергия равна работе этой силы д е'1 — П вЂ” ЛГ!! дп а поделенная на Т она дает соответствующий вклад в возраста- ние энтропии. Таким образом, (14.15) ди Выберем теперь в качестве величин Хо, фигурирующих в об- щей формулировке принципа Онсагера (з 9), векторы 1 1дЪ", Х, = — ЧТ, Ха=- —.
Те ' Тди Тогда сравнение (14.15) с общим выражением (9.3) показывает, что соответствующим1л величинами х будут векторы 1 Х1 Чпое! Х2 Ц 1Г! Роль же «уравнений движения» (9.1) играют соотношения (14.12) и (14.14); записав их в виде х! = Т!!оХ2! х2 = г1пТ Х1, 2 мы придем к искомому соотношению 'Р = ТОР! (14.16) (А. И1айтапп, 1967).
74 1'Л 1 КИИЕ'ГИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Задачи 1. Два сосуда, содержащие гзш при различных температурах Т1 и Т2, соединены длинной трубкой. В результате теплового скольжения установится разность давлений между газами в обоих сосудах гглермомехонический эффект). Определить эту разность. Р о ш е н и е.
Граничное ушювие на поверхности трубки при пуазсйлевском течении под влиянием градиентов давления и температуры с учетом теплового скольжения гласит: о = дг1Т)ах при 1 = 77 (й радиус трубки, ось т направлена вдоль ее длины). Обычным образом (см. Ъ'1, 8 17) находим распределение скоростей по сечению трубки: 1 ар 2 2 11Т с= — — — (17 — г )+р —. 48 11х 11х Количество (масса) газа, протекающего через сечение трубки в единицу времени, равно ряЛ~ г2Р 2 МТ с) = — — — -~- Р11хц~— 88 11к Нт (р — плотность газа). При механическом равновесии О = О, откуда 6Р 821л 8Т 11т Й2 11к Интегрируя по всей длине трубки, находим для разности давлений: Р2 — Р1 = — ~Т2 — Тг) 8'лд 772 Гири не слишком болыпих разностях Т2 — Т1 коэффициенты ц и р можно считать постоянными).
Оценка порядка величины эффекта (с помощьк> (14.13) и (8.11)) дает бР 12 ЯТ Р Л2Т Распределение скоростей по сечению трубки при сГ = 0 имеет вид Вдоль стенок газ течет в направлении градиента температуры (г > 0), а вблизи оси трубки — в противоположном иаправлонии (в < 0).
Т 2. Две трубки (с длинами Ь) различных радиусов (171 < 1 < В ) соедшшны своими концами; места соединения поддерживаются при различных температурах (Т2 > Т1, .разность 72 — Т1 мала). В результате теплового скольжения устанавливается круговое движение газа во трубкам; определить пол2Н1 пый расход газа через сечение трубок. Р е ш е н и е. Разделив соотношение (1) задачи 1 на 27 и интегрируя по замкнутому контуру, образованному обеими трубками, получим Я = "" (Те - Т1)П7',-' — В'-,') 2 Р 1 Течение происходит в указанном на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
