X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 18
Текст из файла (страница 18)
9. В предположении полной аккомодации найти силу трения между двумя твердыми плоскостями (расстояние между которыми Т « 1), движущимися относительно друг друга со скоростью 1', плоскости имеют температу- рыТ! иТю Р е ш е н и е. Пусть плоскость 1 (с температурой Т!) покоится, а плоскость й движется со скоростью )г вдоль оси т; ось у направлена от первой плоскости ко второй. Молекулы со скоростялчи нл > 0 и сл < 0 отражены соответственно от плоскостей 1 и 2:при полной аккомодации их функции распределения 2%! ! Нн! ехр (2 гп!Т!)л1о 1, 2Т! ) 2№ ( т(ч — Ъ')' ехр (2хтТ!)Мл ! 2Т ) прис, >О, при с„< О, где № и № соответствующие плотности числа частиц; полная плотность О! = Х! -Ь №. Условие отсутствия суммарного потока в направлении оси у дает №ч/Т, = № /Тм На каждую из плоскостей действует давление Р = !У!Т! + №лТ! и сила трения (отнесенная к единице площади) ТТ ччт = ~ — „Т,1з,Т,1з „>о Если Т! = То = Т,то Гт Р, = — Р, = 1ЛР)~— Т в соответствии с (15.15), (15,16).
10. В предположении полной акколчодации определить коэффициент теплопоредачи м между двумя пластинками с близкими температурами Т! и Тл. (площадь го( о)!д проецируем на плоскость, перпендикулярную к прямой АА', и делим на квадрат длины этой прямой). Интегрирование производится по области — х/2 < !Л! < х/2, О < ! < 2Всозол, — ос < з < ос, КИИЕ'1'ИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ 1'Л 1 Р е ш е н и е.
При полной аккомодации падающие на пластинку 1 молекулы имеют равновесное распределение с температурой Т2. Поэтому поток энергии от пластинки 1 к пластинке 21 о = сге[Т2 — Т1 ). Взяв ае из задачи 4 и определив и согласно Пб.13). получим ;: = п.ь = (с. -ь -) )Че ~ ~"- Ъ)2 А(~) = ехр Г2хп»Т)зГ' ( 2Т ) Рис. 4 В присутствии диска гшотность числа частиц газа на оси 2 (рис. 4) будет а'12) = 211 ~~ ~онуч)р2 э1п д «122 «)р, о э« ГДЕ д — УГОЛ МвжДУ Ч И ОСЬЮ 2, а де — УГОЛ, ПОД КОТОРЫМ РаДИУС ДИСКа ВИДЕН нз точки наблк»допня па оси 2 (Садо = 11212; частицы с д < де «затенены»).
Интегрирование с учетом условия И )) ит дает , 122 2 2 ° 2 .Ч(2) = — ~ ' ) ~ ехр 4 — — ~(е — И созда) -Р И эш гэо)) еде И 12ЕТУ,/ 'Г 2Т е гпУ2 ) п»И Л = Чо соэ 2)о ехр ( — — эш ео ) = )Чо,, ехр ( —— 2Т ) т/В~+22 ), 2Т Лэ 4-22) где Чо — плотность газа вдш1и от диска. Интегрирование по 14р выполнено в предположении сов 2)о» ит)Ъ' (можно показать, что это же неравенство является также и условном допустимости пренебрежения отраженными ат задней стенки частицами). й 16. Динамический вывод кинетического уравнения Хотя изложенный в 2 3 вывод кинетического уравнения удовлетворителев с физической точки зрения, представляет значительный интерес проследить за тем, каким образом это уравнение можно аналитически получить из математического аппарата теории, т. е.
из уравнений движения частиц газа; такой вывод дан Н.Н. Боголюбовым (1946). Значение этого метода состоит в соответствии с оценкой 115.14). 11. Определить плотносгь газа на осн позади кругового диска радиуса 22 « 1, движущегося в газе го скоростью — Ъ', большой по сравнению со средней тепловой скоростью атомов ет. Р е ш е н и е.
При И )) ет частицы, отраженные от задней поверхности диска, несущественны (за исключением узкой области у этой поверхности .— Ч см. ниже). Все дело сводится к «затенению» диском набегающего потока. В системе координат, в которой диск покоится 1а Е~т 2 газ движется со скоростью Ъ'), в отсутствие ~~.Е самого диска функция распределения была бы равна диилмичвский вывод 89 дН Ра = дг 6~1м> ' 611лз йу<лз ~~~и'~ лю ю.+, р.) = —,=ю, [юю.а а=.1 также и в том, что он дает регулярную процедуру, позволяюшую в принципе получить не только уравнение Больцмана, но и поправки к нему, т. е. члены следующих порядков по малому «параметру газовости» вЂ”.
отношению Яи), где д -- молекулярные размеры (радиус действия молекулярных сил)ю а 7 среднее расстояние между молекулами. Излагаемый ниже вывод относится к одноатомному газу в чисто классических рамках, т. е. в предположении, что не только свободное движение, по и процессы столкновения частиц газа описываются классической механикой. Исходным пунктом метода является теорема р)иувилля для функции распределения газа в целом как системы Л частиц.
Обозна 1им такую функцию (в 6Л'-мерном фазовом пространстве) чеРез 1 (1,т1ю нв,...,т~), гДе символы та обозначают бл') совокупности координат и компонент импульса а-й частицы; та = (га, ра); эта функция будет предполагаться нормированной на единицу: '11, г1,..., тюр') дт1... юютюю' = 1, гюта = 11 та и ра. Фигурирующая в уравнении Больцмапа «одночастичнаяр функция распределения получается интегрированием функции 16 ) по всем Йтаю кроме одного; ,1 ~Н1ю Т1) = 1 ~~) ююТ2 ° ° ° Гютююц (16.1) функция 1" 1~) тоже нормирована на 1; обозначение же 1" (без индекса) сохраним для функции распределения, нормированной па полное число частиц:) = Л ) Н). Напомним (сь1.
'1', 9 3), что теорема Лиувилля возникает как 1шедствие уравнения непрерывности в фазовом пространстве, которому должна удовлетворять функция распределения замкнутой системы: л' ру'( ю ююююююлр ю Ию~юр.)) =ю. юююю) а=-1 С помощью уравнений Гамильтона гав (16.3) дню' отсюда получается равенство 1'Л 1 КИНЕ'ГИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ причем га = ма и ра предполагаются выряженными через т11тзг... согласно уравнениям (16.3), равенство (16.4) и составляет содержание теоремы Лиувилля. Функцию Галгильтона одноатоьлного газа представим в виде Е1 = ~ Р" + ~~1 51((г — ТЬ)). а<Л Ь<а<Л1 (16.5) Здесь предполагается, что внешнее поле отсутствует, а взаимо- действие частиц газа друг с другом сводится к сумме их попар- ных взаимодействий ). С такой функцией Гамильтона уравнение (16.4) принимает вид д>' ', ~~— ~д~' д> ' ~ дс' ь) д1 дг др дг а=1 Ь<а где 51аь (а ф 5) обозначает 51(!га — ТЬ/).
Проинтегрируем теперь это уравнение по 11тя... с)тлгч В ре зультате такого интегрирования из всех членов под знаком суммы в (16.6) останутся лишь те, .которые содержат дифференцирования по р1 или г1) интегралы от остальных членов преобразуются в интегралы по бесконечно удаленным поверхностям в импульсном или координатном пространстве и обращаются в нуль. Таким образом, получим дгг1 1(йтг) + дгг1 1(йт;) Л / дП>г дуг1(йтг,тг) дЬ дг1 / дгг др1 где у'1 ) нормированная на 1 двухчастичная функция распределения, т. е. интеграл 1' ) (г, т1, тй) = 1(' ) ТЬтз...
Т1тм (16.8) (множитель Л' в (16.7) учитывает члены, отличающиеся лишь обозначением переменных интегрирования; строго говоря, число таких членов есть Л вЂ” 1, но, ввиду очень большой величины Л', Л' — 1 = Л'). ') Последнее предположение имеет модельный характер. Подчеркнем, однако, что на результате первого приближения (отвечающего уравнению Больцмана) оно вообгце не сказывается: в этом приближении фигурируют только двойные столкновения частиц, в которых друтие (не парные) взаимодействия не участвуют 91 диихмичвский вывод Аналогичным образом, проинтегрировав (16.6) по г1тз...
(1тл, получим уравнение д(ув дт" дгв дрв + — — м~ ь(тз, (16 9) др2 дг2 дУ(м дУ(м дУ(м д(т в дУ(м +м( +г2 д( дг( дг д., др, 1 дУ(ю д1( д(цт) дУгн ((в Л /' в,1тз/ д„д„ дт др тв' Отсюда видно, что правая часть уравнения (16.9) мала в отношении (й~г~12 по сравнению с содержащими дГ(((дг членами в левой части уравнения и поэтому ею можно пренебречь.
Совокупность же ч.ленов в левой части уравнения представляет собой полную производную ((1( ~,(й, в которой г(, г2, р(, рв рассматриваются как функции времени, удовлетворяющие уравнениям движения (16.3) с функцией Гамильтона задачи двух тел: О = 1" + Рв + щг( — г2~), 2(п 2т где ~~~~(Е, т(, тяз тз) трехчастичная функция распределения. Продолжая таким образом, мы получили бы практически неограниченную 1Л очень велико!) цепочку последовательных уравнений, каждое из которых выражает ~~"д через ~~" ь().
Все эти уравнения точные в том смысле, что никаких предположений, связанных с разреженностью газа, в них еще не делалось. Но для полу гения замкнутой системы уравнений эту цепочку надо где-то оборвать, воспользовавшись условием разреженности газа. В частности, первому приближению метода отвечает обрыв цепочки уже на первом уравнении (уравнение (16.7)), в котором двухчастичная функция 1(2( будет приближенно выражена через 1(П.
Последнее осуществляется с учетом разреженности газа с помощью уравнения (16.9). Обращаясь к этому уравнению, покажем прежде всего, что интеграл в его правой части мап. Действительно, функция 0(т) заметно отлична от нуля лишь в радиусе действия сил, т. е, при т < (1. Поэтому и в обеих частях интеграла в (16.9) интегрирования по координатам происходят фактически лишь по областям (га — г~ ~ < (1 или (гэ — г2~ < (1, т. е.
по обьему (г'. Заметив также, что при интегрировании по всему объему газа У Л'тз было бы ) 1'( ~ Йтэ = 1'~ ~, находим следуюшую оценку: 92 КИИЕ"1'ИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОН 1ЗЯ 1 Таким образом, имеем 1л — л ~2)(1, тл,т2) = О. (16.10) До сих пор все преобразования уравнений носили чисто механический характер. Разумеется, для вывода кинетического уравнения необходимо сделать также и некоторое предположение статистического характера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
