X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(194) Корреляционная функция обладает также и более глубокой симметрией, выражающей симметрию равновесного состояния системы по отношению к обращению времени. Обращение времени заменяет более поздний момент времени 8 на более ранний — 1, а также меняет значения величин Г на обращенные Г" . Указанная симметрия выражается поэтому равенством (б1(1,г,Г!)д~(О,О,ГЗ)) = (Б)( — ~,г,Г~!)б1(О,О,Г~~)).
(195) При ~ = 0 функция (19.2) связывает флуктуации в различных точках фазового пространства в один и тот же момент времени. Но корреляции между одновременными флуктуациями распространяются лишь на расстоянии порядка величины радиуса действия молекулярных сил. Между тем в рассматриваемой теории такие расстояния рассматриваются как равные нулю и, таким образом, одновременный коррелятор обращается в нуль. Подчеркнем, что это обстоятельство связано именно с равновесно- стью состояния, относительно которого рассматриваются флуктуации.
В неравновесном случае, как мы увидим в следующем параграфе, одновременныс флуктуации тоже коррелированы. В отсутствие корреляции на отличных от нуля расстояниях одновременный коррелятор сводится к б-функциям, причем коэффициент при этих функциях определяет средний квадрат флуктуации в одной точке фазового пространства (ср. 1Х, ~ 88).
В идеальном равновесном газе средний квадрат флуктуации функции распределения совпадает со средним значением самой этой функции (см. У, 8 113) и, таким образом, (б1(0, г, Г!)б1(0,0. Гв)) = ДГ1)б(г)б(Г1 — Г2). (196) Неодновременная же корреляция между флуктуациями в различных точках существует уже и в теории, пренебрегающей молекулярными размерами. Необходимость возникновения этой корреляции очевидна уже из того, что частицы, участвующие в опреде.пенный момент во флуктуации в некотором месте фазового пространства, в следующие моменты будут уже находиться в других местах. Задача о вычислении коррелятора при ~ ф 0 не может быть решена в общех! виде, но может быть сведена к решению опре- 107 Флуктуации В РАВноВесном ГАЕВ Га = — ~~ ~Л ьть ь (19.7) с постоянными коэффициентами Л,ы Тогда можно утверждать, что корреляторы величин ха удовлетворяют таким же уравне- ниям — (Ха(г)яс(0)) = ~ Лаа(гаа(~)тс(0))~ г > 0 (19 8) ь (индекс с в этой системе уравнений свободный).
Решив эти урав- нения при 1 > О, найдем затем значения функций при 1 ( 0 согласно свойству симметрии (т„(1)аь(0)) = (хь( — 1)т„(0))., (19.9) являющемуся следствием определения корреляторов. В данном случае роль уравнений движения (19.7) играет липеаризованное уравнение Больцмана для малой добавки д( к равновесной функции распределения У. Таким образом, коррелятор функции распределения должен удовлетворять интегродифферснциальному уравнению (-:, Г- — +У1 — — ТГ) (6~(1,Г,Гд)ВДО,О,Гя)) = 0 при 1 > О, (19.10) дг где 11 - линейный интегральный оператор, действующий на переменные Г1 в следующей за ним функции согласно определению; 118 (Г1) = 1 ш(ГП Г; Г'„, Г') [~, 8', + 7" 8' — Д, 8, — Я1 Г1Г пГ', дГ. ('19.П) Переменные же Гг в уравнении (19.10) - . свободные.
Начальным условием для уравнения счужит зна |ение (19.6) коррелятора при 1 = О, а коррелятор при 1 ( 0 определяется затем равенством (19.4) (условие же (19.5) удовлетворяется в результате автоматически). Формулы (19.10), (19.11), (19.4) и дают ту совокупность уравнений, которые в принципе достаточны для полного определения коррелятора.
деленных уравнений. Для этого надо вспомнить следующее положение общей теории квазистационарных флуктуаций (см. Ъ', ~ 118, 119). Пусть х (г) флуктуирующие величины (с равными нулю средними значениями). Предполагается, что если система находится в неравновесном состоянии со значениями ха, выходящими за пределы их средних флу.ктуаций (но все же малыми), то процесс релаксации системы к равновесию описывается линейными «уравнениями движенияа вида 108 кипе'Гичяскля ГКОРия ГАзои Обычно представляет интерес не сам коррелятор, а его фурье-образ по координатам и времени, который мы обозначим символом (д2"!д22) !„где индексы 1 и 2 обознача1от аргументы Г! и 121 1д11д12) и =,)' !11 )'(д1(2,г,Г!)ду(0 О Г2))е — !( Г ьГ1!1зт (19.12) !спектральная функция флуктуаций, или спектральный коррелятор).
Если флуктуируюшую функцию разложить в интеграл Фурье по времени и координатам, то среднее значение произведений ее фурье-компонент связано со спектральным коррелятором формулой Я,д,(Г!)д7'„!и (Г2)) = (2к)ад(Га+ 1а')д(1с+ 1с')(ду!д12),„и (19.13) (ср. Ъ', 8 122). Легко написать уравнение, которое позволяет в принципе определить спектральную функцию флуктуаций без предварительного вычисления пространственно-временного коррелятора. Разбив область интегрирования по 1 в (19.12) на две части (от — оо до 0 и от 0 до оо) и используя (19.4), получим (д~!д~2) и = (д~!дЛ) „+ (д~здЛ) +„~., (19.14) где (Ь~!дИ к = ) 11Г1(ду(1, г,Г!)дДО,О,Г2))е Цк — 1~ 11зк о (19.15) Совершим над уравнением (19.10) одностороннее преобразование Фурье (19.15). При этом члены с производными !ю Х и по г интегрируем по частяьл! учитывая, что коррелятор должен стремиться к нулю при г — > оо и при 1 — э оо, а при 1 = 0 должен даваться формулой (19.6).
В результате получим искомое уравнение в виде ~1(1ст! — и!) — 7)](д~!д72)~+„~ = ДГ!)д(Г! — Г2). (19.16) Если интересоваться не флуктуациями самой функции распределения, а лишь флуктуациями плотности газа, целесообразно проинтегрировать уравнение (19.16) по 11Г2! ~1(1ст — ш) — 1ид~(Г)дХ)~к~ = 7(Г). (19.17) Искомая же спектральная функция (дХ2) и получается из решения этого уравнения однократным (а не двукратным, как в (19.3)) интегрированием. 109 Флуктулции В Рлвновесном глзе Другой способ нахождения 16Лг2) и основан на связи коррелятора плотности с обобщенной восприимчивостью по отношению к слабому внешнему полю вида Г1(1,г) = и„ке10т 0 119.18) 1см.
1Х, 9 86) 1). Если под влиянием этого поля возникает изменение плотности бй1„й = о1го,1с)бг 1„ 119.19) то 1согласно 1Х, 186.20)) в классическом пределе спектральный коррелятор плотности 161"лг )„1, = — 1шгг1го, 1с). 119.20) Пусть 6Я,г) изменение функции распределения под влиянием этого же поля. Оно удовлетворяет кинетическому уравнению д61 д61 я~ в7 16 дг д.
дг ду Фурье-компоненты функции оу" 11, г, Г) запишем в виде Г.,1Г) = )~.„(Г)Г„„, выделив в них внешнее поле. Тогда для у„й имеем уравнение ду ~2()су — п2) — Т))с й(Г) = 21с —. дъ По решению этого уравнения искомый спектральный коррелятор определяется однократным интегрированием: (6Х2)м1, = 2 1пг )' „(Г) г)Г, 119.22) 119.21) 3/2 2 <6ж<С, )6~<0,О)) = 2г'( ) — р ( —,), 16%2) .ь = — ( ) ехр ( — ) . 12) ю 1 Подчеркнем, что эта связь существует только в равновесном случае. Задачи 1. Определить коррелятор плотности в равновесном одноатомном газе в пренебрежении столкновениями. Р е ш е н и е.
Для одноатомного газа величинами Г являются три компоненты импульса р. Решение уравнения 119.10) при 11 = 0: 16~10 г, р1)6110, О, рз)) = 11р1)61г — ъ1061р1 — р2). Рго фурье-комнонента: 16116Я 1, = 2к11р1)61р1 — р2)61щ — )су1). Интегрирование этих выражений 1с максвелловской функцией 1) дает для коррелятораплотности: гл 1 кипятичвс'кля твогия газов 2. То же для интеграла столкновений вида 1~9 = — Х(т с постоянным временем г.
Р е ш е н и е. Уравнение (19.16) сводится к алгебраическому. Определив из него (ббб 12) „, найдем затем по (19.14): (-<-1 (ббв12) к = 2т1(р~) 6(Р~ — Ре). (3) 1 + те(1сч1 — /) е Отметим, что наличие даже малого числа столкновений меняет асимптотическое поведение спектрального коррелятора плотности при больших частотах,ш » йп,т. е. для флуктуаций с фазовой скоростью,много большей тепловой скорости молекул. Действительно, в етом пределе (бу).ь= —, 2Х тше ' т. е. коррелятор убывает с увеличением частоты по степенному закону вме- сто экспоненциального в (2). й 20.
Флуктуации функции распределения в неравновесном газе Пусть газ находится в стационарном, но неравновесном состоянии с некоторой функцией распределения У(г, Г), удовлетворяющей кинетическому уравнению и — = 811. (20.1) дг Функция 1 может сильно отличаться от равновесной функции распределения 1о, так что интеграл столкновений о(1 ве предполагается лииеаризованным по разности У вЂ” 19. Стационарное перавновеспое состояние должно поддерживаться в газе внешними воздействиями; в газе может иметься поддерживаемый внешними источниками градиент температуры, газ может совершать стационарное движение (не сводящееся к движению как целого) ит. и.
Поставим задачу о нычислеиии флуктуаций функции распределения 1"(г,г, Г) относительно 1"(г, Г). Эти флуктуации будут снова характеризоваться коррелятором (19.1), в котором усреднение производится обычным образом по времени при заданной разности 1 = 11 — 12, и коррелятор зависит только от 1. Ввиду неоднородности распределения 1'(г, Г), однако, коррелятор будет зависеть теперь от координат г1 и г2 по отдельности, а ие только от их разности. Свойство (19А) запишется теперь в виде (дЛ(1)дЬ(0)) = (Ь|2( — 1)охзг1(0))., (20.2) где 11(8) = 1 (1 г1;Г1) 12(0) = ЛО;г2 Г2) 1 20 Флуктулции в нкглвновкс:ном глас Соотношение же (19.5), связанное с обращением времени, в неравновесном случае, вообще говоря, отсутствует. Коррелятор функции распределения по-прежнему удовлетворяет тому же уравнению (19.10): ( — + ч1 — — 11) (б1'1(1)б~2(0)) = О, (20.3) где 1г линейный интегральный оператор (19.11), действующий на переменные Г1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
