X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Вопрос же о начальном условии к этому ы уравненглю, т. е. о виде одновременного коррелятора, значительно более сложен, чем в равновесном случае, где он давался просто выражением (19.6). В неравновесном газе одновременный коррелятор сам определяется из некоторого кинетического уравнения, вид которого можно установить, воспользовавшись связью корреляционной функции с двухчастичной функцией распределе— (2) ния у" ', введенной в 6 16.
В стационарном состоянии функция — 00 (г1.,Г1;г2,Г2), как и у'1г,Г), не зависит явно от времени. Для вывода этой связи замечаем, что ввиду бесконечной малости фазового объема Йт = Йзт ЙГ в нем может находиться одновременно пе более одной частицы 2). Поэтому среднее число ) Йт есть в то же время вероятность частице находиться в элементе Йт (вероятность же нахождения в нем сразу двух частиц есть величина более высокого порядка малости). Отсюда же следует, что с:реднее значение произведения чисел частиц в двух элементах Йт1 и Йтз совпадает с вероятностью одновременного нахождения в каждом из них по одной частице.
Для заданной пары частиц это есть, по определению двухчастичной функции — (2) распределения, произведение ~~2 Йт1 Йтз. Но поскольку пара частиц может быть выбрана из (очень болыпого) полного числа частиц 1ч' (М вЂ” 1) — Л/2 способами, то (21 Йтг ' 22 Йт2) = Л .Г12 Йт1 Йтз.
2 — (2) Получающееся таким образом равенство (1гЯ = Л' 1'~2 отно- 2 — 00 сится, однако, лишь к различным точкам фазового пространства. Переход же к пределу г1, Г1 — 1 г2, Г2 требует учета того, что если Йт1 и Йгз совпадают, то атом, находящийся в Йты тем самым находится в в Йтз. Соотношение, учитывающее это обстоятельство, имеет вид фЯ = Л'~~,2 + ~16(г1 — гз)б1Г1 — Г2). (20.4) ' ) Использование етого уравнения в неравновесном случае введено Лангом (М. Ьах, 1066). ) Следующий ниже вывод —.
перефразировка рассуждений из Ъ', 6 116. 112 ГЛ. ! КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Действительно, умножим это равенство на ЙТ1 ЙТ2 и проинтегрируем по некоторому малому объему Ьт. Первый член справа дает при этом малую величину второго порядка ( (АГТ) ); член же с о-функциями дает ) сат, т. е. величину первого порядка. Мы получим, следовательно, (( ) 1 Йт) ) = у1АТ., как и должно быть, принимая во внимание, что с точностью до величин первого порядка в малом объеме 1ат может находиться лишь 0 или 1 частица. Подставив (20.4) в определение одновременного коррелятора (б~1(0)512(0)) = (~1(0)У2(0)) — ~1Д2, получим искомую связь между ним и двухчастичной функцией распределения: (б71(0)дЬ(0)) = Л'2~12 — ~1~2 +,(15(г1 — г2)б(Г1 — Г2). (20.5) В равновесном идеальном газе двухчастичная функция распределения сводится к произведению 7'12 — — 7'172/Л, и тогда (20.5) — (2) — (2) сводится к (19.6).
В любом случае ('12 стремится к указанному произведению при увеличении расстояния между точками 1 и е, так что (б71(0)б72(0)) -+ 0 при ~г1 — г2~ — Р оо. (20.6) Двухчастичная функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению, аналогичному уравнению Больцмана. Это — (2) уравнение можно было бы вывести из уравнения (16.9) для 1 подобно тому, как уравнение для одночастичной функции было выведено из (16.7) ).
Мы, однако, дадим здесь вывод уравнения — (2) для 1, аналогичный основанному на наглядных физических соображениях выводу уравнения Больцмана в З 3. Будем рассматривать в качестве неизвестной не самую функ-(г) цию 1", а разность ЗЗ(г1~ Г1, :г2; Г2) = Л (20.7) '1бра1цающуюся в нуль 11ри ~г1 — г2~ — + ОО (коррелятор (20.5) без последнего члена).
Эта величина является малой в обычном ') В 2 17 уравнение (16.9) использовалось лишь для специфической цели— — св для исключения 1 из уравнения для 1. 113 1 20 ФлуктуАцни В неРАВнОВеснОм ГАЗВ в теории флуктуаций смысле --- порядка 1/ЛГ по сравнению СУЛ В отсутствие столкновений функция уз удовлетворяет уравнению, выражающему собой просто теорему е)иувилля посто— (2) янство 1 вдоль фазовой траектории пары частиц: — = — = У1 — +Уз — = О. (20.8) Ж Ж дг1 дгг Изменение же со за счет столкновений связано с процессами двоякого рода. Столкновения частиц 1 и 8 со всеми остальными частицами, но не друг с другом, приводят к появлению в правой части уравнения (20.8) членов 1192+ Х~у, где 1~ и 1~ линейные интегральные операторы (19.11), действующие соответственно на переменные Г1 и Г2.
Столкновения же частиц 1 и 2 друг с другом играют особую роль; они приводят к одновременному «перескоку» обеих частиц 1 и 2 из одной пары точек фазового пространства в другую. В точности тс же соображения, что и при выводе (3.7), дают в правой части (20.8) член вида Б(г1 — г2) 8112 2', где 8112 т" = ) ю(Г1, Г2, Г1Г~2)(2" 172 — 21Я с~Г1 с~Г2 (20.9) (в этом интеграле флуктуациями можно пренебречь); множитель б(г1 — г2) выражает тот факт, что столкновения испытывают частицы, находящиеся в одной точке пространства ). Окончательно приходим к следующему уравнению; д1Р дю У1 — + У2 — — 11 у — 12 р = д(г1 — г2) %12 ('. (20.10) дг1 дге Решив это уравнение, мы получим согласно (20.5) функцию, играющую роль начального условия к уравнению (20.3) при1 = 02). Без правой части однородное уравнение (20.10) имеет решение 92 = У0121У02+ 102М~01, ~У0 = — ~~ЛГ+ — 1~Т+ — Г~зу, дГа д1е д~е дЛг дт дч (20.11) отвечающее произвольным малым изменениям числа частиц, температуры и макроскопической скорости в равновесном распределении Д.
) Если проинтегрировать интеграл (20.9) еще и по дГз, то получится обычный интеграл столкновений Больцмаиа. ) Этот результат принадлежит С.В. Ганпеепчу, В.Л. Гуревичу и Р. Каглилюсу (1969) и Ш.М. Когану и А.Я. Шульману (1969). 114 1'Л 1 КИИВТИЧВСКЛЯ ТИОРИЯ ГАЗОВ Это «паразитное» решение, однако, исключается условием 1р -» 0 при ~гг — г2~ — » ОО. Поэтому в равновесном случае, когда интеграл Яш тождественно обращается в нуль, из уравнения (20.10) следует чз = 0 и мы возвращаемся к начап1ьному условию (19.6).
Правая часть уравнения (20.10), т. е. парные столкновения между частицами в заданных состояниях Г~ и Гз, является, таким образом, источником одновременной корреляции флуктуаций в неравновесном газе. Приводя к одновременному изменению чисел заполнения двух состояни1л, парные столкновения порождают корреляцию между этими числами. В равновесном состоянии, ввиду точной компенсации прямых и обратных парных столкновений, этот механизм неэффективен и одновременныс корреляции отсутствуют. Если распределение У не зависит от координат г (как это может быть при поддержании неравновесности внешним полем), то можно поставить вопрос о флуктуациях функции распределения, усредненной по всему объему газа, т. е. о флуктуациях функции У(~1) = ~,('УР ' 1')13 (20.12) (которую мы обозначим той же буквой ~, по без аргумента г). Соответствующая корреляционная функция удовлетворяет уравнениюю, отличающемуся от (20.3) отсутствием члена с производной по координатам: < — + Р1 — 1~ (б~(1, Гг)б~(01 Гз)) = 0 при 1 ) 0; (20.13) дг др1 в левой части добавлен член, связанный с силой Р, действующей на частицы во внешнем поле.
Одновременный жс коррелятор (бУ(О, Г,) бУ(О, Гя)) = Лгз,1 (1 1 я),((Г3),~(ГЗ) + В(Г1 1 я) У У(1. ) — = чз(Г1, Гз) + ' б(Г1 — Гя) (20.14) У удовлетворяет уравнению ! Е,— + Е,— — (1, + 1,) э (Г„Г,) = й,, д(Г„Г,). (20.16) др, др, Если газ находится в замкнутом сосуде, то это уравнение должно решаться при дополнительном условии, выражающел1 собой 115 1 20 ФЛУКТУАЦИИ В НВРАВИОВВСНОМ ГАЗЕ заданность (т.
е. отсутствие флуктуаций) полного числа частиц в газе: ((61(О,Г1)61(О,ГВ)) Г1Г1 = ) (61(О,ГГ)6Х(О,ГВ)) дГВ = О. (2016) Это условие должно выполняться и в равновесном случае. Между тем выражение ~(ГГ)б(Г~ — Гз)/Р, соответствующее коррелятору (19.6), ему не удовлетворяет. Правильное выражение можно получить за счет произвола (20.11); подобрав должным образом параметр ЬЛГ, получим (6('(О, ГГ)б~(0, Гз)) = — ((Г1)6(Г1 — Гз) — — ~(Г1)~(ГВ).
(20.17) Отметим, что этот коррелятор содержит также и не 6-функ- ционный член. ГЛЛВЛ И ДИФФ'УЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ й 21. Ъ'равнение Фоккера — Планка Значительную категорию кинетических явлений составляют процессы, в которых средние изменения величин (от которых зависит функция распределения) в каждом элементарном акте малы по сравнению с их характерными значениями. Времена релаксации таких процессов велики по сравнению с временами элементарных актов, составляющих их микроскопический механизм; в этом смысле такие процессы можно назвать медленными. Типичный пример такого рода дает задача о релаксации по импульсам небольшой примеси тяжелого газа в легком (который сам по себе предполагается находящимся в равновесии).
Ввиду. малой концентрации тяжелых частиц, их столкновениями друг с другом можно пренебречь и рассматривать их столкновения лишь с частицами основного (легкого) газа. Но при столкновении тяжелой частицы с легкими се импульс испытывает лишь относительно малое изменение. Будем для определенности говорить именно об этом примере и выведем киветическое уравнение, которому удовлетворяет в таком случае функция распределения частиц примеси по импульсам, ~(1., Р) Обозначим через ш(р, с1) азу отнесеипук> к единице времени вероятность изменения импульса р э р — г1 тяжелой частицы при элементарном акте . ее столкновении с легкой частицей. Тогда кинетическое уравнение для функции 1 (1, р) запишется в виде =,)(ш(р+с1~с1)У(Х р+с1) — ш(р г1)у(~ р))дзд (211 где справа стоит разиость между числом частиц, поступающих (в 1 с) в заданный элемент импульсного пространства д р и по'з кидающих его за то же время.
Согласно сделанным предположениям, функция ш(р, г1) быстро убывает с увеличением с1, так что основную роль в интеграле играют значения г1, малые по сравнению со средним импульсом частиц. Это обстоятельство позво- 117 1 Вп УРЛВНЕНИЕ ФОККЕРЛ ПЛЛНКЛ ляет произвести в подынтегральном выражении разложение 2в(Р+Ч,Ч)П12Р+ Ч) = 2л(Р,Ч)1(1,Р) + д д2 +Ч вЂ” (Р,ЧИ(1,Р) + -Д Чд (Р,ЧШ1,Р). др ' ' 2 дВ дВВ В резульгнте кинетическое уравнение примет вид — = — 2(А Д'+ — (В дД дед( —.д д2 дг2„( дВВ (21.
2) где А„= ( 21„2В(Р,Ч) П д, В„д = — ) д,„рю(Р,Ч) П д. (21.3) Таким образом, кинетическое уравнение из интегро-дифферен- циального становится дифференциальным. Величины А„и ВВВ можно записать в символическом виде, более ясно выражающем их смысл: 2 7" = сопв1. ехр( — ), где М вЂ” масса частиц тяжелого газа, а Т вЂ” температура основного (легкого) газа. Подстановка этого выражения в уравнение (21.4) 42 ' ' 2Й где знак 2 означает суммирование по (большому) числу столкновений, происходящих за время бй Вырагкение в правой части (21.2) имеет виц дивергенции в импУльсном пРостРанстве, — дн„/дро, от вектоРа в = — А 7" — (В Д') = — А„)' — В„е, А„= А + дРЕ дРВ дРВ (21.5) Друтиь2и словами, (21.2) имеет, как и следовало, вид уравнения непрерывности в импульсном пространстве; тем самым автоматически соблюдается сохранение числа частиц при процессе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
