X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 25
Текст из файла (страница 25)
=о Мы увидим яиже, .что последовательные члены этого разложения быстро убывают но порядку величины. Поэтому фактически достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения: 7(р, О) = 1о(р) + 11(р) сов О. (22.8) Интеграл в (22.1) при подстановке (22.8) дает ) [ 1'(р, 0') — ('(р, О)) йт = †~ сов 0 (ср. преобразование такого же интеграла в (11.1)), после чего кинетическое уравнение принимает вид — еЕ[1асов0+ 1, сов О+ — вш 01 + — (ваР ) + — 11сов0 = О, / ,2 71 ' 2 1 1 2 ( н где штрих означает дифференцирование по р; здесь опущен член р 2(в1рз) сов О, заведомо малый (в отношении гп/М) по сравнении> с членом (н ~1,Ч) сов 0 (во и в1 —.
выражения (22.5) с Д или ~1 вместо Д. Умножив это уравнение на Ро = 1 или на Р1 = сов 0 и проинтсгрировав его по псов О, получим два уравнения: — (р'В)' = О, ~ = — — (р~|о + ВТЯ вЂ” — 'Л, (22.9) 1Л1 3 ~ = — ''Л (22.10) в Выражение Я представляет собой плотность потока частиц в импульсном пространстве, изменснного электрическим полем. Из (22.9) следует, что Я = сопв1/рз.
Но поток Я должен быть конечен при всех значениях р; поэтому сопвс = О. Подставив теперь ~1 из (22.10) в уравнение 5 = О, найдем уравнение,. определяющее функцию ~о(Р): 124 диФФузиопыое пгивлиэквиии гл и ,!Д !6 То(р) = сопв1 ( — '+, ) с —.7т (22 12) ~т 6Г где еЕ! йв 'у = — ~( —. Т 1!! !и (22.13) Для функции же 1'!(р) из (22.10) и (22.12) имеем / т -!е7Т 1! лх а)т т уэ,'6 (22.14) Величина у является тем параметром, который характеризует степень воздействия поля на распределение электронов.
Предельный случай слабых полей отвечает неравенству у « 1. В первом приближении (е(р!) сводится тогда, к невозмущенному максвелловскому распределению ()ос!зе е!~, е = ЗТ)!2), а Л = — — 1о, З«1. еЕ1 Т (22.15) Возникающий в газе электрический ток определяется подвижно- стью электронов Ь = '" = ) псевд ~дар = — ) п~!дзр (22 16) — гŠ— еЕМ, зг.ЕМ, (Хе плотность числа электронов) 2). Простое вычисление с )! из (22.15) даст для !юдвижности в слабом поле 2з/э1 Ьо = Зк Пе(т Т) Пг (22.17) Как и следовало, это выражение удовлетворяет соотношению Эйнштейна Р = ЬТ, где Р— коэффициент диффузии (11.10). Это во всяком случае выполняется при достаточно низких температурах электронов, поскольку зрщ медленных частиц сечение стремится к независящему от энергии пределу (см.
1П, 3 132). !) Отметим, что, ввиду ортогональности различных полиномов Лежандра, из всех членов раздол!ения (22.7) вклад в нормировочный интеграл дает только член )в, а вклад в н.- -- только член 1! соэ и. До сих пор мы не делали никаких предположений о виде функции 1(р), а интеграл уравнения первого порядка (22.11) может быть написан с произвольной функцией 1(р). С целью получения более конкретных результатов предположим 1 = сопв1, что эквивалентно предположению о независимости сечения и! от импульса '). Тогда интегрирование уравнения (22.11) дает 1 22 оллво ионизованный глз в элвктгичвском полк 125 бе - Ъ'дР - Ъ'р - г~ — г/Тггг 1Т (Р и и' - импульс и скорость атома; изменение БР порядка величины импульса электрона).
Сравнение обоих выражений и приводит к требуомому критерию. В обратном случае сильных полей (у» 1) находим 1) .1а(р) = Аехр зг" 1У А = ', (22.18) 2з~г хр13~4) афпг~ Т) г2г ' 11 = — 6 — — 2О Ш Е '11 мтл (22.19) Средняя энергия электронов: г= -~~ — Г Я е! =0,~3 К1~~ —., (22. 20) а их подвижность 4Г(5гг4)1'г~ (22. 21) заыпггг(гпМ)г24(ей) ггг ' Остается выяснить критерий сходимости разложения (22.7). Для этого замечаем, что его последовательные члены связаны, по порядку величины, соотношением 2п — 1 2п (22. 22) гпе (после подстановки (22.7), умножения на Рп(сов д) и интегрирования по дсов О в левой части кинетического уравнения остается член с 2п< и а в интеграле столкновений лишь с уп).
При у « 1 средняя энергия электрона е Т, и из (22.22) имеем — ' - — "' «(=) ' «1. Т М ') Формулу (22.18) проще получить, решая заново уравнение (22.11) (положив в нем Т = 0),чем путем предельного перекидав (22.12). Смысл неравенства 7 « 1 как критерия слабости поля можно понять из следующих простых соображений. Очевидно, что влияние поля на распределение электронов будет слабым до тех пор, пока энергия, набираемая электроном за время его свободного пробега, будет мала по сравнению с энергией, отдаваемой им атому при столкновении. Первая из них есть еЕ1, а вторая 126 диФФузиопыое !!Ривлижвнив !л и В случае же болыпих полей, когда у » 1! средняя энергия е еИ(М/т) !, так что снова У ~У ( !М)1,!2 ~ч 1 Таким образом, сходимость разложения обеспечивается мало- стью отношения гп(М й 23. Флуктуации в слабо ионизованном неравновесном газе В этом параграфе мы рассмотрим флуктуации функции распределения электронов в стационарном неравновесном состоянии слабо ионизованного газа; газ пространственно-однороден и находится в постоянном однородном электрическом поле Е.
Мы будем интересоваться лишь временной, по не пространственной корреляцией флуктуаций. Тогда имеет смысл ввести вместо зависящей от координат точной (флуктуирующей) функции распределения 1'(1,г, р) усредненную по всему объему газа функцию у (г! р) = — ) ( (8, г, р) гг'х (23.1) (которую мы будем в этом параграфе обозначать той же буквой 2", без аргумента г); эта функция флуктуирует только со временем. Функция же 1(р)! по отношению к которой флуктуирует 1, есть найденное в предыдущем !тараграфе расг!ределение (22.8). Для рассматриваемой системы представляют особый интерес не столько флуктуации функции распределения самой по себе, сколько связанные с ними флуктуации плотности электрического тока 1.
Корреляторы этих величин связаны друг с другом очевидной формулой (бу (1)буд(0)) = -'1УЫ,р)Ч(О,р'))пар 2зрИ, (232) причем, разумеется, о) есть флуктуация плотности тока, усред- ненная по объему газав), ') Отметим, однако, что поправки !э, уз,, нельзя было бы определять с помощью уравнения (22Л), так как в этом уравнении использовано фоккерпланковское приближение, в котором величинами высших степеней по т(М уже, пренебрежено. ! ) Такое усреднение соответствует постановке опыта, в котором измеряются флуктуации полного тока в газе. флуктуация полного тока равна флуктуации усредненной плотности тока в данном направлении, умноженной на сечение образца.
127 1 23 Флуктуации н слглво ионизоваггнолг гмгге Решение задачи для неравновесного газа основано на указанном в 9 20 общем методе ). Согласно этому методу, коррелятор (бу(1,р)бу(0,р')) удовлетворяет (по переменным 1 и р) кинетическому уравнению (22.1), которос играет в данном случае роль уравнения (20.13) общего метода. Вместе с этим коррелятором такому же уравнению удовлетворяет и фу.нкция д(Х, р) = Дб~(Хг р)б('(О, р'))и'гМзр' (23 3) через которуго в свою очередь выражается искомый коррелятор тока: (б1г„(1)бгя(0)) = е )'д11(1 р)и гггзр (23 4) Таким образом, имеем уравнение ~ — е Е д=' р2В '~+ — №г Яд(1, р, й) — и(1, р, 0')) бкт (23.5) с В из (22.3). Кинетическое уравнение (22.1) учитывает столкновения электронов только с молекулами, но пе друг с другом. Поэтому здесь нет механизма, устанавливающего одновременную корреляцию между электронами с различными импульсами и «начальноеэ условие 1цгя функции и(1,р) будет таким же, как и в равновесном состоянии.
Поскольку речь идет о флуктуации функции распределения, усредненной по всему объему газа, то должно быть учтено постоянство числа частиц (электронов) 2). Согласно (20.17), при таком условии имеем (бДОг р)б~(0, р')) = — ' ~Др)б(р — р') — — 7(р)7(р')1 ') Исследование этой задачи Прайсом (РЛ. Рггсе, 1999) яггилось ггервыхг примером вычисления флуктуаций в неравновесной систелге. Мьг следуелг здесь излолгению В.Л. Гуреепчи и Р. Катилюса (1965).
) Интересуясь только влиянием па флуктуации неравновесности, связанной с наличием поля, мы пренебрегаем флуктуациями полного числа электронов, связанными с процессами ионизации и рекомбинации. Строго эти флуктуации могут отсутствовать в случае, когда все электроны образованы примесями с малым потенциалом ионизации; полное число электронов совпадает тогда просто с полным числом примесных атомов. Пренебрегается также флуктуацнями концентрации нейтральных молекул.
Относительная флуктуация этой концентрации заведомо мала по сравнению с такой жо для электронов,поскольку концентрация электронов много меньше концентрации молекул. 128 диФфузионыов ИРиалигканик ГЛ г! (Х, плотность электронов), откуда для начальной функции (23.6) 8(0!р) = — 1(р)(тг — Ъ'), где Ъ' - — средняя скорость электронов в состоянии с распределением У(р). Скоросгь Ъ направлена, разумеется, вдоль поля Е: напишем ее в виде Ъ' = — еЬЕ, (23.7) где 6 подвижность. Постоянство полного числа электронов означает также, что | д1 аг~р = 0 и потому (1, р) г1зр = О (23.8) Следуя описанному в 8 19 методу, совершаем над уравнением (23.5) одностороннее преобразование Фурье; умножаем его на егыг и интегрируем по 1 в пределах от 0 до со.
При этом член ег гд8/д1 ггреобразуется по частям с учетом начального условия (23.6) и условия и(оо, р) = О. В результате получим уравнение — гаги( ) — е Š— 8( ) — —,— 'г — 8( )+ ~ + + Мтг! (8 ' ) (Р) — И( ' ) (Р')) гго = — 7(Р)(гг — Ъ'), (23.9) г(аг,р) = ) е!"'8(1,р) Й р. (23.10) о В силу (23.8), это уравнение должно регпаться при догголнительном условии (23.11) Если решение уравнения (23.9) найдено, то искомое спектральное разложение коррелятора токов можно пай!и простым интегрированием.
Действительно, пишем (г' гд) = | Ж| е™(6|(1,р)3|(О,р!))н г!, '(Ррг1ар! и, поступив затем в точности аналогично выводу (19.14)! полу- чим (1'„га),„= ев (8 ! (аг, р)н„+ 8(т)( — аг, р)огг1ггзр. (23.12) 129 С 23 Флуктурщии в сцслво иОиизОВАииОУ1 глзв Ниже будем считать для конкретности, что длина пробега 1 = сопв1. В равновесном состоушии, в отсутствие электрического поля, функция Т есть равновесное максвелловское распределение То(р). Решение уравнения (23.9) есть тогда ~е) В А(г) р У 1 — сшссц (23.13) в чем легко убедиться, заметив,что /(Р Р )с)с~ О1Р (23.14) Если сатр « 1 (где тг 1(11т время релаксации по направле- виям импульса), то в (23.13) можно пренебречь членом — иЛ,С11 в знаменателе. Вы сисление интеграла (23.12) приводит тогда к результату 2Та (1 111) = б С1, где ср = е 11сеЬо —.- проводимость газа в слабом поле, Ьо --- по- 2 движность в слабом поле, даваемая формулой (22.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
