X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Вектор же я является плотностью потока частиц в импульсном пространстве. Согласно формулам (21.4) коэффициенты в кинетическом уравнении выражаются через средние характеристики столкновений, и в этом смысле их вычисление представляет собой механическую задачу. Фактически, однако, нет необходимости в раздельном вычислении коэффициентов А„и В,„В; опи могут быть выражены друг через друга из условия обращения потока в нуль в статистическом равновесии.
В данном случае равновесная функция распределения есть 118 диФФузио!!Нов !!Ривлижввив ГЛ !! в = 0 дает МХА„= В,ур!!. Таким образом, кинетическое уравнение принимает вид (21.6) — В„е рв 1" + — . (21.7) В = — ) дзп!(0, с1) !4зФ (21.8) В„д = Вбид! а уравнение (21.7) примет вид !! д! ( „!!) (21.9) Обратим внимание на формальное сходство уравнения (21.7) с уравнением диффузии во внешнем поле, в особенности наглядное в записи (21.9). Напомним, что уравнение диффузии имеет вид — = г1!г (РтУс — ЬсЕ), д1 где с -- концентрация примеси, Е -- сила, действующая на частицу примеси со стороны внешнего поля., Р коэффициент диффузии, Ь вЂ”. подвижность. Описываемые уравнением (21.9) процессы можно назвать диффузной в импульсном пространстве, причем В играет роль коэффициента диффузии; связь между коэффициентами при обоих членах в правой части (21.9) аналогична известному соотношению Эйнштейна между коэффициентом диффузии и подвигкностью! Р = ЬТ (см.
Ъ'1, 8 59). Кинетическое уравнение вида (21.2), в котором коэффициенты определены через усредненные характеристики элементарных актов, согласно (21.4), называют уравнением Фоккера — Планка (А.Р. ЕоЫсег, 1914; М. Р1а!!сЬ, 1917). Специфические свойства Отметим, что коэффициенты в двух первых членах разложения интеграла столкновений оказываются одинакового порядка величины; это связано с тем! что усреднение первых степеней знакопеременных величин 9„в (21.4) связано с ббльшим погашением.
чем при усреднении квадратичных выражений. Дальней!пие жс члены разложения будут уже все мелы по сравнению с двумя первыми. Единственный вектор, от которого могут зависеть коэффициенты В д, импульс тяжелых частиц р. Но если скорости этих частиц, р/М, в среднем малы по сравнению со скоростями легких частиц, то при столкновениях пх можно считать неподвижными; в этом приближении величины В д не будут зависеть от р. Другими словами, тензор В д сведется к постоянному скаляру В: 119 1 21 УРЛВНЕНИЕ ФОККЕРЛ ВЛЛНКЛ переменных рВ как импульсов частиц в изложенном выводе не играли роли. Ясно поэтому, что уравнение такого же типа будет справедливо и для функций распределения 1 по другим переменным, если только выполнены условия, лежащие в основе вывода: относительная малость измеясния величин в элементарных актах и линейность по 1 интегрального оператора, выражающего изменение функции благодаря этим актам.
Упомянем, для примера, еще случай, когда легкий лез составляет небольшую примесь к тяжелому газу. При столкновениях с тяжелыми частицами импульс легкой частицы сильно меняется по направлению, но лишь незначительно по абсолютной величине. Хотя для функции распределения частиц примесного газа по вектору импульса р уравнение (21.7) в этих условиях будет уже неприменимо, аналогичное уравнение можно установить для распределения по одной лишь абсолютной величине р. Если функция распределения по-прежнему отнесена к элементу импульсного пространства П р (так что число частиц с величиной р в интервале йр есть 1(1,р) .
4яр др), то уравнение Фоккера — Планка будет иметь место для функции 4яргТ", отнесенной к элементу др: — Тр~А +  — ЛВ дг др др или дт 1 д,г «А+в д~ г р119) где В= — ~~Р) . (21.11) 2 Ы Выражение в фигурных скобках представляет собой радиальный поток В в импульсном пространстве. Он должен обращаться в пуль равновесным распределением Т = сопэ$ ехр~ — — ) В 2тТ (где па " масса легкой частицы, а Т -- температура основного, тяжелого газа). Это условие связывает величины А и В, и в результате кинетическое уравнение (21.10) принимает вид В = — В Р Т" + — . (21.12) дг рг др ' ~,,п~т др/ 120 дисвузиопыов пгивлиэквнив гл и Задачи 1. Определить коэффициент диффузии в импульсном пространстве !В в уравнении (21.9)) для примеси тяжелого газа в легком, предполагая скорости тяжелых частиц малыми по сравнению со скоростями легких.
Р е ш е н и е. Как указано в тексте, в данных условиях при вычислении передачи импульса можно считать тяжелую частипу неподвижной и пренебречь изменением ее энергии при столкновении. Изменение импульса тяжелой частицы вычисляется тогда кзк !совпадакощее с ним) изменение импульса легкой частицы: (!зр) = 2р'~!1 — сова), где р' . величина импульса легкой частицы, а о — угол его поворота при рассеянии. Отсюда (!зр)о = 611 2ро(1 — сов!!)Хо' дт (где Х вЂ” плотность числа частиц легкого газа) и окончателыю !з В = — 1р'и!), Зт где и! = 1 !1 — соэ о) !4п транспортное сечение, а усреднение производится по распределени!о частиц легкого газа.
2. С помощью уравнения Фоккера — Планка определить подвижность тяжелой частицы в легком газе. Р е ш е н и е. При наличии внешнего поля в левой части уравнения (21.9) добавляется член Рду/др, где Р . сила, действующая на частипу. Предполагая эту силу л!алой, ищем стационарное решение уравнения в виде т = уо -~- бт', где !о — максвелловское распределение, а 67 << !о. Для б!" находим уравнение д ~'дб~ р . 1 дуо др 1, др + МТ' / = д1 ' Отсюда и затем б! = уоГр/В. Подвижность б есть коэффициент в равенстве ъ = )' б~ ъ !ар = ЬГ.
Вычиш!ение интеграла дает Т ЗтТ Ь В ~ ( 1 ) в согласии с (12.4). 9 22. Слабо ионизованный газ в электрическом поле Рассмотрим ионизованный газ! находящийся в однородном электрическом поле Е. Поле нарущает равновесное распределение свободных электронов в газе и создает в нем электрический ток. Выведем кинетическое уравнение, определяющее электронное распределение !! ') Изложенная в этом параграфе теория принадлежит В.В. Давидову (193б). Предельная формула (22.18) была еще раньше получена Друйвестебном (М.о. Вгиуоеа!еув, 1930). 1 22 сллво иопизонлнпый глз в элсктги 1кском ноля 121 Слабость ионизации означает, что концентрация электронов (и ионов) в газе мала.
Поэтому основную роль играют столкновения электронов лишь с нейтральными молекулами; столкновениями же электронов друг с другом (и с ионами) можно пренебречь. Будем предполагать также, что средняя энергия, приобретаемая электронами в электрическом поле (даже если поле сильное; см.
ниже), недостаточна для возбуждения или ионизации молекул; тогда столкновения электронов с молекулами можно считать упругими. Ввиду болыпой разницы в массах электронов т н молекул М, средняя скорость электронов велика по сравнению со средней скоростью молекул. По той же причине импульс электрона при столкновении меняется сильно по направлению, но лишь слабо по абсолютной величине. В этих условиях интеграл столкновений в кинетическом уравнении разбивается в сумму двух частей, представляющих изменения числа частиц в заданном элементе импульсного пространства соответственно от изменения величины и от изменения направления импульса; первая из этих частей может быть представлена в фоккер-планковском дифференциальном виде.
Ввиду симметрии вокруг направления поля, функция распределения зависит (помимо времени) только от двух переменных: от абсолютной величины импульса р и от угла О между р = тч н направлением Е (которое выберем в качестве оси з). Кинетическое уравнение для функции 1(г, р, 0) имеет вид ) — — еŠ— = — — — р"з + Ми Я(1, р, О') — Я.,р, О)] йг, (22.1) я др реди где В= к~ 2й з= — В( — у+ — ), Первый член в правой части (22.1) отвечает правой части уравнения Фоккера — Планка (21.12). Второй же член есть интеграл столкновений по отношению к изменению направления импульса. В этом интеграле молекулы можно считать неподвижными (зу' плотность их числа); тогда число столкновений, испытываемых электроном в единицу времени и меняющих направление импульса от О и О' (или от О и 0), есть Хе с1сг, где сЬ сечение рассеяния электрона на неподвижной молекуле, зависяшее от р и от угла ст между р и р (предполагается, что сечение уже усроднено по ориентациям молекулы).
ю ) Б этой книге с обозначает вс;зде положительную величину — абсолютное значение элементарного заряда. Заряд электрона есть поэтому — с. ДИФФЧЗИОИЫОВ ИРИБЛИ!КВИИК ГЛ И Ниже будет рассматриваться стационарное сосгояние с неза- висящей от времени функцией распределения, соответственно чему член д ~/дХ в уравнении (22.1) будет опущен.
Длх! вычисления величины В воспользуемся равенством (ч — У ) = (ч' — ч"), выражающим неизменность величины относительной скорости двух частиц при упругом столкновении (ч, Ъ" и ч', 'К' - началь- ные и конечные скорости электрона и молекулы). Изменение ско- рости молекулы мало по сравнению с изменением скорости элек- трона: ЬЪ = — т!тч(М: поэтому по<ле раскрытия написанного равенства можно положить в нем Ъ' = Ъ". Тогда 2'К~(ч — ч!) = о2 — о!~ — 2оХ1,о, где Ьо = о — о' малая величина. Таким образом, (Ьр) = т, (Ьо) = — ((Ъгч) + ( чч') — 2(Ъгч) (Ъ'ч')1. Усреднение этого выражения осуществляется в два этапа. Преж- де всего, усредняем по распределению (максвелловскому) скоро- стей молекул 1Р. Ввиду изотропии этого распределения имеем (1л РЯ = д,„З(1'~),13, а средний квадрат (1'~) = 3ТХМ.
Поэтому. получаем (Ьр) = — (о + о' — 2чч') — " (1 — сов с!). (22,2) ЛХР! М Теперь надо усрсднить по столкновениям, испытываемым элек- троном в единицу времени, это осуществляется интегрированием по Хчо РХп. В результате получим ХХт от.! Отт (22.3) ЛХ ЛХ! где !г! = )(1 — сово)!Х!т транспортное сечение, а ! длина свободного пробега, определенная как ! = (ХУст!) ' (22.4) (в общем случае ! функция р). Таким образом, фигурирующий в (22.1) поток (22.5) Обратим внимание на то, что согласно (22.2) изменение энергии электрона при столкновении Ье оЬр Т(гп(М) ! - 7(т!!М)'!~.
Поэтому заметное изменение этой энергии происходит лишь в результате МХт столкновений! между тем как направление импульса электрона существенно меняется уже 1 22 сллво ионивонвнныв глз в элвктвичвском полк 123 (22.7) ! (еЕО~ЛХ1 д + р г Зр (22.11) в одном столкновении. Другими словами, время релаксации по энеРгиам электРонов т, трМ(гн, где тр 17Р вРемЯ Релаксации по направлениям импульса. Левую часть уравнения (22.1) тоже надо преобразовать к переменным р и 0: др др, 1 др р дсовд~ 1'ешение составленного таким образом кинетического уравнения можно искать в виде разложения по полиномам Лсжандра; 1(р, О) = ~ ' У„(р)Р„(с в О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
