X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Опо может быть сформулировано как утвер>кдение о статистической независимости каждой пары частиц, вступающих в столкновение (по существу именно это предположение подразумевалось при выводе кинетического уравнения в 9 3, когда вероятность столкновения записывалась в виде (2.1), пропорциональном произведению Ол). В излагаемом методе это утверждение играет роль начального условия к дифференциальному уравнению (16.10). Именно оно вносит асимметрию по отношению к обоим направлениям времени, в результате чего из инвариантных к обращению времени уравнений механики получается необратимое кинетическое уравнение.
Корреляция между положениями и импульсами частиц газа возникает лишь в течение времени их столкновения ( 117Й) и простирается на расстояния 11. Таким образом, предположение о статистической независимости сталкивающихся частиц является также и источником принципиальных ограничений в допускаемых кинетическиел уравнениеел расстояниях и промежутках времени, о которых говорилось уже в ч 3.
Пусть 1е — некоторый момент времени, предшествующий столкновению, когда две частицы находятся еще далеко друг от друга (~гле — гзе~ >> д, где индекс нуль отличает значения величин в этот момент). Статистическая независимость сталкивающихся частиц означает, что в такой момент 1е двухчастичпая функция распределения распадается на произведение двух одночастичных функций 701. Поэтому интегрирование уравнения (16.10) от 1е до 1 дает У~ ) (~,тл, тз) = У~ )(волгло)1~ ~(1олт2о) (16.11) здесь тле = ллгле Рло) и тзе = л1гзо, рза) надо понимать как те значения координат и импульсов, которые должны иметь частицы в момент 1е для того,. чтобы к моменту 1 приобрести требуомые значения т1 = (гл, рл ) и тв = (гз, рз); в этом смысле тш, тэе явля- ютсЯ фУнкциЯми от т1, тз и 1 — 1о (11Ричем от 1 — 1е,зависвт лишь гш и гяе, значениЯ же Рле и Р:е, относЯсь к свобоДно ДвижУЩимся перед столкновением частицам, от выбора 1 — ~о не зависят). Возвратимся к уравнению (16.7) будущему кинетическому уравнению.
Его левая часть уже имеет требуемый вид; нас будет интересовать теперь интеграл в его правой части, который должен превратиться в конце концов в интеграл столкновений диилмичвский вывод уравнения Больцмана. Подставив в этот интеграл ('(2~ пз (16.11) и перейдя в обеих частях уравнения от функции ~(П к функции 1' = Лг('( ~, пишем дД(й и) дЯ, и) дг дг1 где (16.12) Яо ~ = (~(10, тло)~НО~ т20)) Йтз. В интеграле (16.12) существенна только область ~гв — гл~ й область, в которой происходит столкновение. Но в этой области можно пренебречь (в рассматриваемом первом приближении!) координатной зависимостью функции 1; эта функция заметно меняется лишь на расстояниях А (характер~ые размеры задачи), во всяком случае больших по сравнению с д,.
'г1ы не изменим поэтому окончательного вида интеграла столкновений, если будем рассматривать (с целью некоторого упрощения рассуждений и записи формул) пространственно-однородный случай, т. е. предположив, что функция 1' вообще не зависит от координат. Сразу же отметим, что в функциях 1(ло, р1О), 1(ло, рво) пропадает тогда и явная (через посредство гло(8) и гяо(1)) зависимость от времени. Преобразуем подынтегральное выражение в (16.12)., воспользовавшись тем, что выражение в фигурных скобках является интегралом движения (именно как таковое оно появилось в (16.11); независимо от этого очевидно, что рш и ряо значения импульсов в фиксированный момент времени 1о .
уже по определению являются интегралами движения). Учтя также и отмеченное выше отсутствие в них явной зависимости от времени 1, имеем д д д дГм д дГ~О д — 1(1о Рло))(~о Рво) = ч.— +чз — — — — — — — х иг дг1 дгл дг1 др1 дго дрл ) х 1(го, Рло)1(го, Рзо) = О. (16.13) Выразим отсюда производную по р~ через производные по гм го и ро и подставим в (16.12).
Член с производной д/дрз исчезает после преобразования в интеграл по поверхности в импульсном пространстве. После этого получим В1 У(1~ Р1) = чотв (У(~0~ Р10)У(10~ Р20)) и о и Ря~ (16 1 1) где введена относительная скорость частиц ч„,„ = ч1 — чо и учтено, что р~о и рво (а с ними и все выражение в фигурных скобках) зависят от г1 и гв лишь через разность г = г1 — го. Введя 94 кинетическая теОРия !мзОЕ вместо г = (х, у„я) цилиндрические координаты я, р, уг с осью я вДоль нот„, заметив, что н,нд,1'дг = по,„д/дн, и пРоинтсгРиРовав по сЬ, перепишем (16.14) в виде ') Ос Х(с: Р1) = У1го1Р~О)11го~ Рго)) Оо Р ЙР РЯД ' гг' Рг. (16.15) Вспомним теперь, что р16 и рго .
начальные (в момент 4О) импульсы частиц, которые в конечный момент 1 имеют импульсы р1 и рг. Если в конечный момент я = Е1 — яг = — оо, то ясно, что в начальный момент частицы находились «еще дальшев друг от друга, т. е. столкновения вообще не было; другими словами, в этом случае начальные и конечные импульсы совпадают: Рш = Р1 Рго = Рг при Если же Я = +ос, то Рш и Рго игРают Роль начальных импУльсов для столкновения, в результате которого частицы приобретают импульсы р1 и рг, в этом случае введем обозначения Р~ю = РАР) Рго = РЙР) при в = +со.
Эти значения являются функциями координаты р, играющей роль прицельного параметра столкновения. Произведение же ~зф3сп1г = сЬ есть классическое сечение столкновений. Наконец, остается заметить, что явную зависимость функций У(бо, Рго) " У1го Ргв) от ба можно заменить в рассматриваемом приближении такой же зависимостью от й Действительно, справедливость утверждения (16.11) требует соблюдения лишь неравенства 4 — 46 >) фп1 в момент 46 расстояние между частицами должно быть велико по сравнению с радиусом действия сил д. Но разность 4 — 46 может быть выбрана так, чтобы удовлетворять также и условию 4 — 46 « 1/11, где 1 -- длина пробега; отношение же /11о - время свободного пробега есть как раз та характерная величина, .которая определяет периоды возможного изьленения функции распределения со вреьленем.
Изменение функции распределения за время 4 — 4О будет тогда относительно малым, так что им можно пренебречь. ') Пределы я = ~ж надо понимать как расстояния, болыпие по сравнению с 4, но малые по сравнению с длиной пробега ) (при буквально бесконечных пределах все выражение обратилось бы в нуль, поскольку г" = 0 вне объема, занимаемого газом). Такая ситуация возникла вследствие того, что при переходе от Нбнг) к П644) было использовано уравнение Нбдз), справедливое лишь до тох пор, пока рассматриваемые частицы не испытывают следующих столкновений.
95 х лвнвннь с; четом теойных столкновений После всего сказанного получаем окончательное выражение для интеграла (16.15): ВГУ(1;р ) = Й~(~ЖУ(~,К) — 1(У,рМ(1,рт)) г)ггс)'рз, (16.16) совпадающее с больцмановским интегралом столкновений (3.9). 9 17. Кинетическое уравнение с учетом тройных столкновений Для нахождения первых поправочных членов к уравнению Больцмана надо вернуться к тем пунктам изложенных в 9 16 вычислений, в которых были произведены пренебрежения, и продвинуть точность вычислений на один порядок (по параметру газовости) дальше. Эти пренебрежения относились, прежде всего, к уравнению (16.9), в котором были опущены члены, содержащие тройную корреляцию )( ); тем самым были исключены из рассмотрения тройные столкновения атомов.
Кроме того, при преобразовании интеграла столкновения (16.12) к окончательному виду (16.16) было пренебрежено изменением функции распределения на расстояниях д и за времена фР; тем самым двойные столкновения рассматривались как «локальныеа происходящие в одной точке.
Теперь должны быть учтены оба эти источника поправок тройные столкновения и «нелокальностьа парных столкновений. В первом приближении цепочка уравнений была оборвана на втором уравнении, связывающем уз~) с узз). Во втором приближении надо дойти до третьего уравнения, связывающего Гб ) с у'( ), причем члены с у"( ) в нем можно опустить (подобно тому, как в первом приближении были опущены члены с ~~з) в (16.9)). После этого оно сведется к виду — )'(~) (~, тм тэ, тз) = О, (17.1) аналогичному прежнему уравнению (16.10) для )'~~); переменные тм тй, тз в (17.1) пРеДполагаютсЯ измепЯюЩимисЯ со вРеменем согласно уравнениям движения задачи трех тел (причем взаимодействие между часгицами по-прежнему будем считать парным )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
