X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В диспергирующгй среде этот закон представляет собой лишь первый член разложения функции оз(а) по степеням мало- 192 гл >п васс>толкновиткльнля пллзмл го аь С учетом следующего члена имеем ) = ~ой — ))Ь3 (39.1) где )3 постоянная, которая может в принципе быть как положительной, так и отрицательной. Дифференциальное уравнение, описывающее в линейном приближении распространение (в одну сторону) волны в среде с такой дисперсией, имеет вид дЬ дЬ д Ь -+ ..— +)3 — ' = О; дс дх дхз действительно, для волны, в которой Ьс>з ехр ( — иЛЬ+гкх), отсюда получается (39.1).
Наконец, учет нелинейности приводит к появлению в уравнении членов более высокого порядка по Ь. Эти члены во всяком случае должны удовлетворять условию обращения в нуль при постоянном (не зависящем от х) Ь, что отвечает просто однородной среде. Ограничившись членом с производной наиболее низкого порядка (малые кй), напишем у.равнение распространения слабо нелинейной волны в виде — + ио — +)> +оЬ вЂ” = О, дЬ дЬ д Ь дЬ де дх дхв дх 139.2) где о - — постоянный параметр (который тоже может в принципе иметь оба знака) ~). Для упрощения записи этого уравнения введем вместо х новую переменную с и вместо Ь .
новую неизвестную функцию и, определив их согласно (39.3) (=х — иоЬ а=с>Ь. ) Тот факт, что функция ь>(я) разлагается по нечетным степеням /с, следует уже из сообра>кений вещественности. Исходная система физических уравнений движения среды содержит лишь вощественныо величины и параметры. Мнимая единица г появляется лишь в результате подстановки в эти уравнения решения, пропорционального ехр( — и>1 т >Ьх).
Поэтол>у возникающий в результате этой пацстановки закон дисперсии определяет гь> в ниде функции от >и с вещественными коэффициентами; разло>кение такой функции может содержать лишь нечетные степени от й. В общем случае диссипирующей среды функция ь>(к) коьшлексна Ьэ = ь> -ь >ш ), и тогда сделанное утверждение относится к разложению вещественной части частоты, о>'(Ь). Разложение же функции ь>л(а) по тем же причинам будет содержать лишь четные степени й. ) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что такой вид слабой нелинейности отнюдь пе является универсальным.
Так, слабая нелинейность для распространения волн в плазме возникающая от последнего члена в электронном распределении (36.11) 1использованном в задаче к 3 38), соответствовала бы члену ьгЬдЬ>>дх в уравнении типа (39.2). 193 ООлитОпы В слАБО диспвРгиРующей сРвде Тогда получим (39.5) при этом скорость распространения волны есть (39.6) и = ио + оо Подставив (39.5) в (39.4) и обозначив дифференцирование по с штрихом, получим уравнение 13ал' + аа' — ова' = О. (39.7) Отметим, что оно инвариантно относительно замены (39.8) а -+ а + 1гг оа — Р оо + ~" с произвольной постоянной 1г. Первый интстрал уравнения (39.7); л 1 2 сг ага + — а — ооа = —.
2 2 Умножив это равенство на 2а' и интегрируя еще раз, получим 13а' = — — + оса, + с1а+ с2. /2 о, 2 3 (39.9) Вместо трех постоянных ов, с1, с2 целесообразно ввести другие постоянные - три корня кубического трехчленв, стоящего в правой части (39.9). Обозначив эти корни через а1, аг, аз, напишем РОа = - -(а — а1) (а — а2) (а — аз) .
г2 1 3 (39.10) Постоянная оо связана с новыми постоянными равенством 1 ов = -(а1 + а2 + аз). 3 (39.11) ') Опо было получено Кортгвегом и де Врпгом (Р.Я. Коггггвог, С. 3е ггггггг, 1393) дпя ВОЛН На ПОВЕрХНОСтИ МЕЛКОЙ ВОДЫ. 7 Л. Д. Ландау, Н.М. Лифшиц, том Х дг дС дСг — "+а — "+13 —" = О.
(39.4) В таком виде это уравнение называют уравнением Кортевега — де Вриза (КДВ) '). Будем считать сначала для определенности, что постоянная 11 ) О. Нас будут интересовать решения, описывающие волны со стационарным профилем. В таких решениях функция а(1, с) зависит только от разности с — ов1 с некоторым постоянным ов. 194 ВКС11толкнОВН'1кльнля пллзмл ГЛ 1П 1»а = -(аз — а)(а — а2)а. 12 1 з (39.12) Решение этого уравнения имеет различный характер при а2 = 0 и при а2 ф О. В первом случае (а2 = О, аз > 0) интегрирование уравнения дает а(~) = а1 сЬ -2 й /. ~ .
~ 2~/3,3/ (39.13) начало отсчета ( выбрано в точке максимума функции (здесь и ниже мы пишем, для упрощения обозначений, профиль волны как функцию от ~ = х в некоторый заданный момент времени 1 = 0). Это решение описывает уединенную волну (солитон): при ( — » ~со функция а® вместе со своими производными обращается в нуль. Постоянная аз дает амплитуду солитона, а его ши- -~/2 рина убывает с ростом амплитуды как а~ .
Согласно (39.11) имеем ио = аз/3, так что скорость солитона и = по + аз/3. (39.14) Эта скорость и > пв и растет с увеличением амплитуды. Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых уравнением КдВ, предполагается сззабой. Условие этой малости имеет естественный смысл; так, если роль величины а играет изменение плотности среды, то это изменение должно быть малым по сравнению с невозмущенной плотностью.
В то же время Встепень нелинейности» этих процессов характеризуется еще и другим безразмерным параметром: Цазз1(4)11'2, где Ь вЂ” характерная длина, а аз амплитуда возмущения. Этот параметр определяет Нас будут интересовать лишь такие решения уравнения (39.10), в которых величина ~а(г)~ ограничена; неограниченный рост ~а~ противоречил бы предположению о слабой нелинейности. Легко видеть, что это условие не выполняется, если среди коРней аы а2, ав имсютсЯ комплексные; ПУсть это бУДУт аз и а2 (ПРичем а2 = аз).
Действительно, в таком слУчае пРаваЯ часть (39.10) принимает вид )а — аз)~(ав — а)/3 и ничто не мешает и стремиться к -оо. Таким образом, постоянные аы п2, па должны быть вещественными; расположим их в порядке аз > а2 > аз. Поскольку выражение в правой части уравнения (39.10) должно бьггь положительным, то функция а(~) может меняться лишь в интервале из ) а ) а2.
Без ограничения общности можно положить оз = 0; этого всегда можно достичь преобразованием вида (39.8). Условившись о таком выборе, перепишем уравнение (39.10) в виде 195 ООлитОпы В сляво диспВРгиРующей сРВде относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и может быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и большим (преобладание эффекта нелинейности). Для солитона, ширина которого Х ()з/а)) )', этот параметр порядка 1.
Перейдем к случаю аэ ф 0; в этом случае решение уравнения (39.12) описывает периодическую в пространство, бесконечно протяженную волну. Интегрирование уравнения дает а) 5 = 1 У~,, = ( ) Е(я,)р), (39.15) 1 (а(а1 — а)(а — ав)]пэ а) а где г'(В,)р) эллиптический интеграл первого рода; Е(,,р) = (1 — ээ в)п Ээ)пэ э е (39.16) причем ) /а) — а / аз вш))э= ), а= 1 — —; 1/ а1 — ав 1/ а1 (39.17) начало отсчета с выбрано в одном из максимумов функции а(с). Обращая формулу (39.15) путем введения эллиптической функции Якоби, .получим а = а) с1п ' ~, В (39.18) Эта функция пернодична, причем ее период (длнна волны) по координате х равен А = 4~/ — Р( — ', ) =4~( — 'Х) ), (39.19) где тт (в) полный эллиптический интеграл первого рода. Среднее по периоду значение функции (39.18): 1 Е(э) а = — / а(с) дс = а) —, А 0 уг(в) ' (39.20) где Е(а) - полный эллиптический интеграл второго рода.
Естественно рассматривать периодическую волну, в которой сред- ' ) Параметр эллиптического интеграла обозначен буквой в (вместо обычно принятой и) во избежание путаницы с волновым вектором. 196 ГЛ Н2 ВВС2'ТОЛКНОВНТВЛЬНЛЯ ПЛЛЗМЛ нее значение колеблющейся величины равно нулю. Этого всегда можно добиться преобразованием (39.8), вычитая величину (39.20) из функции (39.18). Скорость распространения волны равна тогда (39.21) и = ив+ — а1 — ' Малым амплитудам колебаний а1 — а2 соответствуют значения параметра В « 1.
Воспользовавшись приближенным выражением ,2 2 <!п(В, В) — 1 — — '+ — сов 2В, В « 1, 4 4 найдем, что решение (39.18) переходит в этом случае, как и следовало, в гармоническую волну 2 2 'у з,з' При этом скорость (39.21) становится равной и = ио — а1223 = = ив — г2В~ в соответствии с (39.1). Обратному предельному научаю больших амплитуд (в рассматриваемой модели волн) отвечают значения а2 — + О, причем параметр а — г 1.
Имея в виду предельную формулу К(В) — 1п,  — Т 1, 2 1 — 22' найдем, что в этом пределе длина волны возрастает по логариф- мическому закону (39.22) В2 а2 Другими словами, последовательные пучности волны раздвигаются на большие расстояния друт от друга. Профиль волны вблизи каждой из них получается из (39.18) с помощью предельного выражения функции с1пг при а = 1, справедливой при конечных значениях ьч г1Т2 В = 1/ сЬ В. В результате мы возвращаемся к формуле (39.13). Таким образом, в пределе В -э 1 периодическая волна разбивается на совокупность следующих друг за другом удаленных солитонов. До сих пор мы предполагали, что Г2 > О. Случай, когда постоянная,З < О не требует особого рассмотрения: изменение знака (2 в уравнении (39.4) эквивалентно замене ~ -э — ~, а — э — а.
Поскольку при такой замене аргумент ~ — 22В4 в (39.5) превращается в — ~ — иф, то скорость распространения волны будет теперь и = ио — иш Так, для солитопа полученные выше результаты изменятся лишь в том отношении, что функция а(~) станет отрицательной, а его скорость и < ио. 197 ООлитОны В слхьО дисиВРРВРующей сРВде Уравнение КдВ обладает некоторыми специфическими свойствамн, позволяющими установить для него ряд общих теорем. Они основаны па формальной связи, существующей между уравнением КдВ и задачей о собственных значениях уравнения типа уравнения Шредингера (С.Я.
Сагйпег,,1.М. Сгеепе, М.В. Кгиз1РВ1, Л.М. Мгига, 1967). Рассмотрим уравнение дб2 '1 бд ~ + — о(1,()+В ф=О (39. 23) а= — бр' ~ +В и подставив в (39.4), после прямого вычисления получим ,),2дс (фА ~ ~1)~ (39.24) где А(1,~) = бр (-1 — '~ — — ' 4~И+~и' — -'4; ,,Зд, Ы б / (39.25) существенно, что правая часть (39.24) оказывается выраженной в виде производной по ( от выражения, обращающегося в нуль при с, — Р ~ОС (напомним, что собственные функции дискретного спектра уравнения (39.23) исчезают на бесконечности). Поэтому интегрирование равенства (39.24) по всем ~ от — ОО до ОО дает '- )' ФВ,К=О и, ввиду конечности стоящего здесь нормировочного интеграла функции у1, отсюда следует, что ИВ/Ж = О. и будем снова для определенности считать, что р' > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
