X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 64
Текст из файла (страница 64)
22п), а во втором деформируется, как показано па рис. 22 6, огибая «убежавшие» в чужую полуплоскость полюсы й» (шо) и ь. (ыо) (точки А и С). В обоих счучаях при смещении контура вверх или вниз он зацепляется соответственно за полю- 334 'геогия неустойчивостей ГЛ Ч1 сы йэ или й . Асимптотическое выражение функции уу(1, х) при х э +ос огсределяется вкладом от наиболее низкого из полюсов й, (с«о), а при х э — оо -- от наиболее высокого из пол|осов й — (шо); другими словами, это --- наиболее близкий к вещественной оси полюс (если все полюсы данной категории остались в «своей» полуплоскости) или же наиболее далекий от вещественной оси полюс из числа тех, которые перешли в «чужую» полуплоскость.
С этими значениями йэ и й будем иметь лу(1, х) ссэ ехр (1й г(шо)х — »поХ) при х > О, с)э(Х,х) с«з ехр(1й. (шо)х — гслоХ) при х < О. В случае устойчивой системы все полюсы остаются при ш = шо в «своих» полуплоскостях, действительно, ввиду отсутствия ветвей колебаний с 11псл(й) > О (при вещественных й) пересечение полюсоги й(ш) вещественной оси могло бы иметь место лишь при 1псш < О. Поэтому в (б3.7) будет 1пэйэ(соо) > О 1п1й-(соо) < О; так что волны затухают в обе стороны от источника.
В случае же конвективной неустойчивости полюсы й(ш) выходят на вещественную ось уже при 1шсл > О. Поэтому заведомо существуют полюсы йэ или й, попавшие при ш = сло в «чужую» полуплоскость, т. е. для которых 1ш й»(шо) < О или 1ш й (шо) > О. Наличие такого полюса йэ(соо) приводит к усилению волны справа от источника, а наличие такого полюса й (шо) — — к усилению слева от ис'то'шика. Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следующему критерию различения случаев непропускания и усиления волн, испускаемых источником с частотой шо в конвективнонеустойчивой системе. Волна с комплексным значением й(сло) при вещественном соо усиливается, егли функция 1шй(ш) меняет знак при изменении 1шсл от +ос до О (при заданном Кесл = соо); если же 1шй(ш) не меняет знака, то имеет место непропускание.
Отметим, что происхождение этого критерия связано с требованиями причинности. Действительно, при сколь угодно быстром включении источника возмущение во всяком случае должно убывать при х э хоо просто потому, что за конечное время оно пе может распространиться на бесконечное расс:тояние. С другой стороны, «сколь угодно быстрое» включение можно осуществить по закону е ' ~ с 1шоэ — э +ос. Поэтому ясно, что волны, усиливаемые (при вещественном ш) в ту или иную сторону.
от источника, должны затухать в эту же сторону при 1ши — э оо, откуда и возникает сформулированный выше критерий. 335 УСИЛКПИЕ И Р!СПРОПУСКЛНИВ Полученные результаты имеют еще и другой аспект, позволяя определить направление распространения волны в среде с поглощением или усилением. В прозрачной среде (т. е. когда оР и Й вещественны) вопрос о физическом направлении распространения решается направлением вектора групповой скорости. В частности, в одномернокл случае волна с положительным значением производной доРРРд1с движется в положительном направлении оси х, а с отрицательным в обратнокл нап1>авлении.
В среде же с поглощением или усилением можно утверждать, что в положительном направленив распространяются волны группы ЙР, а в отрицательном группы и.. В случае вещественных о1 и й эта общая формулировка совпадает с прежней. Действител1 но, малые изменения оР и Й связаны друг с другом соотношением бы= Ж 211ок Отсюда видно, что если у оР появляется мнимая часть 1шоР > О, то а смещается в верхнюю полуплоскость при РР ~/гй > 0 и в пижшою в обратном случае. В каРестве простого примера применения критериев, полученных в этом и предыдущем параграфах, рассмотрим неустойчивость холодного пучка электронов в холодной плазме, о которой шла речь в 3 61. Диспсрсионное уравнение этой системы: (63.8) а11 (о1 — кр)з (см. (61.6); для волн, распространяющихся в направлении пучка, )ст'=)с)г).
Корни Рс(оР) этого уравнения при ~оР~ — ~ ос име1от вид ) й= (63.9) При 1шьР— Р оо оба корня лежат в одной и той же (верхней) по.Иуплоскости, т. е, оба корня относятся к категории и Р(оР). Они не могут, ш1едовательно, при своем перемещении (при уменьшении 1шпР) зажать Й-контур., так что неустойчивость копвективная. Асимптотическое поведение созданного в начальный момент возмущения определяется частотой оР = П„вблизи которой корни уравнения (63.8) стремятся к сс по закону ,я йй, (63.10) 2 г'е(оР— й,) Таким образом, при 1 — + оо от возмущения остаются лишь неза- тухающие плазменные волны. ') Отметим, что (63.9) совпадает с дисперсиопным уравнением пучка самого по себе, как если бы неподвижной плазмы вообще не было.
'гпогия иеустоЙчивоотвй гл ч1 При вещественных зна|ениях оз < Н, уравнение [63.8) имеет два комплексно-сопряженных корня к(оз). Тот из них, у которого 1шй(оз) < О, попал в нижнюю полуплоскость из верхней. Таким образом, при распространении волн от источника с чаСтОтОй ОЗО < 11е ПрОИСХОдИт ИХ УСИЛЕНИЕ В НаПраВЛЕНИИ т > О, т. е. евниз по течению» пучка. й 64. Неустойчивость при слабой связи двух ветвей спектра колебаний Применим развитый в ~ 62, 63 общий метод к исследованию неустойчивости, возникающей благодаря «взаимодействию» колебанзлй с близкими значениями оз и й, относящихся к двум ветвям колебательного спектра бездиссипативной системы; под бездиссипативностью подразумевается здесь отсутствие как истинной диссипации, так и затухания Ландау.
Если бы две ветви оз = ыз[й) и щ = огг[й) были полностью независимы, то это значило бы, что дисперсионное уравнение распадается на два множителя: [оз — озз(й)][аз — озг(ь)] = О. (64.1) Вблизи точки пересечения таких ветвей функции оз1 (й) и озг(й) имели бы в общем случае вид озз[к) = озо + пг(к — ко) сог(к) = озо + пг(к — йо), где пз, пг некоторые постоянные, а соо и ко значения [вещественные!) оз и к в точке пересечения. Такой случай, однако, вообще говоря, нереален. Связь между двумя ветвями могла бы строго отсутствовать, в лучшем случае, при каких-то специфических значениях параметров системы, но появилась бы уже при малейшем их изменении ').
Для отражения реальной ситуации надо поэтому учесть наличие слабой связи между вотвями. Она проявляется н замене нуля в правой части уравнегггия (64.1) па некоторую малую величину ю Тогда дисперсиопное уравнение вблизи этой точки примет вид [оз — озо — п1[1с — ~о)][аз — що — пг[Й вЂ” "'о)] = ю (64.З) ю ) зИсключение составляют стучки, когда взаимодействие отсутствует в силу требований си»агетрии, например, если одна ветвь относнтся к продольным, в другая —.
к поперечным волнам в изотропной среде. Поскольку в изоз ровной среде продольный ток не может индуцнроввть ззоперечное поле и наоборот, то такие волны не взаимодействуют друг с другом. Ситу»пня :здесь аналогична той, которая имеет место в кввлтовой механике для пересечения термов различной симметрии (с»ь 111, з 79). 337 ивустОЙчииОО'1Ры!Ри ОлльОЙ сВязи Его решение относительно ол а1(к) — ало = -((ол+е2)(к — ко)~((Й вЂ” йо) (о1 — о2) +4г) ~ ), (64.4) 2 а относительно К; Ь(м) Ао = х 2Р1 вл х ((ол + о2)(со — ыо) ~ ((со — ало) (ол — оя) + 4голог))'~ ). (64.5) Наяичие связи между ветвями сдвигает точку их пересечения в комплексную область. Зависимости же ал(й) для вещественных со и Й имеют различный характер в зависимости от знака постоянной г и относительного знака постоянных пл и е2.
Эти зависимости изображены на рис. 23 для следующих случаев: а) в > О, ело2 > О, б) г > О, пле2 < О, в) г < О, олог > 01 г) г < О, огп2 < О. Рассмотрим эти случаи поочередно. а) Здесь функции ол(й) вещественны при всех (вещественных) й, так что система устойчива. Вещественны также функции Лс(ал) при всех ол, так что при всех ол волны распро- б страняются не усиливаясь.
1 б) Функции со(й) вещественны при всех к, так что система устойчи- -- 1 и-ио 1 ва. Функции же 1с(ол) ком- 1 плексны в области частот ! 2 4~гю1 сл~ (ы — ~о)' < С1-СЛс сл-слс (Юл Рг) В г (64. 7) Ввиду устойчивости системы, в этой области имеет место непропускание. лс-ллО в) При ! ! 4~г~ („, „ )1 (64.8) Рис. 23 функции ол(й) комплексны, причем для одной иэ них 1шьл(к) > О, т. е.
имеет место неустой плвость. Эта неустойчивость конвективная; действительно, при ~ол~ -+ Ос корпи к(ол) имеют вид й —, й (64.9) Р1 В1 и при 1шло — э сс оба лежат в одной и той же полуплоскости й. Пусть ол, о2 > 0; тогда эта полуплоскость верхняя и корни 'геОРия неустойчивООтеЙ ГЛ У1 относятся к категории йэ(о2). При вещественных же о2 в области (64.7) корни й(о2) составляют пару комплексно-сопряженных величин. Тот из них, для которого 1ш12(о2) ( О, перешел из верхней полуплоскости в нижнюю. Следовательно, в полосе частот (64.7) имеет место усиление волн, распространяющихся в направлении х)0.
Легко также найти для этого случая определенную, согласно (62.14), «групповую скорость» волн - скорость системы отсчета, в которой имеет место абсолютная неустойчивость с максимальным инкрементом. Продифференцировав уравнение (64.3) по й и подставив, согласно (62.13), (62.14), гэо22221к = $', получим Р— о1 ш — шо — Ш (Š— Ко) (64.10) 1 оэ 1' 120 о2(й йо) Поскольку левая часть этого равенства вещественна, то должна быть вещественной (при комплексном о2) также и правая часть. Из этого условия находим, что й = йо, после чего из (64.10) находим скорость О1+Ь2 (64.11) 2 а из (64.3) соответствующий максимальный инкремент (1ш п2) (64.12) г) Функции Й(о2) вещественны при всех (вещественных) о2, но функции о2(12) комплексны в области (64.8), так что система неустойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
