X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Уравнение (67.13) имеет очевидное решение (67.18) Х = сопв1 ш, тождественно обрагцающее в нуль интеграл (67.17) в силу сохранения энергии при столкновениях. Как уже было объяснено в 3 6, зто «паразитное» решение отвечает просто изменению температуры на малую постоянную величину; оно исключается наложением дополнительного условия (67.14).
Другое же «паразитное» решение (67.19) Х = 1сб'Ч (бА~ — константа), отвечающее малому изменению скорости движения фононного газа как целого (ср. (6.6)), исключается уже существованием процессов переброса, нарушающих сохранение суммарного квазиимпульса фонона. 3 68. Теплопроводность диэлектриков. Высокие температуры Уравнение (67.13) позволяет сразу же определить температурную зависимость коэффициента теплопроводности диэлектрика при высоких температурах, болыпих по сравнению с дебаевской температурой О и/д (Ьи/с1 в обычных единицах). Максимальное значение энергии фононов во всех ветвях их спектра порядка величины О.
Поэтому при Т» О энергии всех вообще фононов ы « Т, причем для основной их массы ы О. При этом равновесная функция распределения (67.9) сводится к т ~о = — » 1. (68.1) 1 88 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 353 В интеграле столкновений (67.17) температура выносится в виде множителя Т; функция и, взятая для частот ш О, не влия- 2, ет на температурную зависимость интеграла. В левой жс части уравнения (67.13) производная дМо(дТ вЂ” 1/оз не содержит температуры. Отсюда заключаем, что дМ, Чт д. т' Х вЂ”., 5У чт т' ' а потому и тепловой поток ) ч= А.) . зу "' -" (2 .)з У Т»0 ') Заранее очевидное обращение ц в нуль в равновесии формально следует из обращения в нуль интеграла по о' й ввиду нечетности подьгитегрального з выражения как функции Рп частота ш(1с), а с нею и гче(ш) — четные функции к, а скорость п = дш/дк — нечетная функция.
напомним (см. У, 8 бй), что четность функции ш~(к) связана с симметрией по отношению к обращению времени и имеет место при любой симметрии кристаллической решетки, 12 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х Таким образом, коэффициент тсплопроводности обратно пропорционален температуре: (68.2) т' (в классической теории этот результат был получен Дебаелз (Р. РеЬуе)). В анизотропном кристалле направления с1 и 17Т, вообще говоря, не совпадают, так что коэффициент теплопроводности не скаляр, а тензор второго ранга; говоря о его температурной зависимости, мы отвлекаемся от этого обстоятельства. Оценим длину свободного пробега фононов в рассматриваемой области температур.
Согласно элементарному газокинетическому соотношению (7.10), зс СН, где С вЂ” — тсплосмкость (отнесенная к единице объема), и средняя скорость носителей энергии, 1 — длина их пробега. Теплоемкость кристалла при высоких температурах постоянна; постоянна и скорость фононов, которую можно оценить как скорость звука и. Тогда мы видим, что длина пробега 1 1(Т. Длина 1 должна была бы стать порядка постоянной решетки 11 при температурах настолько высоких, что амплитуда колебаний атомов тоже стала бы д. Согласно оценке (67.5), такая температура МП2, и для длины пробега и эффективной частоты столкновений гг и/1 находим оценки (68.3) Т Мид Отсюда видно, что 1» с1 фактически при всех температурах ниже точки плавления. 354 ГЛ !!И диэ!!Ектгики В изложенных рассуждениях по существу подразумевалось, что рассмотренный трехфононный механизм теплового сопротивления кристаллической решетки эффективен для всех фононов.
Потоки энергии, переносимой различными группами фононов, аддитивны! так что аддитивны и их вклады в коэффициент теплопроводности. Если данный механизм был бы недостаточен хотя бы для какой-нибудь группы фононов, то тем самым он был бы вообще недостаточен для обеспечения конечной теплопроводности. В этом отношении требуют особого рассмотрения длинноволновые акустические фононы. Рассмотрим прежде всего процессы, в которых у.частвуют только длинноволновые акустические фононы с малыми квази- импульсами сравнимой величины (будем обозначать эти квази- импульсы буквами 1' с соответствующими индексами).
Оценим для таких процессов интеграл столкновений (67.17) в смысле его зависимости от 1. Согласно (66.14), в этом гчучае функция и с!з О!~я,)з. Множители Хо Т(!и с!з 1~!)'. Интегрирование производится в й-пространстве по объему 1"з! но б-функция выделяет внутри этого обьема лишь поверхность с площадью 7"з. Таким образом, найдем, что интеграл столкновений ~( ) 2 У 45~ (в последнем выражении учтено, что согласно определению (67.15) БХс зу~Дз); этот результат можно сформулировать в терминах эффективной частоты столкновений: (~) у4 (68.4) В левой же части кинетического уравнения (67.13) множитель и не зависит (длР! акустических фопонов) от 1, а дХИ/дТ со 1Д.
Поэтому бЖ сз —. 1Р Вклад длинноволновых фононов в поток энергии с1 дается интегралом (67 4), взятым по обьему 1з. Но этот интеграл д!идж 1 с~э (68.5) расходится при малых ~ как 1!!7'. Таким образом, трехфононные процессы между одними только длинноволновыми акустическими фопонами привели бы к бесконечной теплопроводпости; д.ля обеспечения конечного теплового сопротивления необходимы столкновения этих фононов с коротковолновыми (И.Я. По44еранчук, 1941).
1 ев твплопговодносч'ь пги высоких ткмпвглгугкх 355 Пусть коротковолновый фонон с квазиимпульсом 1с распадается на длинноволновый акустический фонон Г и коротковолновый фопоп 1с — à — Ь, относящийся к той же ветви спектра, о1(1с), что и фонон 1с (для дальнейп1их рассуждений существенна не столько абсолютная величина й, сколько тот факт, что 1с » у"). Поскольку функция о2(1с)периодична в обратной решетке, то со(1с — à — Ь) = со(1с — Г) и закон сохранения энергии дает оз(1с) = оз(1с — Г) + и(п)2. (68.6) Второй член справа частота акустического фонона линейная функция 7 (и(п) = о2(Г)77) фазовая скорость звука, зависящая от направления п = Г/7".
Разложив о1(1с — Г) по степеням малого Г, переписываем это равенство в виде .д~ дк (68.7) Оно может быть выполнено, лишь если скорость коротковолно- вого фопона превышает скорость звука: — > и(п). дк (68.8) В этом смысле наиболее еопасна» акустическая ветвь с наиболь- шей скоростью звука; эту ветвь мы и будем иметь в виду, говоря об акустических фононах ').
Другие возможности для трехфононных процессов появля- ются при наличии точек вырождения в Й-пространстве, в кото- рых энергии двух или более ветвей фононного спектра совпада- ют (С. Неггъпу, 1954), наличие таких точек (изолированных или заполняющих линию или плоскость) во многих случаях явля- ется обязательным следствием симметрии кристаллической ре- шетки. Возникающие в результате возможности иллюстрируют- ся графическим построением, которое мы сначала проведем для уже рассмотренного случая испускания «сверхзвуковым» корот- коволновым фопопом.
При заданноь1 направлении Г выберем это направление в ка- честве оси ш; на рис. 27а сплошная кривая изображает зависи- мость сп(й.) (при заданных кя, к,) для коротковолновых фоно- нов. Написав условие (68.7) в виде ды оввз =и(п ), дк В изотропном твердом теле одна ветвь акустического спектра отвечает продольным, а две другие †. поперечным колебаниям; скорость продольных звуковых волн больше скорости поперечных воли.
В аннзотропиом кристалле разделение волн на продольные и поперечные теряет, вообще говоря, смысл.Но в литературо часто называют ус.човно «продольной» ветвь с наибольшей скоростью звука. 12* ДИЭ!!ЕКТРИКИ ГЛ л!!! мы видим, что непускание акустического фонона возможно, если в некоторой точке кривой ее наклон созна; дает со скоростью звука. То!да вбли7к зи этой точки частоты ы(1с) и ы(1с — 1') коротковолновых фононов даются точками пересечения кривой со штриховой прямой, проведенной с наклоном и(пв); а !! разность ординат этих точек дает частоту и 7. Если же в некоторой точке й, = 1с,,о кривые двух ветвей ь!(к ) пересекают7и ся! то вблизи такой точки трехфононный процесс возможен всегда, при любых наклонах кривых ы(й ), независимо от того, имеет ли место в точке Й~о ь.
простое пересечение (рис. 276) или касание (рис. 27е). При этом оба короткогк волновых фонона относятся к различным ветвям спектра. Ощсним эффективно!. ~~с~о столкновений длинповолнового акустического фонона при наличии точек вырождения. Речь при этол! должна идти ь„! о процессах поглощения и испускания этого фонона процессы (67.8) (при распаде такого фонона процессы Ряс. 27 (67.7) †.
два образующихся фонона будут также длинноволновыми и мы возвратились бы к прежней ситуации). Поэтому мы должны оценить второй член в (67.17), считая, что !эл!ыз » ыслзХ вЂ” л О. При этом учтем, что и!слз!'! Хослз1!!~, а остальные множители под интегралом можно заменить на независящие от 1 средние значения, поскольку интегрирование производится лишь в окрестноСтн ТОЧЕК ВЫрОждспня. СНОВа ВВЕдя бХСлэ,„!!('2, ПОЛУЧИМ ОцЕНКу зависимости интеграла столкновений от 7' в виде 1( Г) м(ДбХ, где м(Д слз З"2 / б(ы! (1с — 1) + и(п)1" — ь!з(1с)] Г1з1л (68.9) Этот интеграл люжно преобразовать в интеграл по поверхности в 1с-пространстве! определяемой уравнением ыл(1с — 1') + и(п)(' — ыз(1с) = О, (68.10) о(Г) 11зй = (68.11) где интеграл берется по поверхности ТР(1с) = О.
Тогда получим где !ЛЯ® площадь поверхности (68.10), а угловые скобки означают усреднение по поверхности. Рассмотрим типичный случай, когда точки вырождения образуют линию в 1с-пространстве. Тогда при )" — ) 0 поверхность (68.10) стягивается в линию, на которой лежат точки вырождения, а при малых 1 она представляет собой тонкую трубку, охватывающую эту линию, зависимость площади ЬЯ от 1 совпадает поэтому с зависимостью от 7' диаметра трубки. Если изоэнергетические поверхности пересекаются на линии вырождения без касания (см. рис.
27б), то расстояние точки 1с от точки вырождения зависит от 1 линейно, так что и 2ДЯс)21. Поскольку ра)ность производных в этом случае конечна в точке пересечения, то 11) с)) 12. (68.13) Интеграл (68.5) расходится теперь уже лишь логарифмическим образом. Эта расходимость должна устраняться так же, как и в отсутствие вырождения (см, ниже), Ввиду слабости расходимости она обычно не приводит к существенному изменению закона (68.2). Пусть теперь изоэнергетические поверхности имеют в точке вырождения квадратичное касание. Тогда, как ясно и:з рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
